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Considere a integral : I=\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x.
a) Estime I pela regra 1 / 3 de Simpson usando h=0.25;
b) estime I por Quadratura Gaussiana com 2 pontos ;
c) sabendo que o valor exato de I (usando 5 casas decimais) é 0.74682 , pede-se:
c1) compare as estimativas obtidas em (a) e (b);
c2) quantos pontos seriam necessários para que a regra dos trapézios obtivesse a mesma precisão que a estimativa obtida para I em (b)?

Passo 1

O enunciado dá a integral
I=\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx
e pede três coisas:
  • (a) estimar I pela regra 1/3 de Simpson com passo h=0,25;
  • (b) estimar I por quadratura de Gauss com 2 pontos (regra de Gauss–Legendre de 2 pontos, mapeada para [0,1]);
  • (c) sabendo que o valor exato (com 5 casas decimais) é 0,74682:
    • (c1) comparar as estimativas obtidas em (a) e (b) (ou seja, ver qual está mais próxima do valor exato e mostrar os erros);
    • (c2) determinar quantos pontos seriam necessários para que a regra dos trapézios tivesse a mesma precisão (ou seja, erro absoluto menor ou igual ao erro da estimativa em (b)).
Informações relevantes do enunciado:
  • Os limites do intervalo são a=0 e b=1.
  • Para (a) foi dado o passo h=0,25 (logo número de subintervalos n=(b-a)/h=4, que é par — ok para Simpson composto).
  • Para (b) usar a regra de Gauss com 2 pontos (nós em \pm 1/\sqrt{3} no intervalo padrão [-1,1], pesos iguais a 1); teremos que mapear para [0,1].
  • Para (c2) precisaremos de uma fórmula de erro para a regra composta dos trapézios; ela envolve \max_{[0,1]}|f''(x)| com f(x)=e^{-x^{2}}.

Passo 2

Regra composta de Simpson (fórmula e explicação rápida).
  • A regra composta de Simpson para n subintervalos (com n par) e passo h=(b-a)/n é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\Big),
onde x_k=a+k h.
  • Aqui a=0, b=1, h=0,25 e n=4. Os nós são
x_0=0,\; x_1=0{,}25,\; x_2=0{,}5,\; x_3=0{,}75,\; x_4=1.
  • Calculamos f(x)=e^{-x^{2}} em cada nó. Vou mostrar cálculo com boa precisão (usei expansão de série para e^{-x^2} nos pontos pequenos para não depender de calculadora): f(0)=e^{0}=1.
f(0{,}25)=e^{-(0{,}25)^{2}}=e^{-0{,}0625}\approx 0{,}939413062730\quad(\text{usei a série de }e^{-x}).é
f(0{,}5)=e^{-0{,}25}\approx 0{,}7788007830714049.
f(0{,}75)=e^{-0{,}5625}\approx 0{,}569782824730923.
f(1)=e^{-1}\approx 0{,}36787944117144233.
  • Agora aplicamos a fórmula de Simpson:
I_{\text{Simpson}}=\frac{h}{3}\Big(f(0)+4f(0{,}25)+2f(0{,}5)+4f(0{,}75)+f(1)\Big).
Substituindo os valores:
\begin{aligned} S &= f(0)+4f(0{,}25)+2f(0{,}5)+4f(0{,}75)+f(1)\\\ &= 1 + 4(0{,}939413062730) + 2(0{,}7788007830714049) + 4(0{,}569782824730923) + 0{,}36787944117144233\\\ &\approx 8{,}962264557157944. \end{aligned}
Como \dfrac{h}{3}=\dfrac{0{,}25}{3}=\dfrac{1}{12},
I_{\text{Simpson}}=\frac{1}{12}\,S \approx \frac{8{,}962264557157944}{12}\approx 0{,}746855379763162.
Portanto a estimativa por Simpson com h=0{,}25 é
I_{\text{Simpson}}\approx 0{,}746855379763162.

