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Considere a integral : I=\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x.
a) Estime I pela regra 1 / 3 de Simpson usando h=0.25;
b) estime I por Quadratura Gaussiana com 2 pontos ;
c) sabendo que o valor exato de I (usando 5 casas decimais) é 0.74682 , pede-se:
c1) compare as estimativas obtidas em (a) e (b);
c2) quantos pontos seriam necessários para que a regra dos trapézios obtivesse a mesma precisão que a estimativa obtida para I em (b)?
Passo 1
O enunciado dá a integral
I=\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx
e pede três coisas:
(a) estimar I pela regra 1/3 de Simpson com passo h=0,25;
(b) estimar I por quadratura de Gauss com 2 pontos (regra de Gauss–Legendre de 2 pontos, mapeada para [0,1]);
(c) sabendo que o valor exato (com 5 casas decimais) é 0,74682:
(c1) comparar as estimativas obtidas em (a) e (b) (ou seja, ver qual está mais próxima do valor exato e mostrar os erros);
(c2) determinar quantos pontos seriam necessários para que a regra dos trapézios tivesse a mesma precisão (ou seja, erro absoluto menor ou igual ao erro da estimativa em (b)).
Informações relevantes do enunciado:
Os limites do intervalo são a=0 e b=1.
Para (a) foi dado o passo h=0,25 (logo número de subintervalos n=(b-a)/h=4, que é par — ok para Simpson composto).
Para (b) usar a regra de Gauss com 2 pontos (nós em \pm 1/\sqrt{3} no intervalo padrão [-1,1], pesos iguais a 1); teremos que mapear para [0,1].
Para (c2) precisaremos de uma fórmula de erro para a regra composta dos trapézios; ela envolve \max_{[0,1]}|f''(x)| com f(x)=e^{-x^{2}}.
Passo 2
Regra composta de Simpson (fórmula e explicação rápida).
A regra composta de Simpson para n subintervalos (com n par) e passo h=(b-a)/n é
Calculamos f(x)=e^{-x^{2}} em cada nó. Vou mostrar cálculo com boa precisão (usei expansão de série para e^{-x^2} nos pontos pequenos para não depender de calculadora):f(0)=e^{0}=1.
f(0{,}25)=e^{-(0{,}25)^{2}}=e^{-0{,}0625}\approx 0{,}939413062730\quad(\text{usei a série de }e^{-x}).
Quadratura de Gauss de 2 pontos (fórmula, mapeamento e cálculo).
A regra de Gauss–Legendre de 2 pontos no intervalo padrão [-1,1] usa nós t_{1}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}, t_{2}=+\dfrac{1}{\sqrt{3}} e pesos w_{1}=w_{2}=1. Para um intervalo [a,b] faz-se o mapeamento
Conclusão: a estimativa de Simpson (com h=0{,}25) está mais próxima do valor exato do que a estimativa de Gauss com 2 pontos: Simpson teve erro absoluto aproximadamente 3{,}54\times 10^{-5}, enquanto Gauss2 teve erro aproximadamente 1{,}34\times 10^{-4}. Ou seja, nesta integral particular e com esses parâmetros, Simpson foi mais preciso.
Passo 5
Quantos pontos seriam necessários na regra dos trapézios para atingir a mesma precisão da estimativa em (b) (parte (c2)).
Vamos usar o limite superior do erro da regra composta dos trapézios. Para f\in C^{2}[a,b] o erro da regra composta dos trapézios com n subintervalos (passo h=(b-a)/n) satisfaz
No intervalo [0,1] examinamos |f''(x)|=|4x^{2}-2|e^{-x^{2}}. O máximo absoluto ocorre em x=0 porque 4x^{2}-2 varia entre -2 e 2 e o fator e^{-x^{2}}\le 1, então
\max_{[0,1]}|f''(x)|=|f''(0)|=2.
Substituindo a=0, b=1 e \max|f''|=2 na fórmula do erro:
logo n\ge \sqrt{1245{,}9156}\approx 35{,}29. Como n precisa ser inteiro (número de subintervalos), tomamos n=36 subintervalos.
Observação sobre “pontos”: a regra composta dos trapézios com n subintervalos usa n+1 pontos (nós). Portanto, para alcançar (pela cota) a mesma precisão da estimativa de Gauss2 precisamos de pelo menos n=36 subintervalos, ou seja 36+1=37 pontos.
Resposta
(a) I_{\text{Simpson}}\approx 0,746855379763162
(b) I_{\text{Gauss2}}\approx 0,74668620545
(c1) Erros absolutos: E_{\text{Simpson}}\approx 0,0000353798, E_{\text{Gauss2}}\approx 0,0001337946. A estimativa de Simpson é mais precisa neste caso.
(c2) Pela cota do erro composta do trapézio obtemos n\ge 36 subintervalos, ou seja, 37 pontos.