100 \mathrm{~m}^{2} de \mathrm{CO}_{2} inicialmente a 150^{\circ} \mathrm{C} e 50 bar será comprimido isotermicamente em um sistema pistỉo cilindro sem atrito até 300 bar. Passo a passo, mostre como calcular o volume do gås comprimido. [Lembre que tem usar a equasʒäo de PR]

Passo 1

O enunciado (com uma pequena correção/assunção) nos dá:
  • Quantidade de CO _2: vou interpretar o termo escrito como “100” mols (o enunciado trouxe “100 m^{2}”, que aparentemente é um erro tipográfico). Vou assumir portanto n=100 mol. Se a quantidade for outra (por exemplo volume inicial), o resultado numérico muda.
  • Temperatura constante (processo isotérmico): T=150^\circ\mathrm{C}=423{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão inicial: P_1=50\\ \mathrm{bar}.
  • Pressão final: P_2=300\\ \mathrm{bar}.
  • Pedem: volume do gás comprimido (ou seja, volume final total V_2 do gás no estado a P_2, T), usando a equação de Peng–Robinson (PR).
Informações físicas / constantes que vou usar (valores padrão para CO _2 e constante dos gases):
  • Temperatura crítica do CO _2: T_c=304{,}2\\ \mathrm{K}.
  • Pressão crítica do CO _2: P_c=73{,}8\\ \mathrm{bar}.
  • Fator acêntrico: \omega=0{,}225.
  • Constante universal dos gases (unidades compatíveis com bar e m ^3): R=8{,}314462618\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{bar}\!/(\mathrm{mol}\!\cdot\!\mathrm{K}).

Passo 2

Apresentação da equação de Peng–Robinson (forma molar) e definição das constantes:
A forma da equação de Peng–Robinson escrita em termos do volume molar v é
P=\frac{R T}{v-b}-\frac{a\alpha}{v(v+b)+b(v-b)}.
Explicando cada símbolo:
  • P é a pressão (em \mathrm{bar}).
  • T é a temperatura (em \mathrm{K}).
  • v é o volume molar ( \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}).
  • R é a constante dos gases (na unidade acima).
  • a, b são parâmetros da equação dependentes de propriedades críticas:
a=0{,}45724\frac{R^2 T_c^2}{P_c},\qquad b=0{,}07780\frac{R T_c}{P_c}.
  • \alpha é função da temperatura reduzida:
\alpha=\bigl(1+\kappa(1-\sqrt{T_r})\bigr)^2,\qquad T_r=\frac{T}{T_c},
com
\kappa=0{,}37464+1{,}54226\,\omega-0{,}26992\,\omega^2.
Para resolver numericamente para v é prático usar a forma cúbica em termos do fator de compressibilidade Z=\dfrac{P v}{R T}. As quantidades adimensionais são
A=\frac{a\alpha P}{(R T)^2},\qquad B=\frac{bP}{R T},
e a equação cúbica para Z (Peng–Robinson) é
Z^3-(1-B)Z^2+(A-3B^2-2B)Z-(AB-B^2-B^3)=0.
Uma vez obtido Z, o volume molar é
v=\frac{Z R T}{P},
e o volume total para n mols é
V=n\,v.

Passo 3

Calcular a e b para o CO _2 com os valores dados.
Primeiro calculo numérico de a:
a=0{,}45724\frac{R^2 T_c^2}{P_c}.
Substituindo os valores (cada número aparece em TeX):
R=8{,}314462618\times10^{-5},\quad T_c=304{,}2,\quad P_c=73{,}8,
R^2=(8{,}314462618\times10^{-5})^2\approx6{,}9155\times10^{-9},
T_c^2=(304{,}2)^2\approx92\,544,
R^2 T_c^2\approx6{,}9155\times10^{-9}\times92\,544\approx6{,}399\times10^{-4},
a\approx0{,}45724\frac{6{,}399\times10^{-4}}{73{,}8}\approx3{,}964\times10^{-6}\\ \mathrm{(SI\\ units)}.
Agora b:
b=0{,}07780\frac{R T_c}{P_c},
R T_c=8{,}314462618\times10^{-5}\times304{,}2\approx0{,}02529,
b\approx0{,}07780\frac{0{,}02529}{73{,}8}\approx2{,}666\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}.

Passo 4

Calcular \kappa, T_r e \alpha.
\kappa=0{,}37464+1{,}54226\,\omega-0{,}26992\,\omega^2,
com \omega=0{,}225:
\kappa\approx0{,}37464+1{,}54226(0{,}225)-0{,}26992(0{,}225)^2\approx0{,}7080.
Temperatura reduzida:
T_r=\frac{T}{T_c}=\frac{423{,}15}{304{,}2}\approx1{,}3907, \qquad \sqrt{T_r}\approx1{,}18098.
\alpha=\bigl(1+\kappa(1-\sqrt{T_r})\bigr)^2 \approx\bigl(1+0{,}7080(1-1{,}18098)\bigr)^2 \approx(0{,}8719)^2\approx0{,}7602.

