3.103 For each case below, for the function x (of a real variable) having the properties stated, find x(t) for all t.
The function x is such that:
Even x(t)=t for t \leq 0; and
Odd x(t)=t^{2} for t>0.
Passo 1
O enunciado apresenta duas situações separadas. Em cada uma, a função x é definida em parte e há uma propriedade (paridade) que permite completar a definição para todos os t. Vou listar o que foi dado e o que se pede em cada caso.
Caso A (função par): foi dado que x(t)=t para \,t\le 0. A função é dita par, isto é, satisfaz a propriedade x(-t)=x(t) para todo t. Pede-se encontrar x(t) para todos os t\in\mathbb{R}.
Caso B (função ímpar): foi dado que x(t)=t^{2} para \,t>0. A função é dita ímpar, isto é, satisfaz a propriedade x(-t)=-x(t) para todo t. Pede-se encontrar x(t) para todos os t\in\mathbb{R}.
Passo 2
Relembrando as definições (pequena aula):
Uma função x é par se, e somente se,
x(-t)=x(t)\quad\text{para todo }t.
Isso significa que o valor em -t é o mesmo que o valor em t; conhecendo a função para t\le 0 consegue-se os valores para t\ge 0 (e vice-versa).
Uma função x é ímpar se, e somente se,
x(-t)=-x(t)\quad\text{para todo }t.
Isto significa que o valor em -t é o oposto do valor em t; conhecendo a função para t>0 consegue-se os valores para t<0 (e o valor em 0 deve ser 0).
Passo 3
Caso A — função par, dados: x(t)=t para \,t\le 0.
Queremos x(t) para \,t>0. Pela paridade vale, para t>0,
x(t)=x(-t).
Como t>0 implica -t<0, podemos usar a definição dada para -t: x(-t)=-t (pois a regra dada vale para todos os argumentos \le 0). Substituindo:
x(t)=x(-t)=-t\qquad\text{para }t>0.
No ponto t=0 ambos os ramos dão x(0)=0, então a definição fica consistente em 0.
Verificação rápida (na prova vale a pena checar): para t>0 tem-se x(-t)=-(-t)^{2}=-t^{2}=-x(t), logo a função é de fato ímpar; em t=0 temos x(0)=0, compatível com imparidade.