3.103 For each case below, for the function
(of a real variable) having the properties stated, find
for all
.
The function
is such that:
-
for
;
- the function
is causal; and
- the function
is odd.
The function
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (vou listar as informações com calma para não confundir):
- Dá-se que, para
, . - Define-se
e informa-se que é causal (ou seja, para ). - Define-se
e informa-se que é ímpar (odd): para todo . - A tarefa: encontrar
para todo (ou seja, estender a expressão dada para os outros intervalos de ).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Para
: (dado). - Para
: a causalidade de implica informação sobre (preciso usar isso). - A condição de que
é ímpar impõe uma simetria/antissimetria envolvendo deslocamento temporal de (vou usar isso para relacionar valores de em pontos diferentes).
Passo 2
Usar a causalidade de
.
Conceito rápido (didático): “v é causal” significa que
para todo
. Aqui
; então, para
,
Portanto já tenho um trecho da função:
Isso é direto e importante: antes de
,
é constante igual a
.
Passo 3
Traduzir a condição "
é ímpar" em relação para
.
Definição/explicação: uma função
é ímpar se
para todo
. Aplicando a
:
Para obter uma relação que envolva
em argumentos do tipo
e
(mais conveniente), faço a substituição
nessa igualdade. Assim:
Simplificando os sinais:
Conclusão útil (fórmula de simetria): para todo
,
Comentário didático: essa relação diz que
é anti-simétrica em torno de
(isto é, reflexão em
muda o sinal).
Passo 4
Usar a relação
junto com o trecho conhecido
para
, a fim de encontrar
para
.
Se
, então
pertence ao intervalo
; portanto posso aplicar o valor dado para
em
:
Pela relação de antissimetria,
Agora avaliar extremos:
- Para
: e (porque está no intervalo ), então
- Para
: a relação dá , logo
Observação didática: não é necessário que
seja contínua em
; a condição impõe especificamente
, mesmo que os limites lateral à esquerda
e à direita
existam e sejam diferentes do valor no ponto.
Passo 5
Usar valores para
(já obtidos) e a antissimetria para determinar
para
.
Se
então
. Para
já vimos que
(por Passo 2). Assim, pela fórmula de antissimetria,
Verificação de consistência: em
obtemos
(coincide com o caso limite). Em
temos
, e para
obtemos
, assim a simetria em torno de
e a causalidade de
são satisfeitas.
Passo 6
Resumo completo e verificação rápida (passo a passo de checagem):
- Para
: definimos a partir da causalidade de . - Para
: dado pelo enunciado . - Para
: a antissimetria exige . - Para
: deduzimos usando e o valor em . - Para
(ou explicitamente , com já computado): .
Checagens:
- Para
recupera-se exatamente o enunciado. - A função
é nula para (pois ali), logo é causal. -
é ímpar porque, por construção, implica , ou seja .