(30e) Um cielo Diesel ideal ar-padrão tem uma razão de compressão de 18 e uma razao de corte (cutoff ratio) de r_c =2. No início do processo de compressão, o estado do ar é definido por P_{1}= 0,1 \mathrm{Mpa} e T_{1}=300 \mathrm{~K}.
Considere ainda que:
  • O ciclo é modelado com ar-padrão frio.
  • Os valores de: c_{p}=1,005 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} \mathrm{e} c_{v}=0,718 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}.
Tomando como base essas informações, determine:
Item Esc. Assertiva
4.1 3,75 A temperatura no final do processo de compressão isentrópico em K.
4.2 3,75 A temperatura no final do processo de adição de calor em K .
4.3 3,75 A temperatura no final do processo de expansão em K.
4.4 3,75 A massa de ar no ciclo em kg, se o volume no Ponto Morto Inferior for de 1.0 litro.
4.5 3,75 O calor que é adicionado ao ciclo \mathrm{em} \mathrm{kJ} / \mathrm{kg}.
4.6 3,75 O calor que é rejeitado do ciclo em kJ/kg.
4.7 3.75 O trabalho líquido do ciclo em kJ.
4.8 3,75 A eficiência térmica do cielo.
Considere ainda: \bar{R}=8,314 \mathrm{kPa} \cdot \mathrm{m}^{3} / \mathrm{kmol} \cdot \mathrm{K} ; M_{\text {ar }}=28,97 \mathrm{~kg} / \mathrm{kmol} ; 1 \mathrm{~m}^{3}=1000 \mathrm{l}; 1 \mathrm{MPa}=1000 \mathrm{kPa}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que ele pede (sem resolver ainda).
Dados do enunciado:
  • razão de compressão: \,r=\dfrac{V_1}{V_2}=18.
  • razão de cutoff (razão de corte): \,r_c=\dfrac{V_3}{V_2}=2.
  • pressão e temperatura no início da compressão (estado 1): \,P_1=0{,}1\\ \text{MPa}=100\\ \text{kPa} e \,T_1=300\\ \text{K}.
  • capacidades caloríficas: \,c_p=1{,}005\\ \text{kJ/kg}\cdot\text{K} e \,c_v=0{,}718\\ \text{kJ/kg}\cdot\text{K}.
  • constantes: \,\bar{R}=8{,}314\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3/\text{kmol}\cdot\text{K}, M_{\text{ar}}=28{,}97\\ \text{kg}/\text{kmol}.
  • volume no Ponto Morto Inferior (estado 1): \,V_1=1{,}0\\ \text{L}=0{,}001\\ \text{m}^3.
O que o exercício pede (itens 4.1 a 4.8):
  • 4.1 Temperatura no final do processo de compressão isentrópico ( T_2), em K.
  • 4.2 Temperatura no final do processo de adição de calor (após cutoff) ( T_3), em K.
  • 4.3 Temperatura no final do processo de expansão isentrópica ( T_4), em K.
  • 4.4 Massa de ar no ciclo ( m) em kg, usando V_1=1{,}0\\ \text{L}.
  • 4.5 Calor adicionado ao ciclo em \text{kJ/kg} ( q_{in} por kg).
  • 4.6 Calor rejeitado do ciclo em \text{kJ/kg} ( q_{out} por kg).
  • 4.7 Trabalho líquido do ciclo (em kJ) — aqui será o trabalho por ciclo, usando a massa encontrada em 4.4.
  • 4.8 Eficiência térmica do ciclo ( \eta).
Observação: todas as contas com gases ideais e ciclo Diesel ideal (ar-padrão frio). Vou usar notação padrão do ciclo Diesel e fórmulas básicas de gás ideal e processos isentrópicos/isobáricos/isochoros.

Passo 2

Calcular constantes úteis e explicar o porquê.
  1. Constante adiabática \gamma e constante específica dos gases R.
  • \gamma é a razão entre calor específico a pressão constante e calor específico a volume constante:
\gamma=\dfrac{c_p}{c_v}.
Explicando: c_p é energia para aquecer 1 kg do gás a pressão constante; c_v é energia para aquecer 1 kg a volume constante. Para ar seco \gamma\approx1{,}4.
Calculemos numericamente:
\gamma=\dfrac{1{,}005}{0{,}718}=1{,}3997\approx1{,}3997.
  1. Constante do gás específico R. Pode-se usar R=c_p-c_v (resultado da 1ª lei para gases ideais) ou \,R=\dfrac{\bar{R}}{M_{\text{ar}}}.
    Explicando: R aparece na equação do gás ideal \,pV=mRT. Unidades escolhidas: R em \text{kJ/kg}\cdot\text{K}, porque p em kPa e V em \text{m}^3 pV em kJ.
R=c_p-c_v=1{,}005-0{,}718=0{,}287\\ \text{kJ/kg}\cdot\text{K}.
(Verificação com \bar{R}/M: \dfrac{8{,}314}{28{,}97}=0{,}287, mesma coisa.)
Agora temos \gamma e R para usar nas fórmulas.