Passo 5

Calcular a\alpha (aparece na equação):
a\alpha\approx3{,}964\times10^{-6}\times0{,}7602\approx3{,}014\times10^{-6}.

Passo 6

Preparar a resolução via fator de compressibilidade Z. Relembrando:
A=\frac{a\alpha P}{(R T)^2},\qquad B=\frac{bP}{R T},
e a cúbica
Z^3-(1-B)Z^2+(A-3B^2-2B)Z-(AB-B^2-B^3)=0.
Vou calcular primeiro para P_1=50\\ \mathrm{bar} e depois para P_2=300\\ \mathrm{bar}. Note que A e B são proporcionais a P, então para P_2 basta multiplicar por 300/50=6.
Calculo preliminar de R T:
R T=8{,}314462618\times10^{-5}\times423{,}15\approx0{,}035198\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{bar}/(\mathrm{mol}).

Passo 7

Cálculo de A e B para P_1=50\\ \mathrm{bar}.
A_1=\frac{a\alpha P_1}{(R T)^2} =\frac{3{,}014\times10^{-6}\times50}{(0{,}035198)^2} \approx0{,}1222,
B_1=\frac{bP_1}{R T}=\frac{2{,}666\times10^{-5}\times50}{0{,}035198}\approx0{,}03787.

Passo 8

Montar a cúbica para P_1 e resolver numericamente para Z_1.
Coeficientes:
1-B_1\approx0{,}96213,
A_1-3B_1^2-2B_1\approx0{,}042155,
AB-B^2-B^3\approx0{,}0031367.
Cúbica:
Z^3-0{,}96213\,Z^2+0{,}042155\,Z-0{,}0031367=0.
Resolução numérica (bisseção / avaliação direta): avalio a função em pontos e fecho o intervalo até convergir:
  • f(0{,}8)\approx-0{,}073 (negativo),
  • f(0{,}92)\approx-7{,}5\times10^{-5} (próximo de zero),
  • f(0{,}93)\approx8{,}4\times10^{-3} (positivo).
Assim a raiz real física relevante é aproximadamente
Z_1\approx0{,}920.
Volume molar inicial:
v_1=\frac{Z_1 R T}{P_1}=\frac{0{,}920\times0{,}035198}{50}\approx6{,}48\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}.
Volume total inicial (para verificar):
V_1=n v_1=100\times6{,}48\times10^{-4}\approx6{,}48\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^3\approx64{,}8\\ \mathrm{L}.

Passo 9

Agora P_2=300\\ \mathrm{bar}. Como A e B escalam com P, usamos:
A_2=6 A_1\approx0{,}7332,\qquad B_2=6 B_1\approx0{,}2272.

Passo 10

Montar a cúbica para P_2 e resolver para Z_2.
Coeficientes:
1-B_2\approx0{,}7728,
A_2-3B_2^2-2B_2\approx0{,}1239,
AB-B^2-B^3\approx0{,}1032.
Cúbica:
Z^3-0{,}7728\,Z^2+0{,}1239\,Z-0{,}1032=0.
Resolução numérica (avaliação/bisseção):
  • f(0{,}75)\approx-0{,}0230 (negativo),
  • f(0{,}80)\approx0{,}0134 (positivo),
  • buscando entre 0{,}75 e 0{,}80, obtém-se raiz próxima de 0{,}785.
Portanto
Z_2\approx0{,}785.
Volume molar final:
v_2=\frac{Z_2 R T}{P_2}=\frac{0{,}785\times0{,}035198}{300}\approx9{,}205\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}.
Volume total final para n=100 mol:
V_2=n v_2=100\times9{,}205\times10^{-5}\approx9{,}205\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.
Em unidades mais familiares:
V_2\approx0{,}009205\\ \mathrm{m}^3\approx9{,}21\\ \mathrm{L}.

Passo 11

Observações finais, checagem e interpretação:
  • O resultado numérico para V_2 depende da interpretação de “100 m^{2}” como 100 mols. Se a quantidade fosse diferente (por exemplo 100 kg ou 100 m^3), os passos (uso da PR e solução da cúbica) são os mesmos, mas a conversão para n e o resultado final mudariam.
  • A solução usou a forma cúbica em Z da equação PR e uma resolução numérica por bisseção/avaliação. Em prova, descreva a equação cúbica, calcule A e B, e justifique o método numérico (bisseção ou Newton) para encontrar a raiz real física (o Z que rende volume molar positivo).
  • Comparação rápida com gás ideal: volume final ideal seria v_{2,\mathrm{ideal}}=RT/P_2\approx1{,}17\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}, então o resultado real ( \approx9{,}2\times10^{-5}) mostra desvio apreciável devido à não idealidade em pressão alta.
  • Erros de arredondamento nas etapas numéricas podem alterar a terceira casa significativa; o procedimento está correto e os valores apresentados têm precisão compatível com cálculo manual/sem software.

Resposta

V_2\approx9{,}205\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3

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