3.103 For each case below, for the function
(of a real variable) having the properties stated, find
for all
.
The function
is such that:
- the function
is causal;
- the function
is causal; and
-
.
The function
Passo 1
O enunciado pede: encontrar
para todo
, sabendo três coisas:
-
é causal; -
é causal; -
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A causalidade de uma função significa que ela vale zero para todos os instantes negativos. Em símbolos: se
é causal então para todo . - As duas funções
e impõem condições sobre em diferentes intervalos de tempo (uma envolve diretamente e a outra envolve , que é uma reflexão no eixo do tempo).
Passo 2
Relembrando e explicando a definição de causalidade (passo didático): dizer que uma função
é causal significa que não há efeito antes da origem do tempo — matematicamente,
Aqui vamos aplicar exatamente essa propriedade às funções
e
.
Passo 3
Aplicando causalidade a
. Como
é causal, tem-se
Substituindo
,
Portanto obtemos uma condição direta sobre
:
Passo 4
Agora aplicar causalidade a
. Como
é causal,
Substituindo
,
ou seja
Passo 5
Interpretar a igualdade
para
trocando de variável: defina
. Quando
tem-se
. A condição passa a ser
Renomeando
de volta para
(padrão usual), concluímos
Passo 6
Já temos
quando
e
quando
. Falta o valor em
, que o enunciado fornece:
. Assim o sinal
é completamente determinado por essas três peças:
- para
: ; - para
: ; - para
: .
Passo 7
Verificação rápida de consistência (didática e para dar confiança): com essa
temos
-
vale para (porque ), logo é causal; -
. Para tem-se e então , logo para , logo é causal; - e
por hipótese. Tudo bate certinho.