Passo 3

Calcular \,T_2 (final da compressão isentrópica 1→2).
Fórmula usada e por quê:
  • Para um processo isentrópico (reversível adiabático) de um gás ideal vale \,TV^{\gamma-1}=\text{constante}. Como V_1/V_2=r,
T_2 = T_1\, r^{\gamma-1}.
Explicando: a relação vem de combinar pV^\gamma=\text{const} com pV=RT (é a forma usual para transformar entre T e V em processo isentrópico).
Agora os cálculos passo a passo:
  • \gamma-1=1{,}3997-1=0{,}3997.
  • r^{\gamma-1}=18^{0{,}3997}. Para avaliar, usa-se logaritmo: \ln 18\approx2{,}8903718, então \ln(r^{\gamma-1})=(\gamma-1)\ln r\approx0{,}3997\cdot2{,}89037\approx1{,}15534. Logo r^{\gamma-1}=e^{1{,}15534}\approx3{,}1753.
  • Finalmente
T_2=300\cdot 3{,}1753\approx 952{,}6\\ \text{K}.
Portanto \,T_2\approx 952{,}6\\ \text{K}.

Passo 4

Calcular \,T_3 (final da adição de calor a pressão constante 2→3).
Motivo/fórmula:
  • No processo 2→3 a pressão é constante. Pela equação do gás ideal, T é proporcional a V em pressão constante:
\dfrac{T_3}{T_2}=\dfrac{V_3}{V_2}=r_c.
  • Assim
T_3 = T_2\\ r_c.
Cálculo numérico:
  • r_c=2, logo T_3=2\cdot T_2=2\cdot 952{,}6 \approx 1\,905{,}2\\ \text{K}.
Portanto \,T_3\approx 1\,905{,}2\\ \text{K}.

Passo 5

Calcular \,T_4 (final da expansão isentrópica 3→4).
Relação isentrópica para 3→4 (análoga à 1→2):
T_3 V_3^{\gamma-1}=T_4 V_4^{\gamma-1}\quad\Rightarrow\quad T_4 = T_3\left(\dfrac{V_3}{V_4}\right)^{\gamma-1}.
Mas V_4=V_1 (ciclo completo) e V_3/V_4=\dfrac{V_3/V_2}{V_4/V_2}=\dfrac{r_c}{r}. Portanto
\dfrac{V_3}{V_4}=\dfrac{r_c}{r} \quad\Rightarrow\quad T_4 = T_3\left(\dfrac{r_c}{r}\right)^{\gamma-1}.
É equivalente e muitas vezes mais prático usar razão inversa:
T_4 = T_3\left(\dfrac{1}{\dfrac{r}{r_c}}\right)^{\gamma-1} = T_3\left(\dfrac{r}{r_c}\right)^{-(\gamma-1)}.
Cálculo numérico:
  • \dfrac{r}{r_c}=\dfrac{18}{2}=9.
  • \left(\dfrac{r}{r_c}\right)^{-(\gamma-1)}=9^{-0{,}3997}=e^{-0{,}3997\ln 9}.
  • \ln 9\approx2{,}1972246 e -0{,}3997\ln 9\approx-0{,}87799. Então a potência vale e^{-0{,}87799}\approx0{,}4156.
  • Assim
T_4 = 1\,905{,}2\cdot 0{,}4156 \approx 791{,}8\\ \text{K}.
Portanto \,T_4\approx 791{,}8\\ \text{K}.

