4)Um tanque de estocagem bem isolado de 60 \mathrm{~m}^{3} contém 200 L de água líquida a 75^{\circ} \mathrm{C} .O restante do tanque contém vapor em equilíbrio com a água líquida.Vapor de processo a 2 bar e 90 \% de qualidade entra no tanque de estocagem até a pressão atingir 2 bar.Assumindo que as perdas de calor a partir do sistema para o tanque e o ambiente são negligenciáveis,calcule a quantidade de vapor que entrou durante o processo de preenchimento e a fração de água presente no final do processo.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado dá:
  • Volume do tanque: V_{\text{tanque}}=60\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Volume de água líquida inicial: V_{\ell,1}=200\\ \mathrm{L}=0{,}2\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Temperatura inicial da água líquida: T_{1}=75^{\circ}\mathrm{C}. A fase vapor inicial está em equilíbrio com essa água líquida (ou seja, estado saturado à T_{1}).
  • O restante do volume V_{\text{vapor},1}=V_{\text{tanque}}-V_{\ell,1}=60-0{,}2=59{,}8\\ \mathrm{m^{3}} é vapor.
  • Entra vapor de processo (pelo exterior) com pressão de processo p_{\text{in}}=2\\ \mathrm{bar} e qualidade x_{\text{in}}=0{,}90 até que a pressão dentro do tanque atinja 2\\ \mathrm{bar}.
  • O tanque é bem isolado (sem troca de calor com o ambiente) e não há trabalho de saída relevante nem variação de energia cinética/potencial.
O enunciado pede:
  1. A quantidade de vapor que entrou durante o preenchimento (isto é, a massa m_{\text{in}} que entrou).
  2. A fração de água presente no final do processo (interpreto como a fração de massa de líquido no conteúdo final; se preferir em porcentagem, devolvo em %).

Passo 2

Plano físico e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Conservação de massa: a massa total final m_{2} é a massa inicial m_{1} mais a massa que entrou m_{\text{in}},
m_{2}=m_{1}+m_{\text{in}}.
  • Conservação de energia para volume de controle (tanque) sem troca de calor e sem trabalho de saída: a energia interna total final U_{2} é a energia interna inicial U_{1} mais a energia trazida pelo fluxo de massa que entra. Para escoamento, a energia transportada por massa é dada pela entalpia específica h da massa que entra. Assim
U_{2}=U_{1}+m_{\text{in}}\,h_{\text{in}}.
Escrevendo energia interna total via massa total e energia interna específica u:
m_{2}\,u_{2}=m_{1}\,u_{1}+m_{\text{in}}\,h_{\text{in}}.
Obs.: u é energia interna específica (kJ/kg) e h é entalpia específica (kJ/kg). A relação entre elas é u=h-pv (unidades compatíveis), onde p é pressão e v volume específico.
  • Estados saturados (inicial e final): como há equilíbrio líquido-vapor,
    qualquer estado saturado é descrito por duas propriedades saturadas: para uma temperatura ou pressão dada obtemos v_{f}, v_{g}, u_{f}, u_{g}, h_{f}, h_{g} (subscritos f = líquido saturado, g = vapor saturado). A qualidade de uma mistura (fração de massa de vapor) é
x=\frac{m_{v}}{m_{\text{total}}}.
Dado x, o volume específico médio e a energia interna específica média são
v=(1-x)\,v_{f}+x\,v_{g}, \qquad u=(1-x)\,u_{f}+x\,u_{g}.
  • No final a pressão é 2\\ \mathrm{bar} e o conteúdo do tanque estará em estado saturado a essa pressão (logo usaremos as propriedades saturadas a 2\\ \mathrm{bar}); a massa total final pode ser obtida por m_{2}=V_{\text{tanque}}/v_{2} com v_{2} definido acima.
Estratégia prática: calcular massas e energias iniciais conhecidas; escrever a equação de conservação de energia em função de m_{2} (ou da qualidade final x_{2}) e resolver para m_{2}. Daí obtemos m_{\text{in}}=m_{2}-m_{1} e a fração líquida final 1-x_{2}.

