((30,0)) Calcule as integrais:
\int \ln x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \ln x \, dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \ln x.
  • Trata‑se de uma integral indefinida (logo a resposta precisa de uma constante de integração C).
  • Como \ln x só está definida para x>0, trabalharemos inicialmente em x>0.

Passo 2

Vamos escolher um método para resolver a integral. Uma técnica muito útil quando aparece um logaritmo é a integração por partes. Antes de aplicar, vou ensinar e derivar a fórmula de integração por partes de forma bem clara.
A regra vem da regra do produto para derivadas. Se u=u(x) e v=v(x) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)\,dx=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx.
O lado esquerdo simplifica para u(x)v(x). Assim obtemos a fórmula de integração por partes:
\int u'(x)v(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x)\,dx.
Para usar de forma mais prática, costuma‑se escrever \,u = u(x), \,dv = v'(x)\,dx, então du = u'(x)\,dx e v é uma primitiva de dv. A fórmula fica
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Explico: escolha uma função u que simplify ao derivar (fica du simples) e escolha dv de forma que você consiga achar v facilmente.

Passo 3

Aplicando isso à nossa integral \int \ln x \, dx. Uma escolha natural (e a mais usada) é:
u = \ln x,\qquad dv = dx.
Agora calculamos du e v:
  • Diferenciando u: du = \frac{d}{dx}(\ln x)\,dx = \frac{1}{x}\,dx.
  • Integrando dv: v = \int dv = \int dx = x.
Eu escolhi u=\ln x porque a derivada de \ln x é \frac{1}{x}, que é mais simples que \ln x. E dv=dx é óbvio (sua primitiva é x).

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du. Substituindo:
\int \ln x \, dx = x\cdot \ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificamos o integrando dentro da última integral:
x\cdot\frac{1}{x} = 1.
Então
\int \ln x \, dx = x\ln x - \int 1\,dx.
A integral de 1 é x, logo
\int \ln x \, dx = x\ln x - x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Comentário sobre domínio e generalização: como a integral inicial tem \ln x, ela está definida para x>0, e a primitiva que encontramos
x\ln x - x + C
é válida em x>0. Se quiser a primitiva da função \ln|x| (definida para x\neq 0), a forma geral é
x\ln|x| - x + C,
pois a derivada de x\ln|x| - x é \ln|x| para x\neq 0.

Passo 6

Verificação rápida (sempre uma boa prática na prova): derivando o resultado para checar:
\frac{d}{dx}\big(x\ln x - x\big) = \frac{d}{dx}(x\ln x) - \frac{d}{dx}x.
Usando regra do produto em \frac{d}{dx}(x\ln x):
\frac{d}{dx}(x\ln x)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x + 1.
Subtraindo \frac{d}{dx}x=1 obtemos \ln x, que é exatamente a integranda. Portanto o resultado está correto.

Passo 7

Resumo prático para a prova: quando vir \int \ln x\,dx, faça integração por partes com u=\ln x e dv=dx. O resultado será sempre
x\ln x - x + C.
Força aí — você consegue! 😃

Resposta

x\ln x - x + C

Exercícios relacionados