3.103 For each case below, for the function x (of a real variable) having the properties stated, find x(t) for all t.
The function x is such that:
  • x(t)=e^{t+4} for t<-4;
  • x(t)=a for -4 \leq t \leq-2, where a is a real constant; and
  • the function v(t)=x(t-3) is odd.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado dá que, para a função x definida em \mathbb{R}:
    • x(t)=e^{t+4} para t<-4.
    • x(t)=a para -4 \le t \le -2, onde a é uma constante real (ainda desconhecida).
    • A função v definida por v(t)=x(t-3) é ímpar (isto é, v(-t)=-v(t) para todo t\in\mathbb{R}).
  • O que se pede: encontrar x(t) para todo t\in\mathbb{R}, isto é, completar/estender a definição de x em todas as partes onde não está dada, e determinar o valor de a se necessário.

Passo 2

Entendendo a condição de imparidade (revisão didática curta e necessária).
  • Uma função f é ímpar se, e somente se, vale
f(-t) = -f(t)\quad\text{para todo }t.
  • Aplicando isso a v(t)=x(t-3), a condição " v é ímpar" significa
v(-t)= -v(t)\quad\text{para todo }t.
  • Substituindo v, obtemos
x(-t-3) = -x(t-3)\quad\text{para todo }t.
Isto é uma relação entre os valores de x em pontos simétricos (com uma translação envolvida).

Passo 3

Fazer uma mudança de variável para escrever a identidade de forma mais direta.
  • Defina s = t-3. Então t = s+3. Substituindo na identidade do passo anterior:
x(-(s+3)-3) = -x(s),
ou seja
x(-s-6) = -x(s)\quad\text{para todo }s\in\mathbb{R}.
  • Podemos reescrever trocando o nome da variável de volta para t; fica a relação funda mental que vamos usar:
x(-t-6) = -x(t)\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Interpretação: saber x em um ponto t determina x no ponto transformado -t-6 e vice-versa, com sinal trocado.

Passo 4

Usar a relação \,x(-t-6)=-x(t)\, para estender os dados dados em t<-4 até t>-2.
  • Começamos com a parte conhecida: para todo t<-4 vale x(t)=e^{t+4}.
  • Calcule a imagem do conjunto (-\infty,-4) pela transformação t\mapsto -t-6. Se t<-4, então -t-6 > -(-4)-6 = 4-6 = -2,e quando t\to -\infty temos -t-6\to +\infty. Logo (-\infty,-4) é levado em (-2,\infty).
  • Pela identidade, para s=-t-6 (portanto s>-2) vale x(s) = -x(t) = -e^{t+4}.Agora escrevemos o lado direito em função de s. Como s=-t-6, temos t=-s-6. Substituindo: x(s) = -e^{-s-6+4} = -e^{-s-2}.
  • Concluímos que, para todo s>-2, x(s) = -e^{-(s+2)}.Reescrevendo com a variável habitual t: para t>-2 vale x(t) = -e^{-(t+2)}.

Passo 5

Determinar o valor de a usando a relação em cima do intervalo [-4,-2].
  • Observe que a transformação t\mapsto -t-6 envia o intervalo [-4,-2] em si mesmo. De fato:
    • Para t=-4: -t-6 = 4-6 = -2.
    • Para t=-2: -t-6 = 2-6 = -4.
    • Como a transformação é contínua e reversa, o conjunto [-4,-2] é mapeado em [-4,-2].
  • Para qualquer t\in[-4,-2] a identidade exige x(-t-6) = -x(t).Mas tanto x(-t-6) como x(t) estão no intervalo onde x vale a constante a. Portanto a = -a.
  • Daí segue 2a=0, logo a=0.
  • Conclusão: no intervalo -4\le t\le -2 temos x(t)=0.

Passo 6

Juntar tudo e verificar rapidamente consistência nas fronteiras.
  • Resumo das peças que já encontramos:
    • Para t<-4: x(t)=e^{t+4} (dado).
    • Para -4\le t\le -2: x(t)=0 (acabamos de achar a=0).
    • Para t>-2: x(t)=-e^{-(t+2)} (obtido a partir da condição de imparidade).
  • Verificação breve nas fronteiras:
    • Em t=-4: limite pela esquerda e^{-4+4}=1, mas x(-4)=0. A função pode ser descontínua aí; a condição dada não exigia continuidade.
    • Em t=-2: tanto pela direita quanto pelo intervalo central obtemos x(-2)=0, e pela fórmula para t>-2 o limite em -2^+ é -e^{-(-2+2)}=-e^{0}=-1. Então também há salto em -2 (novamente permitido).
  • Podemos também checar que a identidade x(-t-6)=-x(t) fica satisfeita para pontos em cada região, conforme as transformações de intervalo analisadas nos passos anteriores (mapeamentos: (-\infty,-4)\leftrightarrow(-2,\infty) e [-4,-2]\leftrightarrow[-4,-2]).

Resposta

Para t<-4: x(t)=e^{t+4}
Para -4\le t\le -2: x(t)=0
Para t>-2: x(t)=-e^{-(t+2)}

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