Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realizou o último censo populacional brasileiro, que mostrou que o país possuía cerca de 190 milhões de habitantes. Supondo que a taxa de crescimento populacional do nosso país não se altere para o próximo século, e que a população se estabilizará em torno de 280 milhões de habitantes, um modelo matemático capaz de aproximar o número de habitantes §, em milhões, a cada ano (t), a partir de 1970, é dado por:
P(t)=\left[280-190 \cdot e^{-0,019(t-1970)}\right]
Baseado nesse modelo, e tomando a aproximação para o logaritmo natural:
\ln \left(\frac{14}{95}\right) \cong-1,9
A população brasileira será 90% da suposta população de estabilização aproximadamente no ano de:
a) 2065 .
b) 2070 .
c) 2075 .
d) 2080 .

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar em que ano a população brasileira, segundo o modelo dado, atinge 90% da população de estabilização.
Informações relevantes do enunciado:
P(t)=\left[280-190\cdot e^{-0,019(t-1970)}\right]
onde P(t) é a população em milhões no ano t (com t medido em anos, por exemplo t=2010 é o ano 2010). A população de estabilização é 280 milhões. A aproximação fornecida é
\ln\!\left(\frac{14}{95}\right)\cong-1,9.
Também calculamos 90% da estabilização para usar no modelo:
0,9\cdot 280 = 252.

Passo 2

Colocamos a condição de 90% no modelo: queremos P(t)=252. Então montamos a equação
280-190\cdot e^{-0,019(t-1970)}=252.
Explicando os passos algébricos: subtraímos 252 de ambos os lados e isolamos o termo exponencial:
190\cdot e^{-0,019(t-1970)}=280-252=28.
Dividindo ambos os lados por 190 obtemos
e^{-0,019(t-1970)}=\frac{28}{190}=\frac{14}{95}.

Passo 3

Agora usamos logaritmo natural porque ele é a função inversa da exponencial natural; isto é, para qualquer x vale \ln(e^{x})=x. Aplicando \ln aos dois lados da igualdade do passo anterior temos
-0,019(t-1970)=\ln\!\left(\frac{14}{95}\right).
Aqui usamos a aproximação dada no enunciado:
\ln\!\left(\frac{14}{95}\right)\cong -1,9.

Passo 4

Isolamos t. Dividindo ambos os lados por -0,019 obtemos
t-1970=\frac{\ln\!\left(\frac{14}{95}\right)}{-0,019}\cong\frac{-1,9}{-0,019}.
Calculando o quociente:
\frac{-1,9}{-0,019}=\frac{1,9}{0,019}=100,
pois 0,019\cdot 100=1,9. Logo
t=1970+100=2070.
Como checagem rápida (opcional): com t=2070 temos e^{-0,019\cdot 100}=e^{-1,9} e 190\cdot e^{-1,9} é aproximadamente 28, de forma que 280-28\approx252, consistente com 90% da estabilização.

Passo 5

Interpretação final: o modelo prevê que a população atinge aproximadamente 252 milhões (90% da estabilização) no ano \,2070.

Resposta

b) 2070

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