6.171 Ar é admitido em um compressor operando em regime permanente com uma vazăo volumétrica de 0,2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar. O ar é comprimido isotermicamente em um processo livre de irreversibilidades internas, saindo a 8 bar. O ar é modelado como um gás ideal e os efeitos das energias cinética e potencial podem ser desprezados. Avalie a potência necessária e a quantidade de calor transferida, em kW.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Vazão volumétrica na entrada: \dot{V}=0,2\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Condições de entrada: temperatura 20^\circ\mathrm{C} e pressão 1\\ \mathrm{bar}. Portanto T=293{,}15\\ \mathrm{K} e p_1=1\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Processo: compressão isotérmica (mesma temperatura) e reversível (sem irreversibilidades internas), pressão de saída p_2=8\\ \mathrm{bar}=8\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Ar modelado como gás ideal.
  • Efeitos de energia cinética e potencial desprezíveis.
O enunciado pede:
  • Avaliar a potência necessária (em kW).
  • Avaliar a quantidade de calor transferida (em kW).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática curta e direta).
  1. Lei dos gases ideais: para uma massa m de gás vale
pV = m R T,
onde p é a pressão, V é o volume, R é a constante específica do gás e T é a temperatura (absoluta). Essa equação relaciona pressão, volume e temperatura de um gás ideal.
  1. Vazão mássica: a vazão volumétrica \dot{V} e a vazão mássica \dot{m} estão ligadas por
\dot{m}=\frac{p\,\dot{V}}{R\,T},
obtido isolando m em pV=mRT e dividindo por tempo (para condições de entrada usar p_1,T).
  1. Trabalho de compressão isotérmica reversível (por unidade de massa/tempo): para um processo isotérmico reversível o trabalho (por massa) é obtido da integral \int p\,dV. Para gás ideal, o trabalho por mol é W=nRT\ln\!\frac{V_2}{V_1}. Usando pV= const e V\propto1/p obtemos equivalente em pressões. Para taxa (potência):
\dot{W}=\dot{m}\,R\,T\ln\!\frac{p_2}{p_1}.
Aqui \dot{W} é a potência associada ao trabalho realizado sobre o fluido (entrada de trabalho no compressor).
  1. Simplificação útil: substituindo \dot{m}=\dfrac{p_1\dot{V}}{R T} na expressão anterior, nota-se que os R T se cancelam, resultando em uma expressão muito prática:
\dot{W}=p_1\,\dot{V}\,\ln\!\frac{p_2}{p_1}.
Isso mostra que, para compressão isotérmica, a potência requerida depende diretamente da pressão e vazão volumétrica na entrada e do fator logarítmico de compressão.
  1. Balanço de energia (1.º princípio) em regime estacionário e para gás ideal: como o processo é isotérmico e u=u(T) para gás ideal, há \Delta u=0 entre entrada e saída. Com energias cinética/potencial desprezíveis, o balanço simplifica para
\dot{Q}-\dot{W}=0 \quad\Rightarrow\quad \dot{Q}=\dot{W},
onde \dot{Q} é a taxa de calor transferida ao fluido (sinal positivo se entra no fluido). Para um compressor, o trabalho é feito sobre o fluido; para manter a temperatura constante esse trabalho deve ser retirado como calor para fora: em módulo, a potência térmica que sai do fluido é igual à potência elétrica/mecânica fornecida ao compressor. Vou explicar sinais na prática quando apresento o valor numérico.

Passo 3

Aplicando a fórmula prática para potência.
Usamos
\dot{W}=p_1\,\dot{V}\,\ln\!\frac{p_2}{p_1}.
Substituindo os valores conhecidos (atenção às unidades):
p_1=1\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa},\qquad \dot{V}=0,2\\ \mathrm{m^{3}/s},\qquad \frac{p_2}{p_1}=\frac{8\cdot10^{5}}{1\cdot10^{5}}=8.
Calcule o logaritmo:
\ln 8 = \ln(2^3)=3\ln 2 \approx 3\times 0{,}693147=2{,}0794415.
Agora o produto:
p_1\dot{V}=1\cdot10^{5}\times 0{,}2 = 2{,}0\cdot10^{4}\\ \mathrm{W}=20000\\ \mathrm{W}.
Logo
\dot{W}=20000\times 2{,}0794415 \approx 41588{,}83\\ \mathrm{W}.
Convertendo para kW:
\dot{W}\approx 41{,}589\\ \mathrm{kW}.
Interpretação de sinal: este \dot{W} é a potência que deve ser fornecida ao fluido (trabalho sobre o fluido). Em termos práticos do compressor, é a potência mecânica que o compressor precisa receber (desconsiderando perdas mecânicas/irrev., que aqui são nulas por hipótese).

Passo 4

Determinar a quantidade de calor transferida.
Pelo argumento do Passo 2 (balanço de energia e \Delta u=0 para gás ideal em processo isotérmico):
\dot{Q}=\dot{W}.
Sinais e interpretação: como trabalho é feito sobre o gás, para manter temperatura constante esse trabalho tende a aquecer o gás; para permanecer isotérmico é necessário retirar calor do gás para o ambiente. Assim a taxa de calor retirada do gás (ou seja, calor transferido do fluido para o meio externo) tem módulo igual a \dot{W}. Dependendo da convenção de sinal, pode escrever-se \dot{Q}_{\text{out}}=41{,}589\\ \mathrm{kW} ou \dot{Q}=-41{,}589\\ \mathrm{kW} se \dot{Q} for definido positivo para calor que entra no fluido. Aqui vou fornecer o valor em módulo e explicitar o sentido: calor removido do gás.
Portanto o calor transferido (em módulo) é 41{,}589\\ \mathrm{kW}, removido do fluido para o ambiente.

Passo 5

Verificação rápida de ordem de grandeza e unidades.
  • Unidade: p_1 em Pa vezes \dot{V} em m^3/s dá W, multiplicando por número adimensional ln(8) mantém em W. Está coerente.
  • Ordem de grandeza: compressão de 1 bar para 8 bar com vazão volumétrica de 0,2 m^3/s gerando ~40 kW faz sentido físico (não é absurdo).

Resposta

Potência necessária (trabalho fornecido ao compressor): 41{,}589\\ \mathrm{kW}
Quantidade de calor transferida (removida do gás, em módulo): 41{,}589\\ \mathrm{kW}

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