3.103 For each case below, for the function x (of a real variable) having the properties stated, find x(t) for all t.
The function x is such that:
  • the function x(t)=t-1 for 1 \leq t \leq 2;
  • x is causal;
  • the function v_{1}(t)=x(t+2) is anticausal; and
  • the function v_{2}(t)=x(t+1) is even.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (vou listar ponto a ponto para ficar bem claro):
  • A função x satisfaz \;x(t)=t-1 para 1 \le t \le 2.
  • x é causal.
  • A função v_{1}(t)=x(t+2) é anticausal.
  • A função v_{2}(t)=x(t+1) é par (even).
    A tarefa é: encontrar x(t) para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vamos recordar o que cada uma dessas propriedades significa (explicando devagar, como se estivéssemos na prova):
  • Causalidade: uma função f é causal se ela vale zero para tempos anteriores a zero. Em notação,
\text{\(f\) causal} \quad\Longrightarrow\quad f(t)=0\quad\text{para todo }t<0.
Ou seja, nada “acontece” antes de t=0.
  • Anticausalidade: uma função g é anticausal se ela vale zero para tempos posteriores a zero. Em notação,
\text{\(g\) anticausal} \quad\Longrightarrow\quad g(t)=0\quad\text{para todo }t>0.
  • Paridade (função par): uma função h é par se ela é simétrica em relação à origem:
\text{\(h\) par} \quad\Longrightarrow\quad h(t)=h(-t)\quad\text{para todo }t.
Sempre que eu aplicar uma dessas definições vou mostrar a substituição de variáveis para não deixar dúvida.

Passo 3

Aplicar a anticausalidade de v_{1}. Como v_{1}(t)=x(t+2) é anticausal, tem-se
x(t+2)=0\quad\text{para todo }t>0.
Faço a troca de variável u=t+2. Quando t>0 temos u>2. Portanto a condição vira
x(u)=0\quad\text{para todo }u>2.
Concluo:
x(t)=0\quad\text{para todo }t>2.

Passo 4

Aplicar a causalidade de x. Como x é causal,
x(t)=0\quad\text{para todo }t<0.
Portanto já sei que x pode ser diferente de zero apenas no intervalo fechado entre 0 e 2 (incluindo possivelmente 0 e 2), i.e., o suporte de x está contido em [0,2].

Passo 5

Aplicar a paridade de v_{2}. Temos v_{2}(t)=x(t+1) e v_{2} é par, logo
x(t+1)=x(-t+1)\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Agora faço a mudança de variável u=t+1. Então t=u-1 e -t+1=-(u-1)+1=2-u. Assim a relação acima se reescreve como
x(u)=x(2-u)\quad\text{para todo }u\in\mathbb{R}.
Isto diz que x é simétrica em torno de t=1: valores em distância \tau à direita de 1 igualam valores em distância \tau à esquerda de 1.

Passo 6

Usar a simetria x(u)=x(2-u) junto com o valor conhecido em [1,2]. Sabemos que para 1\le t\le 2,
x(t)=t-1.
Para obter x em 0\le t\le 1 uso a simetria com u=t\in[0,1]. Então 2-u=2-t\in[1,2], e
x(t)=x(2-t).
Como 2-t está no intervalo onde conhecemos x, substituo:
x(2-t)=(2-t)-1=1-t.
Logo para 0\le t\le 1 temos
x(t)=1-t.

Passo 7

Juntar tudo e checar as fronteiras:
  • Para t<0: pela causalidade, x(t)=0.
  • Para 0\le t\le 1: pelo passo anterior, x(t)=1-t.
  • Para 1\le t\le 2: dado, x(t)=t-1.
  • Para t>2: pelo passo 3, x(t)=0.
Verificações rápidas de consistência:
  • Em t=1: 1-t=0 e t-1=0 coincidem, ótima continuidade em t=1.
  • Em t=0: x(0)=1 (permitido; causal só exige zero para t<0).
  • Em t=2: x(2)=1 e para t>2 cai para zero, compatível com a propriedade de v_{1} ser anticausal (anticausal exige zero para t>0 em v_1, o que virou x(t)=0 para t>2; t=2 pode ser não nulo).

Passo 8

(Para ficar 100% tranquilo) posso checar simbolicamente a paridade de v_{2}. Tomando v_{2}(t)=x(t+1) e usando x(u)=x(2-u), tem-se
v_{2}(-t)=x(-t+1)=x(2-( -t+1))=x(t+1)=v_{2}(t),
ou seja v_{2} é realmente par para a função construída.

Resposta

x(t)=0 para t<0
x(t)=1-t para 0\le t\le 1
x(t)=t-1 para 1\le t\le 2
x(t)=0 para t>2

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