Passo 3

Quadratura de Gauss de 2 pontos (fórmula, mapeamento e cálculo).
  • A regra de Gauss–Legendre de 2 pontos no intervalo padrão [-1,1] usa nós t_{1}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}, t_{2}=+\dfrac{1}{\sqrt{3}} e pesos w_{1}=w_{2}=1. Para um intervalo [a,b] faz-se o mapeamento
x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\,t, \qquad dx=\frac{b-a}{2}\,dt,
e a integral torna-se
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{2} w_i f\!\Big(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t_i\Big).
  • Para [0,1] temos \dfrac{b-a}{2}=\dfrac{1}{2} e os nós transformados são
x_{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}},\qquad x_{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}.
Numericamente, com 1/\sqrt{3}\approx 0{,}5773502691896257:
x_{1}\approx 0{,}21132486540518713,\qquad x_{2}\approx 0{,}7886751345948129.
  • Avaliamos f(x)=e^{-x^{2}} nesses pontos. Notei que pode-se escrever exatamente
x_{1}^{2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2\sqrt{3}}\approx 0{,}0446581987385204, \qquad x_{2}^{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\approx 0{,}6220084679281462,
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f(x_{1})=e^{-x_{1}^{2}}\approx e^{-0{,}0446581987385204}\approx 0{,}9563242189,
f(x_{2})=e^{-x_{2}^{2}}\approx e^{-0{,}6220084679281462}\approx 0{,}5370481920.
  • A estimativa pela regra de Gauss com 2 pontos é
I_{\text{Gauss2}}=\frac{1}{2}\big(f(x_{1})+f(x_{2})\big) \approx \frac{1}{2}\big(0{,}9563242189+0{,}5370481920\big) \approx 0{,}74668620545.

Passo 4

Comparação das estimativas com o valor exato e cálculo dos erros (parte (c1)).
  • O valor “exato” dado é I_{\text{exato}}=0{,}74682 (cinco casas).
  • Erro absoluto da regra de Simpson:
E_{\text{Simpson}}=\big|I_{\text{Simpson}}-I_{\text{exato}}\big| =\big|0{,}746855379763162-0{,}74682\big| \approx 0{,}000035379763162\approx 3{,}54\times 10^{-5}.
  • Erro absoluto da quadratura de Gauss (2 pontos):
E_{\text{Gauss2}}=\big|I_{\text{Gauss2}}-I_{\text{exato}}\big| =\big|0{,}74668620545-0{,}74682\big| \approx 0{,}00013379455\approx 1{,}34\times 10^{-4}.
  • Conclusão: a estimativa de Simpson (com h=0{,}25) está mais próxima do valor exato do que a estimativa de Gauss com 2 pontos: Simpson teve erro absoluto aproximadamente 3{,}54\times 10^{-5}, enquanto Gauss2 teve erro aproximadamente 1{,}34\times 10^{-4}. Ou seja, nesta integral particular e com esses parâmetros, Simpson foi mais preciso.

Passo 5

Quantos pontos seriam necessários na regra dos trapézios para atingir a mesma precisão da estimativa em (b) (parte (c2)).
  • Vamos usar o limite superior do erro da regra composta dos trapézios. Para f\in C^{2}[a,b] o erro da regra composta dos trapézios com n subintervalos (passo h=(b-a)/n) satisfaz
|E_{\text{trap}}|\le \frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|.
  • Aqui f(x)=e^{-x^{2}}. Derivando:
f'(x)=-2x e^{-x^{2}},\qquad f''(x)=(4x^{2}-2)e^{-x^{2}}.
No intervalo [0,1] examinamos |f''(x)|=|4x^{2}-2|e^{-x^{2}}. O máximo absoluto ocorre em x=0 porque 4x^{2}-2 varia entre -2 e 2 e o fator e^{-x^{2}}\le 1, então
\max_{[0,1]}|f''(x)|=|f''(0)|=2.
  • Substituindo a=0, b=1 e \max|f''|=2 na fórmula do erro:
|E_{\text{trap}}|\le \frac{(1-0)^{3}}{12\,n^{2}}\cdot 2=\frac{1}{6\,n^{2}}.
  • Queremos que essa cota seja menor ou igual ao erro obtido por Gauss2, isto é
\frac{1}{6\,n^{2}}\le E_{\text{Gauss2}}\approx 0{,}00013379455.
  • Resolvendo para n:
n^{2}\ge \frac{1}{6\cdot 0{,}00013379455}\approx 1245{,}9156,
logo n\ge \sqrt{1245{,}9156}\approx 35{,}29. Como n precisa ser inteiro (número de subintervalos), tomamos n=36 subintervalos.
  • Observação sobre “pontos”: a regra composta dos trapézios com n subintervalos usa n+1 pontos (nós). Portanto, para alcançar (pela cota) a mesma precisão da estimativa de Gauss2 precisamos de pelo menos n=36 subintervalos, ou seja 36+1=37 pontos.

Resposta

(a) I_{\text{Simpson}}\approx 0,746855379763162
(b) I_{\text{Gauss2}}\approx 0,74668620545
(c1) Erros absolutos: E_{\text{Simpson}}\approx 0,0000353798, E_{\text{Gauss2}}\approx 0,0001337946. A estimativa de Simpson é mais precisa neste caso.
(c2) Pela cota do erro composta do trapézio obtemos n\ge 36 subintervalos, ou seja, 37 pontos.

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