3.103 For each case below, for the function x (of a real variable) having the properties stated, find x(t) for all t.
The function x is such that:
  • the function x(t)=1 for 2<t \leq 3;
  • the function v_{1}(t)=x(t+1) is causal;
  • the function v_{2}(t)=x(t+3) is anticausal; and
  • the function v_{3}(t)=x(t+2) is odd.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
  • O enunciado dá que x(t)=1 para 2 < t \le 3.
  • Define três funções relacionadas a x:
    • v_{1}(t)=x(t+1) é causal.
    • v_{2}(t)=x(t+3) é anticausal.
    • v_{3}(t)=x(t+2) é ímpar (odd).
  • O que se pede: determinar x(t) para todo t\in\mathbb{R} usando essas informações.

Passo 2

Entender as definições (aulas rápidas e diretas):
  • Uma função y(t) é causal se y(t)=0 para todo t<0. Isso significa que não existe valor antes de t=0.
  • Uma função y(t) é anticausal se y(t)=0 para todo t>0. Ou seja, é nula no futuro (apenas pode existir no passado).
  • Uma função y(t) é ímpar se vale y(-t)=-y(t) para todo t.
Agora aplico essas definições às funções dadas, manipulando as variáveis com cuidado.
Aplicando causalidade de v_{1}:
  • v_{1}(t)=x(t+1) é causal, então x(t+1)=0 para todo t<0.
  • Faça a mudança de variável u=t+1. Para t<0 temos u<1. Logo x(u)=0 para todo u<1.
  • Renomeando u de volta para a variável padrão t, obtemos: x(t)=0\quad\text{para todo } t<1.
Aplicando anticausalidade de v_{2}:
  • v_{2}(t)=x(t+3) é anticausal, então x(t+3)=0 para todo t>0.
  • Mude u=t+3. Para t>0 temos u>3. Logo x(u)=0 para todo u>3.
  • Renomeando u\to t, obtemos: x(t)=0\quad\text{para todo } t>3.
Aplicando imparidade de v_{3}:
  • v_{3}(t)=x(t+2) é ímpar, então v_{3}(-t)=-v_{3}(t) para todo t.
  • Isso dá x(-t+2)=-x(t+2) para todo t.
  • Faça s=t+2. Então -t+2 = - (s-2)+2 = -s+4. A relação fica x(-s+4) = -x(s)\quad\text{para todo } s.
  • Renomeando s\to t, obtemos a simetria útil x(4-t) = -x(t)\quad\text{para todo } t.(Essa é uma condição de antissimetria em torno de t=2: refletir em t=2 muda de sinal.)

Passo 3

Usar a informação direta x(t)=1 para 2<t\le 3 junto com a simetria x(4-t)=-x(t) para preencher outros intervalos.
  • Para t em (2,3] sabemos x(t)=1.
  • Aplique a relação x(4-t)=-x(t) com esses t. Então, para cada t\in(2,3], x(4-t) = -1.O conjunto dos pontos 4-t quando t\in(2,3] é o intervalo [1,2) (porque se t=3 4-3=1, e se t\to2^+ 4-t\to2^-).
  • Logo: x(u) = -1\quad\text{para }1 \le u < 2.(Inclui u=1 porque t=3 estava incluído; em t=2 a t original não estava incluído, então u=2 fica como ponto a analisar separadamente.)

Passo 4

Determinar o valor em t=2 e checar consistência nas fronteiras.
  • Use a relação de imparidade em t=2: x(4-2) = -x(2) \quad\Longrightarrow\quad x(2) = -x(2),portanto 2x(2)=0 e assim x(2)=0.
  • Já temos:
    • x(t)=0 para t<1 (da causalidade).
    • x(t)=-1 para 1\le t<2 (da simetria aplicada ao trecho 2<t\le3).
    • x(2)=0.
    • x(t)=1 para 2<t\le3 (dado original).
    • x(t)=0 para t>3 (da anticausalidade).
Verificação rápida (sempre bom checar):
  • A simetria x(4-t)=-x(t) funciona: por exemplo, para t\in(1,2) temos x(t)=-1 e 4-t\in(2,3) tem x(4-t)=1, de fato 1=-(-1).
  • As condições de causal/anticausal sobre x(t+1) e x(t+3) ficam satisfeitas com os zeros antes de 1 e após 3.

Passo 5

Escrever a função completa, de forma prática e pronta para a prova. Vou escrever peça por peça para ficar claro como usar isso rapidinho na hora da prova.
  • Para t<1: x(t)=0.
  • Para 1\le t<2: x(t)=-1.
  • Para t=2: x(2)=0.
  • Para 2<t\le 3: x(t)=1.
  • Para t>3: x(t)=0.

Resposta

x(t)=0 para t<1
x(t)=-1 para 1\le t<2
x(2)=0
x(t)=1 para 2<t\le 3
x(t)=0 para t>3

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