3.103 For each case below, for the function
(of a real variable) having the properties stated, find
for all
.
The function
is such that:
- the function
for
;
- the function
is causal;
- the function
is anticausal; and
- the function
is odd.
The function
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
- O enunciado dá que
para . - Define três funções relacionadas a
: -
é causal. -
é anticausal. -
é ímpar (odd).
-
- O que se pede: determinar
para todo usando essas informações.
Passo 2
Entender as definições (aulas rápidas e diretas):
- Uma função
é causal se para todo . Isso significa que não existe valor antes de . - Uma função
é anticausal se para todo . Ou seja, é nula no futuro (apenas pode existir no passado). - Uma função
é ímpar se vale para todo .
Agora aplico essas definições às funções dadas, manipulando as variáveis com cuidado.
Aplicando causalidade de
:
-
é causal, então para todo . - Faça a mudança de variável
. Para temos . Logo para todo . - Renomeando
de volta para a variável padrão , obtemos:
Aplicando anticausalidade de
:
-
é anticausal, então para todo . - Mude
. Para temos . Logo para todo . - Renomeando
, obtemos:
Aplicando imparidade de
:
-
é ímpar, então para todo . - Isso dá
para todo . - Faça
. Então . A relação fica - Renomeando
, obtemos a simetria útil (Essa é uma condição de antissimetria em torno de : refletir em muda de sinal.)
Passo 3
Usar a informação direta
para
junto com a simetria
para preencher outros intervalos.
- Para
em sabemos . - Aplique a relação
com esses . Então, para cada , O conjunto dos pontos quando é o intervalo (porque se dá , e se dá ). - Logo:
(Inclui porque estava incluído; em a original não estava incluído, então fica como ponto a analisar separadamente.)
Passo 4
Determinar o valor em
e checar consistência nas fronteiras.
- Use a relação de imparidade em
: portanto e assim - Já temos:
-
para (da causalidade). -
para (da simetria aplicada ao trecho ). -
. -
para (dado original). -
para (da anticausalidade).
-
Verificação rápida (sempre bom checar):
- A simetria
funciona: por exemplo, para temos e tem , de fato . - As condições de causal/anticausal sobre
e ficam satisfeitas com os zeros antes de e após .
Passo 5
Escrever a função completa, de forma prática e pronta para a prova. Vou escrever peça por peça para ficar claro como usar isso rapidinho na hora da prova.
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .