3.103 For each case below, for the function x (of a real variable) having the properties stated, find x(t) for all t.
The function x is such that:
  • x(t)=2-t for 0 \leq t<1;
  • the function v(t)=x(t)-2 is causal; and
  • the function w(t)=x(t+1) is odd.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vou listar as informações com calma para não confundir):
  • Dá-se que, para 0 \le t < 1, x(t)=2-t.
  • Define-se v(t)=x(t)-2 e informa-se que v é causal (ou seja, v(t)=0 para t<0).
  • Define-se w(t)=x(t+1) e informa-se que w é ímpar (odd): w(-t)=-w(t) para todo t.
  • A tarefa: encontrar x(t) para todo t\in\mathbb{R} (ou seja, estender a expressão dada para os outros intervalos de t).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para 0\le t<1: x(t)=2-t (dado).
  • Para t<0: a causalidade de v implica informação sobre x(t) (preciso usar isso).
  • A condição de que w é ímpar impõe uma simetria/antissimetria envolvendo deslocamento temporal de x (vou usar isso para relacionar valores de x em pontos diferentes).

Passo 2

Usar a causalidade de v(t)=x(t)-2.
Conceito rápido (didático): “v é causal” significa que v(t)=0 para todo t<0. Aqui v(t)=x(t)-2; então, para t<0,
v(t)=0 \quad\Rightarrow\quad x(t)-2=0 \quad\Rightarrow\quad x(t)=2.
Portanto já tenho um trecho da função:
\text{para } t<0:\quad x(t)=2.
Isso é direto e importante: antes de t=0, x é constante igual a 2.

Passo 3

Traduzir a condição " w(t)=x(t+1) é ímpar" em relação para x.
Definição/explicação: uma função y(t) é ímpar se y(-t)=-y(t) para todo t. Aplicando a w:
w(-t)=-w(t) \quad\Rightarrow\quad x(-t+1) = -x(t+1)\quad\text{para todo }t.
Para obter uma relação que envolva x em argumentos do tipo t e 2-t (mais conveniente), faço a substituição t\mapsto t-1 nessa igualdade. Assim:
x(-(t-1)+1) = -x((t-1)+1).
Simplificando os sinais:
x(-t+1+1) = -x(t) \quad\Rightarrow\quad x(2-t) = -x(t)\quad\text{para todo }t.
Conclusão útil (fórmula de simetria): para todo t,
\boxed{\,x(2-t) = -x(t)\,}.
Comentário didático: essa relação diz que x é anti-simétrica em torno de t=1 (isto é, reflexão em t=1 muda o sinal).

Passo 4

Usar a relação x(2-t)=-x(t) junto com o trecho conhecido x(t)=2-t para 0\le t<1, a fim de encontrar x para 1<t<2.
Se 1<t<2, então 2-t pertence ao intervalo 0<2-t<1; portanto posso aplicar o valor dado para x em 2-t:
x(2-t)=2-(2-t)=t.
Pela relação de antissimetria,
x(t) = -x(2-t) = -t \quad\text{para }1<t<2.
Agora avaliar extremos:
  • Para t=2: 2-t=0 e x(0)=2 (porque 0 está no intervalo 0\le t<1), então
x(2) = -x(0) = -2.
  • Para t=1: a relação x(2-t)=-x(t) x(1)=-x(1), logo
x(1)=0.
Observação didática: não é necessário que x seja contínua em t=1; a condição impõe especificamente x(1)=0, mesmo que os limites lateral à esquerda \lim_{t\to1^-}x(t)=1 e à direita \lim_{t\to1^+}x(t)=-1 existam e sejam diferentes do valor no ponto.

Passo 5

Usar valores para t<0 (já obtidos) e a antissimetria para determinar x para t>2.
Se t>2 então 2-t<0. Para 2-t<0 já vimos que x(2-t)=2 (por Passo 2). Assim, pela fórmula de antissimetria,
x(t) = -x(2-t) = -2 \quad\text{para } t>2.
Verificação de consistência: em t=2 obtemos x(2)=-2 (coincide com o caso limite). Em t<0 temos x(t)=2, e para t>2 obtemos x(t)=-2, assim a simetria em torno de t=1 e a causalidade de v são satisfeitas.

Passo 6

Resumo completo e verificação rápida (passo a passo de checagem):
  • Para t<0: definimos x(t)=2 a partir da causalidade de v.
  • Para 0\le t<1: dado pelo enunciado x(t)=2-t.
  • Para t=1: a antissimetria exige x(1)=0.
  • Para 1<t<2: deduzimos x(t)=-t usando x(t)=-x(2-t) e o valor em 2-t\in(0,1).
  • Para t\ge 2 (ou explicitamente t>2, com t=2 já computado): x(t)=-2.
Checagens:
  • Para 0\le t<1 recupera-se exatamente o enunciado.
  • A função v(t)=x(t)-2 é nula para t<0 (pois x(t)=2 ali), logo v é causal.
  • w(t)=x(t+1) é ímpar porque, por construção, x(2-t)=-x(t) implica x(-t+1)=-x(t+1), ou seja w(-t)=-w(t).

Resposta

x(t)=2 for t<0
x(t)=2-t for 0\le t<1
x(1)=0
x(t)=-t for 1<t<2
x(t)=-2 for t>2

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