3.103 For each case below, for the function
(of a real variable) having the properties stated, find
for all
.
The function
is such that:
-
for
;
-
for
, where
is a real constant; and
- the function
is odd.
The function
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
O enunciado dá que, para a função
definida em : -
para . -
para , onde é uma constante real (ainda desconhecida). - A função
definida por é ímpar (isto é, para todo ).
-
-
O que se pede: encontrar
para todo , isto é, completar/estender a definição de em todas as partes onde não está dada, e determinar o valor de se necessário.
Passo 2
Entendendo a condição de imparidade (revisão didática curta e necessária).
- Uma função
é ímpar se, e somente se, vale
- Aplicando isso a
, a condição " é ímpar" significa
- Substituindo
, obtemos
Isto é uma relação entre os valores de
em pontos simétricos (com uma translação envolvida).
Passo 3
Fazer uma mudança de variável para escrever a identidade de forma mais direta.
- Defina
. Então . Substituindo na identidade do passo anterior:
ou seja
- Podemos reescrever trocando o nome da variável de volta para
; fica a relação funda mental que vamos usar:
Interpretação: saber
em um ponto
determina
no ponto transformado
e vice-versa, com sinal trocado.
Passo 4
Usar a relação
para estender os dados dados em
até
.
- Começamos com a parte conhecida: para todo
vale . - Calcule a imagem do conjunto
pela transformação . Se , então e quando temos . Logo é levado em . - Pela identidade, para
(portanto ) vale Agora escrevemos o lado direito em função de . Como , temos . Substituindo: - Concluímos que, para todo
, Reescrevendo com a variável habitual : para vale
Passo 5
Determinar o valor de
usando a relação em cima do intervalo
.
- Observe que a transformação
envia o intervalo em si mesmo. De fato: - Para
: . - Para
: . - Como a transformação é contínua e reversa, o conjunto
é mapeado em .
- Para
- Para qualquer
a identidade exige Mas tanto como estão no intervalo onde vale a constante . Portanto - Daí segue
, logo - Conclusão: no intervalo
temos .
Passo 6
Juntar tudo e verificar rapidamente consistência nas fronteiras.
- Resumo das peças que já encontramos:
- Para
: (dado). - Para
: (acabamos de achar ). - Para
: (obtido a partir da condição de imparidade).
- Para
- Verificação breve nas fronteiras:
- Em
: limite pela esquerda , mas . A função pode ser descontínua aí; a condição dada não exigia continuidade. - Em
: tanto pela direita quanto pelo intervalo central obtemos , e pela fórmula para o limite em é . Então também há salto em (novamente permitido).
- Em
- Podemos também checar que a identidade
fica satisfeita para pontos em cada região, conforme as transformações de intervalo analisadas nos passos anteriores (mapeamentos: e ).
Resposta
Para
:
Para :
Para :
Para
Para