3.103 For each case below, for the function
(of a real variable) having the properties stated, find
for all
.
The function
is such that:
- the function
for
;
-
is causal;
- the function
is anticausal; and
- the function
is even.
The function
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações (vou listar ponto a ponto para ficar bem claro):
- A função
satisfaz para . -
é causal. - A função
é anticausal. - A função
é par (even).
A tarefa é: encontrarpara todo .
Passo 2
Vamos recordar o que cada uma dessas propriedades significa (explicando devagar, como se estivéssemos na prova):
- Causalidade: uma função
é causal se ela vale zero para tempos anteriores a zero. Em notação,
Ou seja, nada “acontece” antes de
.
- Anticausalidade: uma função
é anticausal se ela vale zero para tempos posteriores a zero. Em notação,
- Paridade (função par): uma função
é par se ela é simétrica em relação à origem:
Sempre que eu aplicar uma dessas definições vou mostrar a substituição de variáveis para não deixar dúvida.
Passo 3
Aplicar a anticausalidade de
. Como
é anticausal, tem-se
Faço a troca de variável
. Quando
temos
. Portanto a condição vira
Concluo:
Passo 4
Aplicar a causalidade de
. Como
é causal,
Portanto já sei que
pode ser diferente de zero apenas no intervalo fechado entre
e
(incluindo possivelmente
e
), i.e., o suporte de
está contido em
.
Passo 5
Aplicar a paridade de
. Temos
e
é par, logo
Agora faço a mudança de variável
. Então
e
. Assim a relação acima se reescreve como
Isto diz que
é simétrica em torno de
: valores em distância
à direita de
igualam valores em distância
à esquerda de
.
Passo 6
Usar a simetria
junto com o valor conhecido em
. Sabemos que para
,
Para obter
em
uso a simetria com
. Então
, e
Como
está no intervalo onde conhecemos
, substituo:
Logo para
temos
Passo 7
Juntar tudo e checar as fronteiras:
- Para
: pela causalidade, . - Para
: pelo passo anterior, . - Para
: dado, . - Para
: pelo passo 3, .
Verificações rápidas de consistência:
- Em
: e coincidem, ótima continuidade em . - Em
: (permitido; causal só exige zero para ). - Em
: e para cai para zero, compatível com a propriedade de ser anticausal (anticausal exige zero para em , o que virou para ; pode ser não nulo).
Passo 8
(Para ficar 100% tranquilo) posso checar simbolicamente a paridade de
. Tomando
e usando
, tem-se
ou seja
é realmente par para a função construída.