3.103 For each case below, for the function
(of a real variable) having the properties stated, find
for all
.
The function
is such that:
-
for
;
- the function
is even, where
; and
- the function
is causal, where
.
The function
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (lista clara):
- É dada a função
de variável real com a informação -
para .
-
- Define-se a função
por e diz-se que é par (even), isto é, para todo . - Define-se a função
por e diz-se que é causal, isto é, para todo . - Pedido: determinar
para todo .
Passo 2
Entendendo a condição “
é par” e o que isso implica para
.
- Por definição de par, para todo
vale . - Substituindo
temos, para todo , - Troque de variável: escreva
. Então e a igualdade torna-se - Interpretação: a função
é simétrica em torno de . Em outras palavras, o valor de em um ponto é igual ao valor em .
Passo 3
Usando a simetria para estender a fórmula conhecida (
) para o intervalo
.
- Tome
e escreva com . - Pela simetria,
. - Como
, podemos aplicar a fórmula dada para . Assim - Voltando para
, temos . Logo, para ,
Passo 4
Usando a causalidade de
para definir
para
e, pela simetria, para
.
- Causalidade de
diz que para todo . Como , segue que para todo - Verificação no ponto
: a fórmula original dá , consistente com para . - Agora use a simetria
para obter em . Se então , e sabemos . Logo - Valor em
: , também consistente com a expressão em que dá .
Passo 5
Resumo final e verificação rápida:
- Juntando tudo:
- para
: (da causalidade de ); - para
: (dado); - para
: (simetria de ); - para
: (simetria aplicando os valores em ).
- para
- Checagens rápidas:
- Continuidade em fronteiras:
, ; , ; , . Tudo consistente. - Simetria: para qualquer
, é satisfeita pelas fórmulas acima. - Causalidade de
: é zero para por construção.
- Continuidade em fronteiras: