(P2. 14 - pág 81) - Uma carga rotativa é conectada, através de um sistema de engrenagens, a um motor elétrico CC controlado pelo campo. Supõe-se que o motor seja linear. Ao se fazer um teste aplicando uma tensão constante de 80 V nos terminais de alimentação do motor, constata-se que a carga alcança uma velocidade de
. A velocidade de saída em estado estacionário é de
. A indutância do campo pode ser desprezada. Observe, também, que a aplicação de 80 V aos terminais de alimentação do motor corresponde a um degrau de entrada com 80 V de magnitude.
Passo 1
Dados fornecidos (extraímos diretamente do enunciado):
- Foi aplicado um degrau de tensão de magnitude
nos terminais do motor. - Observou-se que, após
, a velocidade da carga vale . - A velocidade de saída em regime permanente por unidade de tensão é
(ou seja, ganho estático por tensão). - A indutância do campo é desprezível.
- O motor é considerado linear.
O que o enunciado pede (inferido): obter o modelo de primeira ordem (função de transferência) que relaciona a tensão de entrada à velocidade angular de saída, usando os dados experimentais fornecidos.
Passo 2
Por que usar um modelo de primeira ordem e qual a forma dele?
- Quando a indutância (dinâmica elétrica) é desprezível e o motor é linear, a resposta dinâmica vista na velocidade costuma ser dominada pela dinâmica mecânica (atrito, inércia) e se aproxima de um sistema de primeira ordem. Isso é a hipótese usual e suficiente para tratar o problema dado os poucos dados experimentais.
- A forma canônica da função de transferência de um sistema de primeira ordem (entrada: tensão
; saída: velocidade ) é
onde:
-
é o ganho estático do sistema (unidade: ); ele diz a velocidade em regime permanente por cada volt aplicado; -
é a constante de tempo (unidade: ); ela mede a rapidez da resposta: quanto menor , mais rápido o sistema atinge o regime. - A resposta ao degrau de amplitude
para esse sistema é (parte importante da teoria de primeira ordem):
onde:
-
é a velocidade em no instante ; -
é a amplitude do degrau em .
Vou usar essa fórmula para descobrir
a partir dos dados e confirmar
a partir da informação de ganho em regime permanente.
Passo 3
Determinar o ganho estático
.
- O enunciado dá diretamente o ganho em regime permanente: a velocidade de saída em estado estacionário é
. Portanto
- Com
(o degrau aplicado), a velocidade em regime permanente prevista pelo modelo é
Passo 4
Usar a informação transitória (valor em
) para achar
.
- A fórmula da resposta ao degrau dá, no instante
,
- Sabemos que
(dado do enunciado) e , então
- Isolando a exponencial:
- Ou seja
- Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
- Logo
- Agora calculamos numericamente. Usando a expansão de
para ou uma calculadora de precisão, obtemos
portanto
Observação didática rápida: esse
é grande (cerca de 96 s), o que indica resposta lenta — por isso em
só alcançamos
frente a um regime de
.
Passo 5
Montar a função de transferência com os valores encontrados e apresentar formas equivalentes.
- A função de transferência do sistema (tensão
velocidade) é
com
e
. Substituindo:
- Alternativamente, dividindo numerador e denominador por
, podemos escrever na forma de pólo:
onde o polo está em
.
- Verificação rápida: com essa
e , a resposta em fica aproximadamente , como observado — portanto o modelo está consistente com os dados.