Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realizou o último censo populacional brasileiro, que mostrou que o país possuía cerca de 190 milhões de habitantes. Supondo que a taxa de crescimento populacional do nosso país não se altere para o próximo século, e que a população se estabilizará em torno de 280 milhões de habitantes, um modelo matemático capaz de aproximar o número de habitantes §, em milhões, a cada ano (t), a partir de 1970, é dado por:
Baseado nesse modelo, e tomando a aproximação para o logaritmo natural:
A população brasileira será 90% da suposta população de estabilização aproximadamente no ano de:
a) 2065 .
b) 2070 .
c) 2075 .
d) 2080 .
a) 2065 .
b) 2070 .
c) 2075 .
d) 2080 .
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar em que ano a população brasileira, segundo o modelo dado, atinge 90% da população de estabilização.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
onde
é a população em milhões no ano
(com
medido em anos, por exemplo
é o ano 2010). A população de estabilização é
milhões. A aproximação fornecida é
Também calculamos 90% da estabilização para usar no modelo:
Passo 2
Colocamos a condição de 90% no modelo: queremos
. Então montamos a equação
Explicando os passos algébricos: subtraímos
de ambos os lados e isolamos o termo exponencial:
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Passo 3
Agora usamos logaritmo natural porque ele é a função inversa da exponencial natural; isto é, para qualquer
vale
. Aplicando
aos dois lados da igualdade do passo anterior temos
Aqui usamos a aproximação dada no enunciado:
Passo 4
Isolamos
. Dividindo ambos os lados por
obtemos
Calculando o quociente:
pois
. Logo
Como checagem rápida (opcional): com
temos
e
é aproximadamente
, de forma que
, consistente com 90% da estabilização.
Passo 5
Interpretação final: o modelo prevê que a população atinge aproximadamente
milhões (90% da estabilização) no ano
.
Resposta
b)