(P2. 14 - pág 81) - Uma carga rotativa é conectada, através de um sistema de engrenagens, a um motor elétrico CC controlado pelo campo. Supõe-se que o motor seja linear. Ao se fazer um teste aplicando uma tensão constante de 80 V nos terminais de alimentação do motor, constata-se que a carga alcança uma velocidade de 1 \mathrm{rad} / \mathrm{s} \mathrm{em} 1 / 2 \mathrm{~s}. A velocidade de saída em estado estacionário é de 2,4 \mathrm{rad} / \mathrm{V}. A indutância do campo pode ser desprezada. Observe, também, que a aplicação de 80 V aos terminais de alimentação do motor corresponde a um degrau de entrada com 80 V de magnitude.

Passo 1

Dados fornecidos (extraímos diretamente do enunciado):
  • Foi aplicado um degrau de tensão de magnitude \,80\\ \mathrm{V}\, nos terminais do motor.
  • Observou-se que, após 0,5\\ \mathrm{s}, a velocidade da carga vale \,1\\ \mathrm{rad/s}\,.
  • A velocidade de saída em regime permanente por unidade de tensão é \,2,4\\ \mathrm{rad/V}\, (ou seja, ganho estático por tensão).
  • A indutância do campo é desprezível.
  • O motor é considerado linear.
O que o enunciado pede (inferido): obter o modelo de primeira ordem (função de transferência) que relaciona a tensão de entrada à velocidade angular de saída, usando os dados experimentais fornecidos.

Passo 2

Por que usar um modelo de primeira ordem e qual a forma dele?
  • Quando a indutância (dinâmica elétrica) é desprezível e o motor é linear, a resposta dinâmica vista na velocidade costuma ser dominada pela dinâmica mecânica (atrito, inércia) e se aproxima de um sistema de primeira ordem. Isso é a hipótese usual e suficiente para tratar o problema dado os poucos dados experimentais.
  • A forma canônica da função de transferência de um sistema de primeira ordem (entrada: tensão u(t); saída: velocidade \omega(t)) é
G(s)=\frac{\Omega(s)}{U(s)}=\frac{K}{\tau s + 1},
onde:
  • K é o ganho estático do sistema (unidade: \mathrm{(rad/s)/V}); ele diz a velocidade em regime permanente por cada volt aplicado;
  • \tau é a constante de tempo (unidade: \mathrm{s}); ela mede a rapidez da resposta: quanto menor \tau, mais rápido o sistema atinge o regime.
  • A resposta ao degrau de amplitude U_0 para esse sistema é (parte importante da teoria de primeira ordem):
\omega(t)=K\,U_0\left(1-e^{-t/\tau}\right),
onde:
  • \omega(t) é a velocidade em \mathrm{rad/s} no instante t;
  • U_0 é a amplitude do degrau em \mathrm{V}.
Vou usar essa fórmula para descobrir \tau a partir dos dados e confirmar K a partir da informação de ganho em regime permanente.

Passo 3

Determinar o ganho estático K.
  • O enunciado dá diretamente o ganho em regime permanente: a velocidade de saída em estado estacionário é \,2,4\\ \mathrm{rad/V}. Portanto
K = 2,4\\ \mathrm{(rad/s)/V}.
  • Com U_0=80\\ \mathrm{V} (o degrau aplicado), a velocidade em regime permanente prevista pelo modelo é
\omega_{\mathrm{ss}} = K U_0 = 2,4 \times 80 = 192\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Usar a informação transitória (valor em t=0{,}5\\ \mathrm{s}) para achar \tau.
  • A fórmula da resposta ao degrau dá, no instante t=0{,}5\\ \mathrm{s},
\omega(0{,}5)=\omega_{\mathrm{ss}}\left(1-e^{-0{,}5/\tau}\right).
  • Sabemos que \omega(0{,}5)=1\\ \mathrm{rad/s} (dado do enunciado) e \omega_{\mathrm{ss}}=192\\ \mathrm{rad/s}, então
1 = 192\left(1-e^{-0{,}5/\tau}\right).
  • Isolando a exponencial:
1 - \frac{1}{192} = e^{-0{,}5/\tau}.
  • Ou seja
e^{-0{,}5/\tau} = \frac{191}{192}.
  • Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
-\,\frac{0{,}5}{\tau} = \ln\!\left(\frac{191}{192}\right).
  • Logo
\tau = -\,\frac{0{,}5}{\ln\!\left(\dfrac{191}{192}\right)}.
  • Agora calculamos numericamente. Usando a expansão de \ln(1-x) para x=\dfrac{1}{192} ou uma calculadora de precisão, obtemos
\ln\!\left(\frac{191}{192}\right)\approx -0{,}00522194,
portanto
\tau \approx -\frac{0{,}5}{-0{,}00522194}\approx 95{,}77\\ \mathrm{s}.
Observação didática rápida: esse \tau é grande (cerca de 96 s), o que indica resposta lenta — por isso em 0{,}5\\ \mathrm{s} só alcançamos 1\\ \mathrm{rad/s} frente a um regime de 192\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Montar a função de transferência com os valores encontrados e apresentar formas equivalentes.
  • A função de transferência do sistema (tensão \to velocidade) é
G(s)=\frac{K}{\tau s + 1}
com K=2,4 e \tau\approx 95{,}77\\ \mathrm{s}. Substituindo:
G(s)=\frac{2,4}{95{,}77\,s + 1}.
  • Alternativamente, dividindo numerador e denominador por \tau, podemos escrever na forma de pólo:
G(s)=\frac{2{,}4/95{,}77}{s + 1/95{,}77}\approx\frac{0{,}02506}{s + 0{,}01044},
onde o polo está em s=-1/\tau\approx -0{,}01044\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Verificação rápida: com essa G(s) e \,U_0=80\\ \mathrm{V}, a resposta em t=0{,}5\\ \mathrm{s} fica aproximadamente 1\\ \mathrm{rad/s}, como observado — portanto o modelo está consistente com os dados.

Resposta

K = 2,4\\ \mathrm{(rad/s)/V}
\tau \approx 95{,}77\\ \mathrm{s}
G(s)=\frac{2,4}{95{,}77\,s + 1}\approx\frac{0{,}02506}{s + 0{,}01044}.

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