11)Dois quilos de água existem inicialmente como uma mistura de líquido e vapor a 90^{\circ} \mathrm{C} em um tanque de paredes rígidas com volume de 2,43 \mathrm{~m}^{3}
a)Qual a pressão do sistema?
b)Qual a qualidade do sistema?
c)A temperatura do tanque é aumentada para 100^{\circ} \mathrm{C} .Qual é a qualidade e a pressão do sistema?Qual é \Delta \mathrm{H} e \Delta \mathrm{U} em relação ao estado inicial?

Passo 1

O enunciado dá o seguinte (vou listar tudo com clareza):
  • Massa do sistema: m=2\\ \mathrm{kg}.
  • Volume do tanque (fixo): V=2,43\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Estado inicial: mistura líquido+vapor à temperatura T_1=90^\circ\mathrm{C}.
  • Estado final pedido: a temperatura do tanque é elevada para T_2=100^\circ\mathrm{C}.
    As perguntas são:
    (a) Qual a pressão do sistema no estado inicial?
    (b) Qual a qualidade (fração mássica de vapor) do sistema no estado inicial?
    (c) Depois do aquecimento até 100^\circ\mathrm{C}: qual a qualidade e a pressão do sistema? E quais são \Delta H e \Delta U (variações totais de entalpia e energia interna do sistema) em relação ao estado inicial?

Passo 2

Calcular o volume específico do sistema (dado que o tanque é rígido e a massa é conhecida):
v=\frac{V}{m}=\frac{2{,}43}{2}=1{,}215\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
Este número é essencial: ele não muda durante o processo porque V e m são constantes.

Passo 3

Pressão no estado inicial. Explicação didática curta:
  • Quando o sistema está em mistura saturada à certa temperatura T, a pressão de equilíbrio é a pressão de saturação P_{\text{sat}}(T).
  • Logo, a pressão inicial é a pressão de saturação à 90^\circ\mathrm{C}.
Valores retirados das tabelas de vapor (tabela de saturação) — estou explicitando os números que vou usar:
  • Para T=90^\circ\mathrm{C}: P_{\text{sat}}(90^\circ\mathrm{C})=70{,}17\\ \mathrm{kPa}.
Portanto:
P_1 = 70{,}17\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Calcular a qualidade inicial x_1. Conceito e fórmula:
  • A qualidade x é a fração da massa que está no estado vapor.
  • A partir do volume específico total v e das propriedades saturadas usa-se:
x=\frac{v-v_f}{v_g-v_f},
onde v_f é o volume específico do líquido saturado e v_g é o volume específico do vapor saturado, ambos à mesma temperatura.
Valores da tabela (peguei da tabela de saturação para 90^\circ\mathrm{C}):
  • v_f(90^\circ\mathrm{C})=0{,}001036\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
  • v_g(90^\circ\mathrm{C})=1{,}6940\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
Aplicando:
x_1=\frac{1{,}215-0{,}001036}{1{,}6940-0{,}001036} =\frac{1{,}213964}{1{,}692964}\approx0{,}717.
Interpretação curta: cerca de 71{,}7\% da massa está em vapor no estado inicial.

Passo 5

Vamos calcular as energias (entalpia e energia interna) no estado inicial — por que isso importa:
  • Para obter \Delta H e \Delta U precisamos dos valores totais H = m h e U = m u em cada estado.
  • Para mistura saturada: h = h_f + x h_{fg}, e u = u_f + x (u_g-u_f).
  • Os termos h_f,h_g,u_f,u_g vêm das tabelas de propriedade do vapor.
Valores da tabela à 90^\circ\mathrm{C} (peguei na tabela de saturação):
  • h_f(90^\circ\mathrm{C})=376{,}70\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • h_g(90^\circ\mathrm{C})=2676{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}. Então h_{fg}=h_g-h_f=2299{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Para energia interna usa-se u=h-pv. Com p em kPa e v em \mathrm{m^{3}/kg}, p v vem em \mathrm{kJ/kg}.
    • u_f\approx h_f - p v_f = 376{,}70 - 70{,}17\cdot0{,}001036 \approx 376{,}63\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • u_g = h_g - p v_g = 2676{,}3 - 70{,}17\cdot1{,}6940 \approx 2676{,}3 - 118{,}85 = 2557{,}45\\ \mathrm{kJ/kg}.
Agora as mistura:
h_1 = h_f + x_1\,h_{fg}=376{,}70 + 0{,}717\cdot2299{,}6 \approx 2025{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
u_1 = u_f + x_1\,(u_g-u_f)=376{,}63 + 0{,}717\,(2557{,}45-376{,}63)\approx1938{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}.
Total para a massa m=2\\ \mathrm{kg}:
H_1 = m\,h_1 \approx 2\cdot2025{,}5 = 4051{,}0\\ \mathrm{kJ},
U_1 = m\,u_1 \approx 2\cdot1938{,}7 = 3877{,}4\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

