3.103 For each case below, for the function x (of a real variable) having the properties stated, find x(t) for all t.
The function x is such that:
  • x(t)=1-t for 0 \leq t \leq 1;
  • the function w is even, where w(t)=x(t+1); and
  • the function v is causal, where v(t)=x(t)-1.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (lista clara):
  • É dada a função x de variável real com a informação
    • \,x(t)=1-t para 0\le t\le1.
  • Define-se a função w por \,w(t)=x(t+1) e diz-se que w é par (even), isto é, \,w(t)=w(-t) para todo t.
  • Define-se a função v por \,v(t)=x(t)-1 e diz-se que v é causal, isto é, v(t)=0 para todo t<0.
  • Pedido: determinar x(t) para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Entendendo a condição “ w é par” e o que isso implica para x.
  • Por definição de par, para todo t vale \,w(t)=w(-t).
  • Substituindo w(t)=x(t+1) temos, para todo t, x(t+1)=x(-t+1).
  • Troque de variável: escreva s=t+1. Então t=s-1 e a igualdade torna-se x(s)=x(2-s)\quad\text{para todo }s\in\mathbb{R}.
  • Interpretação: a função x é simétrica em torno de t=1. Em outras palavras, o valor de x em um ponto s é igual ao valor em 2-s.

Passo 3

Usando a simetria para estender a fórmula conhecida ( 0\le t\le1) para o intervalo [1,2].
  • Tome t\in[1,2] e escreva t=1+\tau com \tau\in[0,1].
  • Pela simetria, \,x(1+\tau)=x(1-\tau).
  • Como 1-\tau\in[0,1], podemos aplicar a fórmula dada x(s)=1-s para s=1-\tau. Assim x(1+\tau)=x(1-\tau)=1-(1-\tau)=\tau.
  • Voltando para t, temos \tau=t-1. Logo, para t\in[1,2], x(t)=t-1.

Passo 4

Usando a causalidade de v para definir x para t<0 e, pela simetria, para t>2.
  • Causalidade de v diz que v(t)=0 para todo t<0. Como v(t)=x(t)-1, segue que para todo t<0 x(t)-1=0 \quad\Rightarrow\quad x(t)=1.
  • Verificação no ponto t=0: a fórmula original dá x(0)=1-0=1, consistente com x(t)=1 para t\le0.
  • Agora use a simetria x(s)=x(2-s) para obter x em t>2. Se t>2 então 2-t<0, e sabemos x(2-t)=1. Logo x(t)=x(2-t)=1\quad\text{para }t>2.
  • Valor em t=2: x(2)=x(0)=1, também consistente com a expressão em [1,2] que dá x(2)=2-1=1.

Passo 5

Resumo final e verificação rápida:
  • Juntando tudo:
    • para t<0: x(t)=1 (da causalidade de v);
    • para 0\le t\le1: x(t)=1-t (dado);
    • para 1\le t\le2: x(t)=t-1 (simetria de w);
    • para t>2: x(t)=1 (simetria aplicando os valores em t<0).
  • Checagens rápidas:
    • Continuidade em fronteiras: x(0^-)=1, x(0)=1; x(1^-)=1-1=0, x(1^+)=1-1=0; x(2^-)=2-1=1, x(2^+)=1. Tudo consistente.
    • Simetria: para qualquer s, x(s)=x(2-s) é satisfeita pelas fórmulas acima.
    • Causalidade de v: v(t)=x(t)-1 é zero para t<0 por construção.

Resposta

x(t)= \begin{cases} 1, & t<0,\\[4pt] 1-t, & 0\le t\le1,\\[4pt] t-1, & 1\le t\le2,\\[4pt] 1, & t>2. \end{cases}]

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