14- Um estudo de engenharia de transporte exige que você determine o número de carros que passa por uma intersecção durante o horário de rush da manhã. Você fica em um lado da estrada e conta o número de carros que passa a cada 4 minutos em diferentes instantes, como tabulado a seguir. Use o melhor método numérico para determinar o número total de carros que passa entre 7:30 e 9:15. (sugestão: tenha cuidado com as unidades).
Horário (h) 7: 30 7: 45 8: 00 8: 15 8: 45 9: 15
Taxa (carros em 4 min ) 18 24 14 24 21 9

Passo 1

O enunciado pede que eu estime o número total de carros que passam pela intersecção entre as horas 7{:}30 e 9{:}15, usando os dados tabulados. Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccc} \text{Horário} & 7{:}30 & 7{:}45 & 8{:}00 & 8{:}15 & 8{:}45 & 9{:}15\\hline \text{Taxa (carros em 4 min)} & 18 & 24 & 14 & 24 & 21 & 9 \end{array}á
As perguntas são: qual é o número total de carros que passam entre 7{:}30 e 9{:}15. Observações importantes (retirei da tabela): as leituras foram feitas em instantes separados (nem todos igualmente espaçados), e a taxa está dada em “carros por 4 minutos” — atenção para as unidades.

Passo 2

Ideia matemática por trás do problema (sem pular etapas): a função r(t) que representa a taxa de passagem (carros por unidade de tempo) tem a propriedade que o número total de carros entre tempos a e b é a integral
\int_{a}^{b} r(t)\,dt.
Aqui temos amostras discretas de r em instantes; então usamos um método numérico para aproximar essa integral. Antes de aplicar qualquer fórmula, precisamos deixar as unidades consistentes: as taxas estão em “carros por 4 minutos”. Para integrar em minutos, converto para “carros por minuto” dividindo cada valor por 4. Explicando devagar: se em 4 minutos passam 18 carros, então a taxa média é \dfrac{18}{4} carros por minuto.

Passo 3

Convertendo horários em minutos a partir de 7{:}30 (escolha conveniente) e convertendo taxas para carros por minuto:
  • Tempos (minutos desde 7{:}30):
t_0=0,\quad t_1=15,\quad t_2=30,\quad t_3=45,\quad t_4=75,\quad t_5=105.
(derivei esses valores subtraindo 7{:}30 dos horários: 7{:}45 é 15 min depois, etc.)
  • Taxas originais (carros em 4 min): 18,\,24,\,14,\,24,\,21,\,9. Convertendo para carros por minuto dividindo por 4:
\begin{aligned} r_0&=\dfrac{18}{4}=4{,}5,\\\ r_1&=\dfrac{24}{4}=6,\\\ r_2&=\dfrac{14}{4}=3{,}5,\\\ r_3&=\dfrac{24}{4}=6,\\\ r_4&=\dfrac{21}{4}=5{,}25,\\\ r_5&=\dfrac{9}{4}=2{,}25. \end{aligned}
Expliquei cada passo: tempo em minutos e taxa em carros/minuto — assim a integral em minutos dará número de carros.

Passo 4

Escolha do método numérico e justificativa: os pontos não são uniformemente espaçados (há intervalos de 15 min e de 30 min), então a regra de Simpson composta exige espaçamento uniforme e não pode ser aplicada diretamente em toda a janela sem mais pontos. O método mais robusto e simples aqui é a regra trapezoidal generalizada para intervalos não uniformes, que para um intervalo [t_i,t_{i+1}] dá a aproximação
\int_{t_i}^{t_{i+1}} r(t)\,dt \approx \frac{t_{i+1}-t_i}{2}\,\bigl(r_i+r_{i+1}\bigr).
Explicando em palavras: aproximamos r(t) entre dois pontos por uma reta (o trapézio) e calculamos a área desse trapézio; somando esses trapézios para todos os subintervalos obtemos a aproximação da integral total.

Passo 5

Aplicando a regra trapezoidal intervalo a intervalo. Vou calcular a contribuição de cada subintervalo [t_i,t_{i+1}] usando h_i=t_{i+1}-t_i e r_i,r_{i+1} já obtidos.
  1. Intervalo t_0\to t_1: h_0=15,
\text{contribuição}_0 = 15\cdot\frac{4{,}5+6}{2}=15\cdot 5{,}25=78{,}75.çã
  1. Intervalo t_1\to t_2: h_1=15,
\text{contribuição}_1 = 15\cdot\frac{6+3{,}5}{2}=15\cdot 4{,}75=71{,}25.çã
  1. Intervalo t_2\to t_3: h_2=15,
\text{contribuição}_2 = 15\cdot\frac{3{,}5+6}{2}=15\cdot 4{,}75=71{,}25.çã
  1. Intervalo t_3\to t_4: h_3=30,
\text{contribuição}_3 = 30\cdot\frac{6+5{,}25}{2}=30\cdot 5{,}625=168{,}75.çã
  1. Intervalo t_4\to t_5: h_4=30,
\text{contribuição}_4 = 30\cdot\frac{5{,}25+2{,}25}{2}=30\cdot 3{,}75=112{,}50.çã
Cada número acima está em “carros” porque integramos taxa (carros/min) sobre tempo (min).

Passo 6

Somando todas as contribuições para obter o total aproximado de carros:
\begin{aligned} \text{Total} &\approx 78{,}75 + 71{,}25 + 71{,}25 + 168{,}75 + 112{,}50\\\ &= 502{,}50. \end{aligned}
Interpretação: a aproximação dá 502{,}5 carros que passaram entre 7{:}30 e 9{:}15. Como estamos contando carros, é razoável arredondar para o inteiro mais próximo se quisermos um número de carros: aproximadamente 503 carros.

Passo 7

Breve comentário sobre precisão e sobre a escolha do método (para você na prova): usamos a regra trapezoidal porque os pontos não tinham espaçamento uniforme e porque é simples e confiável. Se tivéssemos medições a cada 15 minutos consistentemente (espacamento uniforme) poderíamos tentar Simpson composta para maior precisão. Aqui, se aparecesse um ponto intermediário em 8{:}30 poderíamos melhorar a aproximação. Mas com os dados dados, a trapezoidal generalizada é o “melhor” método prático e seguro.

Resposta

502{,}5 carros (aproximadamente 503 carros)

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