1. Qual o 10^{\underline{0}} termo da PG ( 1,5, \ldots )?

Passo 1

O enunciado nos dá uma progressão geométrica cujos dois primeiros termos são 1 e 5, escritos como (1,5,\ldots). A pergunta é: qual é o 10^{\underline{0}} termo dessa PG?
Informações relevantes fornecidas:
  • a_1 = 1 (primeiro termo).
  • a_2 = 5 (segundo termo).
    O que se pede:
  • Calcular a_{10}, o décimo termo da PG.

Passo 2

Para seguir em frente precisamos do quociente (razão) da PG, que chamamos de r. Por definição, a razão entre dois termos consecutivos é
r=\frac{a_{k+1}}{a_k}.
Aqui podemos usar k=1, ou seja,
r=\frac{a_2}{a_1}.
Substituindo os valores dados:
r=\frac{5}{1}=5.
Interpretação: cada termo é obtido multiplicando o anterior por 5.

Passo 3

Agora precisamos da fórmula geral do n-ésimo termo de uma PG. A fórmula é
a_n = a_1\,r^{\,n-1}.
Explicando por que isso vale (de forma mastigada):
  • a_2 = a_1\cdot r.
  • a_3 = a_2\cdot r = a_1\cdot r\cdot r = a_1\,r^2.
  • Repetindo esse raciocínio, ao chegar no n-ésimo termo multiplica-se a_1 por r exatamente n-1 vezes, dando a_1\,r^{\,n-1}.
    Na fórmula:
  • a_n é o termo de índice n que queremos;
  • a_1 é o primeiro termo;
  • r é a razão;
  • n é o número do termo.

Passo 4

Aplicando a fórmula para n=10:
a_{10}=a_1\,r^{\,10-1}=a_1\,r^{9}.
Substituindo a_1=1 e r=5:
a_{10}=1\cdot 5^{9}=5^{9}.
Vamos calcular 5^{9} passo a passo (sem calculadora), multiplicando potências conhecidas:
5^1=5, \quad 5^2=25, \quad 5^3=125, \quad 5^4=625,
5^5=3125, \quad 5^6=15625, \quad 5^7=78125, \quad 5^8=390625, \quad 5^9=1953125.
Cada passo é só multiplicar por 5 o resultado anterior (por exemplo, 5^6=5\cdot 5^5=5\cdot 3125=15625, e assim por diante).

Passo 5

Confirmação rápida para manter a confiança: o nono termo é 5^8=390625 e multiplicando por 5 chega-se ao décimo termo 1953125. Então temos o resultado certo e consistente com a razão r=5.

Resposta

1953125

Exercícios relacionados