Determinar o tipo de estado e a qualidade no final ( T_2=100^\circ\mathrm{C}) — raciocínio:
  • Comparar o volume específico do sistema v=1{,}215\\ \mathrm{m^3/kg} com v_g(100^\circ\mathrm{C}).
  • Da tabela de saturação, para 100^\circ\mathrm{C}:
    • v_g(100^\circ\mathrm{C})=1{,}043\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
    • v_f(100^\circ\mathrm{C})=0{,}001043\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
Como v = 1{,}215 > v_g(100^\circ\mathrm{C}), isso significa que, à 100^\circ\mathrm{C}, o volume específico do sistema é maior que o v_g saturado: o sistema está na região de vapor superaquecido (toda a massa é vapor). Portanto a qualidade final é
x_2 = 1\quad(\text{todo vapor}).

Passo 7

Pressão no estado final. Método e justificativa didática:
  • Para vapor superaquecido, a pressão não é a pressão de saturação àquela T. A pressão deve satisfazer a equação de estado para vapor a T_2 e v fixos.
  • Uma aproximação comum e razoável (quando não se usa tabela de vapor superaquecido) é usar a equação dos gases perfeitos para o vapor superaquecido:
p=\frac{m R T}{V},
onde R é a constante específica do vapor d’água R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (equivalente a 0{,}4615\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)}) e T em kelvin.
Converter T_2 para kelvin: T_2=100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}.
Aplicando:
p_2=\frac{2\cdot0{,}4615\cdot373{,}15}{2{,}43} =\frac{0{,}9230\cdot373{,}15}{2{,}43}\approx141{,}8\\ \mathrm{kPa}.
Comentário: usei a aproximação de gás ideal para vapor superaquecido; tabelas de vapor superaquecido dariam um valor muito similar (este procedimento é padrão em exercícios de sala quando a tabela superaquecida não é solicitada explicitamente).

Passo 8

Calcular H_2 e U_2 (estado final) para poder obter \Delta H e \Delta U.
Observação útil (didática): para um gás ideal a entalpia específica depende praticamente só de T: h(T). Então, como o vapor final está a 100^\circ\mathrm{C}, pode-se aproximar a entalpia específica do vapor superaquecido por h(T_2) — isto coincide numericamente com h_g saturado à 100^\circ\mathrm{C} porque ambos referem-se à mesma temperatura (para um gás ideal). Assim usaremos o valor da tabela para h_g(100^\circ\mathrm{C}).
Valor da tabela (peguei da tabela de saturação para 100^\circ\mathrm{C}):
  • h_g(100^\circ\mathrm{C})=2675{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
Portanto (aproximação válida para vapor superaquecido a T=100^\circ\mathrm{C}):
h_2 \approx 2675{,}5\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad H_2=m h_2 = 2\cdot2675{,}5 = 5351{,}0\\ \mathrm{kJ}.
Agora a energia interna específica:
u_2 = h_2 - p_2 v.
Cuidado com unidades: p_2 em kPa e v em \mathrm{m^3/kg} p v em \mathrm{kJ/kg}.
Calcular:
p_2 v = 141{,}8\cdot1{,}215 \approx 172{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.
u_2 \approx 2675{,}5 - 172{,}3 = 2503{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}.
Total:
U_2 = m u_2 \approx 2\cdot2503{,}2 = 5006{,}4\\ \mathrm{kJ}.

Passo 9

Calcular as variações \Delta H e \Delta U em relação ao estado inicial:
\Delta H = H_2 - H_1 = 5351{,}0 - 4051{,}0 \approx 1\,300{,}0\\ \mathrm{kJ}.
\Delta U = U_2 - U_1 = 5006{,}4 - 3877{,}4 \approx 1\,129{,}0\\ \mathrm{kJ}.
(Arredondei para três dígitos significativos nas grandezas finais; se precisar, dá para usar mais casas.)

Resposta

P_1 = 70{,}17\\ \mathrm{kPa}
x_1 = 0{,}717
x_2 = 1{,}00
P_2 \approx 141{,}8\\ \mathrm{kPa}
\Delta H \approx 1\,300\\ \mathrm{kJ}
\Delta U \approx 1\,129\\ \mathrm{kJ}

Exercícios relacionados