1 [2,0 pontos] - Considere um fio cilíndrico de raio
e com uma densidade de corrente NÃO uniforme dada por
, em que
é uma constante e r está ém metro.
a) Determinar a corrente total no fio;
b) Determinar a corrente que passa pelo fio na região entre
até
.
a) Determinar a corrente total no fio;
b) Determinar a corrente que passa pelo fio na região entre
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
-
Dados fornecidos:
- Raio do fio:
. - Densidade de corrente (não uniforme):
, com . - A variável
é a distância ao centro do fio (em metros).
- Raio do fio:
-
O que o enunciado pede:
a) Determinar a corrente total que atravessa a secção circular do fio (isto é, a corrente total que sai do fio por essa secção).
b) Determinar a corrente que passa na região anelar entree .
Passo 2
Conceito que vamos usar (aula rápida e prática):
- A corrente total que atravessa uma área transversal é a integral da densidade de corrente sobre essa área. Se a direção da corrente é ao longo do eixo do fio e
depende só de , então
- Em coordenadas polares (ou cilíndricas, vista da secção), um elemento de área anelar de raio
e espessura tem área
- Assim, para uma densidade
radialmente simétrica, a integral de corrente vira uma integral unidimensional em :
Aqui cada símbolo significa:
-
: corrente (em ampères, A). -
: densidade de corrente local (em A/m^2) dependente de . -
: raio (em m). -
: área da faixa circular entre e .
Passo 3
Cálculo da corrente total (parte a). Montamos a integral com os limites
a
:
Factorizando constantes:
Integral de
:
logo
Esta é a expressão analítica da corrente total. Agora substituímos os valores numéricos com cuidado de unidades.
Passo 4
Avaliação numérica de
:
- Primeiro
:
- Então
:
- Finalmente
Valor numérico aproximado (usando
):
Passo 5
Cálculo da corrente na região entre
e
(parte b). Fazemos a mesma integral com limites
a
:
Avalia-se a diferença:
Note que
. Substituindo:
Reconhecendo
, temos a relação simples
Passo 6
Avaliação numérica de
:
- Usando
,
Valor numérico:
Observação interpretativa rápida: a maior parte da corrente está próxima da borda (
grande), por isso o anel externo contém
da corrente total (≈93,75%).