11)Uma empresa tem a capacidade de produzir por mês 10.000 toneladas de um produto, mas, normalmente, fabrica apenas 7.000 toneladas. O custo fixo é 100 milhões, enquanto o custo variável é de 300 milhões. As vendas perfazem 665 milhões. A empresa desejaria produzir as 10.000 toneladas exportando o excedente de 3.000 toneladas da produção normal, aplicando dumping.
variavenimietauas :
b) Qual é o preço mínimo por tonelada pelo qual poderiam ser vendidas as 3.000 toneladas sem alterar a margem de lucro? Qual é o lucro total das 10.000 toneladas vendidas conforme descrito?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Capacidade máxima mensal: \,10.000 toneladas.
  • Produção normal mensal: \,7.000 toneladas.
  • Custo fixo total: \,100 milhões.
  • Custo variável total (na produção normal de \,7.000 t): \,300 milhões.
  • Receita de vendas (pela produção normal de \,7.000 t): \,665 milhões.
  • A empresa quer produzir \,10.000 toneladas (ou seja, vender mais \,3.000 t) e exportar esse excedente a um preço de dumping.
  • Perguntas:
    1. Qual o preço mínimo por tonelada pelo qual poderiam vender as \,3.000 toneladas extras sem alterar a margem de lucro?
    2. Qual é o lucro total obtido quando as \,10.000 toneladas são vendidas conforme descrito?
Observação necessária (usada para resolver): o custo variável informado ( \,300 milhões) é relativo à produção normal de \,7.000 t, e assume-se que o custo variável é proporcional à quantidade produzida (isto é, custo variável por tonelada constante). Esta é a interpretação padrão quando se fala em “custo variável”.

Passo 2

Entender os conceitos e calcular a situação atual (7.000 t), para depois compararmos.
  • Receita atual (total): R_{0}=665 milhões.
  • Custo fixo: F=100 milhões.
  • Custo variável atual: V_{0}=300 milhões.
  • Custo total atual: \text{CT}_{0}=F+V_{0}=100+300=400 milhões.
  • Lucro atual: \Pi_{0}=R_{0}-\text{CT}_{0}=665-400=265 milhões.
Explicando: lucro é simplesmente receita menos custo total. O custo fixo não muda com a quantidade; o custo variável sim.

Passo 3

Calcular a margem de lucro atual (que queremos manter).
  • Margem de lucro atual (fração da receita que é lucro):
m=\frac{\Pi_{0}}{R_{0}}=\frac{265}{665}.
Vou simplificar essa fração para trabalhar melhor:
m=\frac{265}{665}=\frac{53}{133}\approx0{,}398496\quad(\text{ou }39{,}85\%).
Explicando: a margem de lucro é o lucro dividido pela receita; manter a “mesma margem” significa manter essa razão lucro/receita.

Passo 4

Calcular o custo variável por tonelada e o custo total se a produção subir para 10.000 t.
  • Custo variável por tonelada (na produção atual):
c_{v}=\frac{V_{0}}{7.000}=\frac{300}{7.000}=\frac{300}{7000}\\ \text{(milhões por tonelada)}.õ
  • Se produzirmos \,10.000 t, o novo custo variável será proporcional:
V_{1}=c_{v}\cdot 10.000= \frac{300}{7000}\cdot 10.000=300\cdot\frac{10.000}{7.000}=300\cdot\frac{10}{7}=\frac{3000}{7}\\ \text{milhões}.õ
  • Custo total com 10.000 t:
\text{CT}_{1}=F+V_{1}=100+\frac{3000}{7}=\frac{3700}{7}\\ \text{milhões}\approx528{,}5714286\\ \text{milhões}.õõ
Explicando: multiplicamos o custo variável por tonelada pela nova quantidade para obter o novo custo variável total; somamos o custo fixo para ter o custo total.

Passo 5

Modelar matematicamente o preço mínimo pedido. Seja p o preço por tonelada que será cobrado nas \,3.000 toneladas extras (em milhões por tonelada). A nova receita total será:
R_{1}=R_{0}+3.000\cdot p=665+3.000p\\ \text{(milhões)}.õ
O novo lucro será:
\Pi_{1}=R_{1}-\text{CT}_{1}.
A condição de “não alterar a margem de lucro” é
\frac{\Pi_{1}}{R_{1}}=m=\frac{53}{133}.
Substituindo \Pi_{1}=R_{1}-\text{CT}_{1}
\frac{R_{1}-\text{CT}_{1}}{R_{1}}=\frac{53}{133}.
Isolando R_{1}:
1-\frac{\text{CT}_{1}}{R_{1}}=\frac{53}{133}\quad\Rightarrow\quad\frac{\text{CT}_{1}}{R_{1}}=1-\frac{53}{133}=\frac{80}{133},
R_{1}=\frac{\text{CT}_{1}}{80/133}=\text{CT}_{1}\cdot\frac{133}{80}.
Explicando: manipulei a igualdade de proporções para obter a receita total necessária para manter a mesma margem.

Passo 6

Calcular numericamente R_{1}, depois p.
  • Já calculamos \text{CT}_{1}=\dfrac{3700}{7} milhões. Assim
R_{1}=\frac{3700}{7}\cdot\frac{133}{80}=\frac{3700\cdot133}{560}=\frac{492100}{560}=878{,}75\\ \text{milhões}.õ
  • Receita adicional necessária para as \,3.000 t é
R_{\text{extra}}=R_{1}-R_{0}=878{,}75-665=213{,}75\\ \text{milhões}.õ
  • Portanto o preço por tonelada mínimo é
p=\frac{R_{\text{extra}}}{3.000}=\frac{213{,}75}{3.000}=0{,}07125\\ \text{milhões por tonelada}.õ
Converter para unidades monetárias por tonelada (multiplicando por 10^{6}):
p=0{,}07125\\ \text{milhões/t} = 71{,}250\\ \text{(unidades monetárias por tonelada)}.õá
Explicando: primeiro achei a receita total necessária para manter a margem, subtraí a receita já obtida com as 7.000 t e dividi o resto pelas 3.000 t extras.

Passo 7

Calcular o lucro total obtido vendendo as 10.000 toneladas (confirmação).
  • Lucro total novo:
\Pi_{1}=R_{1}-\text{CT}_{1}=878{,}75-\frac{3700}{7}=878{,}75-528{,}571428571\ldots=350{,}178571429\\ \text{milhões}.õ
(Arredondando a três casas decimais: \,350{,}179 milhões.)
Explicando: é simplesmente receita total menos custo total após produzir 10.000 t; este lucro satisfaz a condição de ter a mesma margem relativa que antes.

Resposta

Preço mínimo por tonelada para as \,3.000 t extras: 0{,}07125 milhões por tonelada = 71{,}250 (unidades monetárias por tonelada).
Lucro total ao vender as \,10.000 toneladas: 350{,}178571 milhões (aproximadamente 350{,}179 milhões).

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