((30,0)) Calcule as integrais:
\int \ln x d x;
\int \ln x d x;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Trata‑se de uma integral indefinida (logo a resposta precisa de uma constante de integração
). - Como
só está definida para , trabalharemos inicialmente em .
Passo 2
Vamos escolher um método para resolver a integral. Uma técnica muito útil quando aparece um logaritmo é a integração por partes. Antes de aplicar, vou ensinar e derivar a fórmula de integração por partes de forma bem clara.
A regra vem da regra do produto para derivadas. Se
e
são funções diferenciáveis, então
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
. Assim obtemos a fórmula de integração por partes:
Para usar de forma mais prática, costuma‑se escrever
,
, então
e
é uma primitiva de
. A fórmula fica
Explico: escolha uma função
que simplify ao derivar (fica
simples) e escolha
de forma que você consiga achar
facilmente.
Passo 3
Aplicando isso à nossa integral
. Uma escolha natural (e a mais usada) é:
Agora calculamos
e
:
- Diferenciando
: . - Integrando
: .
Eu escolhi
porque a derivada de
é
, que é mais simples que
. E
é óbvio (sua primitiva é
).
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula
. Substituindo:
Simplificamos o integrando dentro da última integral:
Então
A integral de
é
, logo
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Comentário sobre domínio e generalização: como a integral inicial tem
, ela está definida para
, e a primitiva que encontramos
é válida em
. Se quiser a primitiva da função
(definida para
), a forma geral é
pois a derivada de
é
para
.
Passo 6
Verificação rápida (sempre uma boa prática na prova): derivando o resultado para checar:
Usando regra do produto em
:
Subtraindo
obtemos
, que é exatamente a integranda. Portanto o resultado está correto.
Passo 7
Resumo prático para a prova: quando vir
, faça integração por partes com
e
. O resultado será sempre
Força aí — você consegue! 😃