1 [2,0 pontos] - Considere um fio cilíndrico de raio \mathbf{R}=2,0 \mathrm{~mm} e com uma densidade de corrente NÃO uniforme dada por \mathrm{J}=\mathrm{B} \cdot \mathrm{r}^{2}, em que \mathrm{B}=3,0 \times 10^{11} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{4} é uma constante e r está ém metro.
a) Determinar a corrente total no fio;
b) Determinar a corrente que passa pelo fio na região entre \mathrm{r}=\mathrm{R} / 2 até \mathrm{r}=\mathrm{R}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • Raio do fio: R = 2{,}0\\ \mathrm{mm} = 2{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
    • Densidade de corrente (não uniforme): J(r)=B\cdot r^{2}, com B=3{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{A/m^{4}}.
    • A variável r é a distância ao centro do fio (em metros).
  • O que o enunciado pede:
    a) Determinar a corrente total que atravessa a secção circular do fio (isto é, a corrente total que sai do fio por essa secção).
    b) Determinar a corrente que passa na região anelar entre r=R/2 e r=R.

Passo 2

Conceito que vamos usar (aula rápida e prática):
  • A corrente total que atravessa uma área transversal é a integral da densidade de corrente sobre essa área. Se a direção da corrente é ao longo do eixo do fio e J depende só de r, então
I=\iint_{\text{secção}} J(r)\,dA.çã
  • Em coordenadas polares (ou cilíndricas, vista da secção), um elemento de área anelar de raio r e espessura dr tem área
dA = \text{circunferência}\times\text{espessura} = 2\pi r\,dr.ê
  • Assim, para uma densidade J(r) radialmente simétrica, a integral de corrente vira uma integral unidimensional em r:
I=\int_{r_{\text{início}}}^{r_{\text{fim}}} J(r)\,2\pi r\,dr.í
Aqui cada símbolo significa:
  • I: corrente (em ampères, A).
  • J(r): densidade de corrente local (em A/m^2) dependente de r.
  • r: raio (em m).
  • dA=2\pi r\,dr: área da faixa circular entre r e r+dr.

Passo 3

Cálculo da corrente total (parte a). Montamos a integral com os limites 0 a R:
I_{\text{total}}=\int_{0}^{R} J(r)\,2\pi r\,dr =\int_{0}^{R} \bigl(B\,r^{2}\bigr)\,2\pi r\,dr.
Factorizando constantes:
I_{\text{total}}=2\pi B \int_{0}^{R} r^{3}\,dr.
Integral de r^{3}:
\int r^{3}\,dr=\frac{r^{4}}{4},
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I_{\text{total}}=2\pi B \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{R} =2\pi B\cdot\frac{R^{4}}{4} =\frac{\pi B R^{4}}{2}.
Esta é a expressão analítica da corrente total. Agora substituímos os valores numéricos com cuidado de unidades.

Passo 4

Avaliação numérica de I_{\text{total}}:
  • Primeiro R^{4}:
R^{4}=(2{,}0\times10^{-3})^{4}=16\times10^{-12}=1{,}6\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{4}}.
  • Então B R^{4}:
B R^{4}=(3{,}0\times10^{11})\times(1{,}6\times10^{-11})=4{,}8\\ \mathrm{(unidade\\ A)}.
  • Finalmente
I_{\text{total}}=\frac{\pi B R^{4}}{2}=\frac{\pi\cdot 4{,}8}{2}=2{,}4\pi\\ \mathrm{A}.
Valor numérico aproximado (usando \pi\approx3{,}14159):
I_{\text{total}}\approx 2{,}4\times 3{,}14159 \approx 7{,}54\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Cálculo da corrente na região entre r=R/2 e r=R (parte b). Fazemos a mesma integral com limites \,R/2 a R:
I_{R/2\to R}=\int_{R/2}^{R} B r^{2}\,2\pi r\,dr =2\pi B\int_{R/2}^{R} r^{3}\,dr =2\pi B\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{R/2}^{R}.
Avalia-se a diferença:
I_{R/2\to R}=\frac{\pi B}{2}\left(R^{4}-(R/2)^{4}\right).
Note que (R/2)^{4}=R^{4}/16. Substituindo:
I_{R/2\to R}=\frac{\pi B R^{4}}{2}\left(1-\frac{1}{16}\right) =\frac{\pi B R^{4}}{2}\cdot\frac{15}{16}.
Reconhecendo \dfrac{\pi B R^{4}}{2}=I_{\text{total}}, temos a relação simples
I_{R/2\to R}=I_{\text{total}}\cdot\frac{15}{16}.

Passo 6

Avaliação numérica de I_{R/2\to R}:
  • Usando I_{\text{total}}=2{,}4\pi\\ \mathrm{A},
I_{R/2\to R}=2{,}4\pi\cdot\frac{15}{16}=2{,}25\pi\\ \mathrm{A}.
Valor numérico:
I_{R/2\to R}\approx 2{,}25\times 3{,}14159 \approx 7{,}07\\ \mathrm{A}.
Observação interpretativa rápida: a maior parte da corrente está próxima da borda ( r grande), por isso o anel externo contém 15/16 da corrente total (≈93,75%).

Resposta

I_{\text{total}} = 2{,}4\pi\\ \mathrm{A} \approx 7{,}54\\ \mathrm{A}
I_{R/2\to R} = 2{,}25\pi\\ \mathrm{A} \approx 7{,}07\\ \mathrm{A}

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