3.103 For each case below, for the function x (of a real variable) having the properties stated, find x(t) for all t.
The function x is such that:
  • Even x(t)=t for t \leq 0; and
  • Odd x(t)=t^{2} for t>0.

Passo 1

O enunciado apresenta duas situações separadas. Em cada uma, a função x é definida em parte e há uma propriedade (paridade) que permite completar a definição para todos os t. Vou listar o que foi dado e o que se pede em cada caso.
  • Caso A (função par): foi dado que x(t)=t para \,t\le 0. A função é dita par, isto é, satisfaz a propriedade x(-t)=x(t) para todo t. Pede-se encontrar x(t) para todos os t\in\mathbb{R}.
  • Caso B (função ímpar): foi dado que x(t)=t^{2} para \,t>0. A função é dita ímpar, isto é, satisfaz a propriedade x(-t)=-x(t) para todo t. Pede-se encontrar x(t) para todos os t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Relembrando as definições (pequena aula):
  • Uma função x é par se, e somente se,
x(-t)=x(t)\quad\text{para todo }t.
Isso significa que o valor em -t é o mesmo que o valor em t; conhecendo a função para t\le 0 consegue-se os valores para t\ge 0 (e vice-versa).
  • Uma função x é ímpar se, e somente se,
x(-t)=-x(t)\quad\text{para todo }t.
Isto significa que o valor em -t é o oposto do valor em t; conhecendo a função para t>0 consegue-se os valores para t<0 (e o valor em 0 deve ser 0).

Passo 3

Caso A — função par, dados: x(t)=t para \,t\le 0.
Queremos x(t) para \,t>0. Pela paridade vale, para t>0,
x(t)=x(-t).
Como t>0 implica -t<0, podemos usar a definição dada para -t: x(-t)=-t (pois a regra dada vale para todos os argumentos \le 0). Substituindo:
x(t)=x(-t)=-t\qquad\text{para }t>0.
No ponto t=0 ambos os ramos dão x(0)=0, então a definição fica consistente em 0.
Logo, juntando:
x(t)=\begin{cases} t, & t\le 0,\\[4pt] -\,t, & t>0. \end{cases}]

Passo 4

Verificação rápida (boas práticas na prova): verificar que a função encontrada é realmente par. Para t>0,
x(-t)=(-t)\quad\text{(pelo ramo \(s\le 0\) com \(s=-t\))}=-t,
e pelo ramo t>0 temos x(t)=-t. Assim x(-t)=x(t). Em t=0 vale x(0)=0. Tudo consistente.

Passo 5

Caso B — função ímpar, dados: x(t)=t^{2} para \,t>0.
Queremos x(t) para \,t<0 e em t=0. Pela imparidade vale, para qualquer t,
x(-t)=-x(t).
Tomemos um t<0. Então -t>0, e a definição dada vale para -t: x(-t)=(-t)^{2}=t^{2} (observe que (-t)^{2}=t^{2}). Usando a propriedade ímpar:
x(t)=-x(-t)=-t^{2}\qquad\text{para }t<0.
Para t=0, a propriedade ímpar exige x(0)=-x(0), o que implica x(0)=0.
Portanto, juntando:
x(t)=\begin{cases} -\,t^{2}, & t<0,\\[4pt] 0, & t=0,\\[4pt] t^{2}, & t>0. \end{cases}]

Passo 6

Verificação rápida (na prova vale a pena checar): para t>0 tem-se x(-t)=-(-t)^{2}=-t^{2}=-x(t), logo a função é de fato ímpar; em t=0 temos x(0)=0, compatível com imparidade.

Resposta

Caso par:
x(t)=\begin{cases} t, & t\le 0,\\[4pt] -\,t, & t>0. \end{cases}
Caso ímpar:
x(t)=\begin{cases} -\,t^{2}, & t<0,\\[4pt] 0, & t=0,\\[4pt] t^{2}, & t>0. \end{cases}]

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