14- Um estudo de engenharia de transporte exige que você determine o número de carros que passa por uma intersecção durante o horário de rush da manhã. Você fica em um lado da estrada e conta o número de carros que passa a cada 4 minutos em diferentes instantes, como tabulado a seguir. Use o melhor método numérico para determinar o número total de carros que passa entre 7:30 e 9:15. (sugestão: tenha cuidado com as unidades).
Horário (h)
Taxa (carros em 4 min )
18
24
14
24
21
9
| Horário (h) |
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|
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| Taxa (carros em 4 min ) | 18 | 24 | 14 | 24 | 21 | 9 |
Passo 1
O enunciado pede que eu estime o número total de carros que passam pela intersecção entre as horas
e
, usando os dados tabulados. Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
As perguntas são: qual é o número total de carros que passam entre
e
. Observações importantes (retirei da tabela): as leituras foram feitas em instantes separados (nem todos igualmente espaçados), e a taxa está dada em “carros por 4 minutos” — atenção para as unidades.
Passo 2
Ideia matemática por trás do problema (sem pular etapas): a função
que representa a taxa de passagem (carros por unidade de tempo) tem a propriedade que o número total de carros entre tempos
e
é a integral
Aqui temos amostras discretas de
em instantes; então usamos um método numérico para aproximar essa integral. Antes de aplicar qualquer fórmula, precisamos deixar as unidades consistentes: as taxas estão em “carros por 4 minutos”. Para integrar em minutos, converto para “carros por minuto” dividindo cada valor por
. Explicando devagar: se em 4 minutos passam
carros, então a taxa média é
carros por minuto.
Passo 3
Convertendo horários em minutos a partir de
(escolha conveniente) e convertendo taxas para carros por minuto:
- Tempos (minutos desde
):
(derivei esses valores subtraindo
dos horários:
é
min depois, etc.)
- Taxas originais (carros em 4 min):
. Convertendo para carros por minuto dividindo por :
Expliquei cada passo: tempo em minutos e taxa em carros/minuto — assim a integral em minutos dará número de carros.
Passo 4
Escolha do método numérico e justificativa: os pontos não são uniformemente espaçados (há intervalos de
min e de
min), então a regra de Simpson composta exige espaçamento uniforme e não pode ser aplicada diretamente em toda a janela sem mais pontos. O método mais robusto e simples aqui é a regra trapezoidal generalizada para intervalos não uniformes, que para um intervalo
dá a aproximação
Explicando em palavras: aproximamos
entre dois pontos por uma reta (o trapézio) e calculamos a área desse trapézio; somando esses trapézios para todos os subintervalos obtemos a aproximação da integral total.
Passo 5
Aplicando a regra trapezoidal intervalo a intervalo. Vou calcular a contribuição de cada subintervalo
usando
e
já obtidos.
- Intervalo
: ,
- Intervalo
: ,
- Intervalo
: ,
- Intervalo
: ,
- Intervalo
: ,
Cada número acima está em “carros” porque integramos taxa (carros/min) sobre tempo (min).
Passo 6
Somando todas as contribuições para obter o total aproximado de carros:
Interpretação: a aproximação dá
carros que passaram entre
e
. Como estamos contando carros, é razoável arredondar para o inteiro mais próximo se quisermos um número de carros: aproximadamente
carros.
Passo 7
Breve comentário sobre precisão e sobre a escolha do método (para você na prova): usamos a regra trapezoidal porque os pontos não tinham espaçamento uniforme e porque é simples e confiável. Se tivéssemos medições a cada
minutos consistentemente (espacamento uniforme) poderíamos tentar Simpson composta para maior precisão. Aqui, se aparecesse um ponto intermediário em
poderíamos melhorar a aproximação. Mas com os dados dados, a trapezoidal generalizada é o “melhor” método prático e seguro.