3.103 For each case below, for the function x (of a real variable) having the properties stated, find x(t) for all t.
The function x is such that:
  • the function v(t)=x(t)+1 is causal;
  • the function w(t)=x(-t)-1 is causal; and
  • x(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar x(t) para todo t, sabendo três coisas:
  • v(t)=x(t)+1 é causal;
  • w(t)=x(-t)-1 é causal;
  • x(0)=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A causalidade de uma função significa que ela vale zero para todos os instantes negativos. Em símbolos: se f é causal então f(t)=0 para todo t<0.
  • As duas funções v e w impõem condições sobre x em diferentes intervalos de tempo (uma envolve x(t) diretamente e a outra envolve x(-t), que é uma reflexão no eixo do tempo).

Passo 2

Relembrando e explicando a definição de causalidade (passo didático): dizer que uma função f(t) é causal significa que não há efeito antes da origem do tempo — matematicamente,
\text{\(f\) causal} \quad\Longleftrightarrow\quad f(t)=0\quad\text{para todo }t<0.
Aqui vamos aplicar exatamente essa propriedade às funções v e w.

Passo 3

Aplicando causalidade a v(t)=x(t)+1. Como v é causal, tem-se
v(t)=0\quad\text{para todo }t<0.
Substituindo v,
x(t)+1=0\quad\text{para todo }t<0.
Portanto obtemos uma condição direta sobre x:
x(t)=-1\quad\text{para todo }t<0.

Passo 4

Agora aplicar causalidade a w(t)=x(-t)-1. Como w é causal,
w(t)=0\quad\text{para todo }t<0.
Substituindo w,
x(-t)-1=0\quad\text{para todo }t<0,
ou seja
x(-t)=1\quad\text{para todo }t<0.

Passo 5

Interpretar a igualdade x(-t)=1 para t<0 trocando de variável: defina s=-t. Quando t<0 tem-se s>0. A condição passa a ser
x(s)=1\quad\text{para todo }s>0.
Renomeando s de volta para t (padrão usual), concluímos
x(t)=1\quad\text{para todo }t>0.

Passo 6

Já temos x(t)=-1 quando t<0 e x(t)=1 quando t>0. Falta o valor em t=0, que o enunciado fornece: x(0)=0. Assim o sinal x é completamente determinado por essas três peças:
  • para t<0: x(t)=-1;
  • para t=0: x(0)=0;
  • para t>0: x(t)=1.

Passo 7

Verificação rápida de consistência (didática e para dar confiança): com essa x temos
  • v(t)=x(t)+1 vale 0 para t<0 (porque -1+1=0), logo v é causal;
  • w(t)=x(-t)-1. Para t<0 tem-se -t>0 e então x(-t)=1, logo w(t)=1-1=0 para t<0, logo w é causal;
  • e x(0)=0 por hipótese. Tudo bate certinho.

Resposta

x(t)= \begin{cases} -1, & t<0,\\[4pt] 0, & t=0,\\[4pt] 1, & t>0. \end{cases}]

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