Passo 6

Calcular a massa de ar no ciclo quando V_1=1{,}0\\ \text{L}.
Usamos a equação do gás ideal no estado 1:
p_1 V_1 = m R T_1 \quad\Rightarrow\quad m=\dfrac{p_1 V_1}{R T_1}.
Explicando: p_1 V_1 é a energia/momento disponível no gás; dividindo por RT_1 obtemos a massa (essa é a forma direta do gás ideal).
Cálculo explícito (atenção às unidades usadas: p em kPa, V em m^3, R em kJ/kgK):
  • p_1=100\\ \text{kPa}, V_1=0{,}001\\ \text{m}^3, T_1=300\\ \text{K}, R=0{,}287\\ \text{kJ/kg}\cdot\text{K}.
  • Numerador: p_1V_1=100\cdot0{,}001=0{,}1\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3=0{,}1\\ \text{kJ}.
  • Denominador: R T_1=0{,}287\cdot300=86{,}1\\ \text{kJ/kg}.
  • Logo
m=\dfrac{0{,}1}{86{,}1}\approx 0{,}0011617\\ \text{kg}\approx 0{,}001162\\ \text{kg}.
Portanto a massa de ar no cilindro é aproximadamente m\approx0{,}001162\\ \text{kg} (ou 1{,}162\times10^{-3}\\ \text{kg}).

Passo 7

Calcular o calor adicionado por kg ( q_{in}, processo 2→3, pressão constante).
Para processo a pressão constante:
q_{in}=c_p\,(T_3-T_2).
Explicando: para aquecimento a pressão constante, a energia por unidade de massa é c_p\Delta T.
Como T_3= r_c T_2, \,T_3-T_2=(r_c-1)T_2. No caso r_c=2, então T_3-T_2=T_2. Assim
q_{in}=c_p\,(T_3-T_2)=c_p\,T_2.
Cálculo:
  • q_{in}=1{,}005\cdot 952{,}6\approx 957{,}4\\ \text{kJ/kg}.
Portanto q_{in}\approx 957{,}4\\ \text{kJ/kg}.

Passo 8

Calcular o calor rejeitado por kg ( q_{out}, processo 4→1, volume constante).
Para processo isocórico (volume constante):
q_{out}=c_v\,(T_4-T_1).
Explicando: em aquecimento/resfriamento a volume constante, calor por massa é c_v\Delta T. No ciclo de Otto/Diesel, o rejeitado é do estado 4 para 1.
Cálculo:
  • T_4\approx 791{,}8\\ \text{K}, T_1=300\\ \text{K}.
  • \Delta T = 491{,}8\\ \text{K}.
  • q_{out}=0{,}718\cdot 491{,}8\approx 353{,}3\\ \text{kJ/kg}.
Portanto q_{out}\approx 353{,}3\\ \text{kJ/kg}.

Passo 9

Calcular o trabalho líquido por kg e o trabalho líquido por ciclo (com a massa do cilindro).
  1. Trabalho líquido por kg:
w_{net}=q_{in}-q_{out}.
Cálculo:
w_{net}=957{,}4-353{,}3\approx 604{,}1\\ \text{kJ/kg}.
  1. Trabalho líquido do ciclo (por ciclo, usando a massa m do passo 6):
W_{net}=m\cdot w_{net}.
Cálculo:
  • m\approx0{,}001162\\ \text{kg}.
  • W_{net}=0{,}001162\cdot 604{,}1\approx 0{,}7018\\ \text{kJ}.
Portanto o trabalho útil do ciclo (por ciclo no cilindro de 1 L) é aproximadamente 0{,}7018\\ \text{kJ}.

Passo 10

Calcular a eficiência térmica do ciclo ( \eta).
Definição e fórmula:
\eta=\dfrac{w_{net}}{q_{in}}=1-\dfrac{q_{out}}{q_{in}}.
Cálculo:
\eta=\dfrac{604{,}1}{957{,}4}\approx 0{,}6309\approx 63{,}09\%.
Interpretação rápida: cerca de 63{,}1\% da energia fornecida é convertida em trabalho útil (valor alto por tratar-se de ciclo ideal e de ar-padrão).

Resposta

4.1 T_2 \approx 952{,}6\\ \text{K}
4.2 T_3 \approx 1\,905{,}2\\ \text{K}
4.3 T_4 \approx 791{,}8\\ \text{K}
4.4 m \approx 0{,}001162\\ \text{kg}
4.5 q_{in} \approx 957{,}4\\ \text{kJ/kg}
4.6 q_{out} \approx 353{,}3\\ \text{kJ/kg}
4.7 W_{net} \approx 0{,}7018\\ \text{kJ}
4.8 \eta \approx 0{,}6309\\ (63{,}09\%)

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