de
inicialmente a
e 50 bar será comprimido isotermicamente em um sistema pistỉo cilindro sem atrito até 300 bar. Passo a passo, mostre como calcular o volume do gås comprimido. [Lembre que tem usar a equasʒäo de PR]
Passo 1
O enunciado (com uma pequena correção/assunção) nos dá:
- Quantidade de CO
: vou interpretar o termo escrito como “100” mols (o enunciado trouxe “100 m^{2}”, que aparentemente é um erro tipográfico). Vou assumir portanto mol. Se a quantidade for outra (por exemplo volume inicial), o resultado numérico muda. - Temperatura constante (processo isotérmico):
. - Pressão inicial:
. - Pressão final:
. - Pedem: volume do gás comprimido (ou seja, volume final total
do gás no estado a ), usando a equação de Peng–Robinson (PR).
Informações físicas / constantes que vou usar (valores padrão para CO
e constante dos gases):
- Temperatura crítica do CO
: . - Pressão crítica do CO
: . - Fator acêntrico:
. - Constante universal dos gases (unidades compatíveis com bar e m
): .
Passo 2
Apresentação da equação de Peng–Robinson (forma molar) e definição das constantes:
A forma da equação de Peng–Robinson escrita em termos do volume molar é
A forma da equação de Peng–Robinson escrita em termos do volume molar
Explicando cada símbolo:
-
é a pressão (em ). -
é a temperatura (em ). -
é o volume molar ( ). -
é a constante dos gases (na unidade acima). -
, são parâmetros da equação dependentes de propriedades críticas:
-
é função da temperatura reduzida:
com
Para resolver numericamente para
é prático usar a forma cúbica em termos do fator de compressibilidade
. As quantidades adimensionais são
e a equação cúbica para
(Peng–Robinson) é
Uma vez obtido
, o volume molar é
e o volume total para
mols é
Passo 3
Calcular
e
para o CO
com os valores dados.
Primeiro calculo numérico de :
Primeiro calculo numérico de
Substituindo os valores (cada número aparece em TeX):
Agora
:
Passo 4
Calcular
,
e
.
com
:
Temperatura reduzida:
Passo 5
Calcular
(aparece na equação):
Passo 6
Preparar a resolução via fator de compressibilidade
. Relembrando:
e a cúbica
Vou calcular primeiro para
e depois para
. Note que
e
são proporcionais a
, então para
basta multiplicar por
.
Calculo preliminar de
:
Passo 7
Cálculo de
e
para
.
Passo 8
Montar a cúbica para
e resolver numericamente para
.
Coeficientes:
Cúbica:
Resolução numérica (bisseção / avaliação direta): avalio a função em pontos e fecho o intervalo até convergir:
-
(negativo), -
(próximo de zero), -
(positivo).
Assim a raiz real física relevante é aproximadamente
Volume molar inicial:
Volume total inicial (para verificar):
Passo 9
Agora
. Como
e
escalam com
, usamos:
Passo 10
Montar a cúbica para
e resolver para
.
Coeficientes:
Cúbica:
Resolução numérica (avaliação/bisseção):
-
(negativo), -
(positivo), - buscando entre 0{,}75 e 0{,}80, obtém-se raiz próxima de
.
Portanto
Volume molar final:
Volume total final para
mol:
Em unidades mais familiares:
Passo 11
Observações finais, checagem e interpretação:
- O resultado numérico para
depende da interpretação de “100 m^{2}” como mols. Se a quantidade fosse diferente (por exemplo 100 kg ou 100 m^3), os passos (uso da PR e solução da cúbica) são os mesmos, mas a conversão para n e o resultado final mudariam. - A solução usou a forma cúbica em
da equação PR e uma resolução numérica por bisseção/avaliação. Em prova, descreva a equação cúbica, calcule e , e justifique o método numérico (bisseção ou Newton) para encontrar a raiz real física (o que rende volume molar positivo). - Comparação rápida com gás ideal: volume final ideal seria
, então o resultado real ( ) mostra desvio apreciável devido à não idealidade em pressão alta. - Erros de arredondamento nas etapas numéricas podem alterar a terceira casa significativa; o procedimento está correto e os valores apresentados têm precisão compatível com cálculo manual/sem software.