Passo 3

Valores das propriedades termodinâmicas usados (aproximações/tabelas)
Vou usar valores aproximados de uma tabela de vapor saturado (valores arredondados com 3 casas significativas) e, quando necessário, aproximação por gás ideal para o vapor (para obter volumes específicos). Indicarei os valores usados e o raciocínio.
Estado inicial: saturado à T_{1}=75^{\circ}\mathrm{C}.
  • tomo v_{f,1}\approx 0{,}00103\\ \mathrm{m^{3}/kg} (volume específico do líquido saturado a 75^\circ\mathrm{C}).
  • obtenho o volume específico do vapor saturado por aproximação ideal (usando v=RT/p_{\text{sat}}). Com p_{\text{sat}}(75^\circ\mathrm{C})\approx 38{,}7\\ \mathrm{kPa} e R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}, tem-se v_{g,1}\approx 4{,}15\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
  • entalpia do líquido saturado a 75^\circ\mathrm{C}: h_{f,1}\approx 313{,}5\\ \mathrm{kJ/kg} (aprox. pelo calor específico do líquido c_{p,\ell}\approx 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)} multiplicado por 75\\ \mathrm{K}).
  • energia interna específica do líquido u_{f,1}\approx h_{f,1}-p_{1}v_{f,1}. Como p_{1}v_{f,1} é pequeno, tomo u_{f,1}\approx 313{,}46\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • entalpia do vapor saturado h_{g,1}=h_{f,1}+h_{fg,1}. Para 75^\circ\mathrm{C} tomo h_{fg,1}\approx 2434\\ \mathrm{kJ/kg}, logo h_{g,1}\approx 2747{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • energia interna do vapor u_{g,1}=h_{g,1}-p_{1}v_{g,1}. Aqui p_{1}=38{,}7\\ \mathrm{kPa} e p_{1}v_{g,1}\approx 160{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}, daí u_{g,1}\approx 2747{,}5-160{,}6=2586{,}9\\ \mathrm{kJ/kg}.
Estado final: saturado a p_{2}=2\\ \mathrm{bar}=200\\ \mathrm{kPa}.
  • temperatura de saturação correspondente T_{2}\approx 120{,}21^{\circ}\mathrm{C} (valor de tabela).
  • tomo v_{f,2}\approx 0{,}00106\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
  • tomo v_{g,2} aproximando por gás ideal (ou valor tabelado): usando v=RT/p com T_{2}=120{,}21^\circ\mathrm{C}=393{,}36\\ \mathrm{K} v_{g,2}\approx 0{,}908\\ \mathrm{m^{3}/kg} (valor coerente com tabelas).
  • h_{f,2}\approx 504{,}7\\ \mathrm{kJ/kg} (entalpia do líquido saturado a 2\\ \mathrm{bar}).
  • h_{fg,2}\approx 2060\\ \mathrm{kJ/kg} (entalpia latente a 2\\ \mathrm{bar}).
  • Logo h_{g,2}=h_{f,2}+h_{fg,2}\approx 2564{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • u_{f,2}\approx h_{f,2}-p_{2}v_{f,2}\approx 504{,}7-0{,}21\approx 504{,}49\\ \mathrm{kJ/kg} (o termo p v do líquido é muito pequeno).
  • u_{g,2}=h_{g,2}-p_{2}v_{g,2}. Com p_{2}v_{g,2}=200\\ \mathrm{kPa}\cdot0{,}908\\ \mathrm{m^{3}/kg}=181{,}6\\ \mathrm{kJ/kg} obtemos u_{g,2}\approx 2564{,}7-181{,}6=2383{,}1\\ \mathrm{kJ/kg}.
Entalpia do vapor que entra (dado do enunciado: p_{\text{in}}=2\\ \mathrm{bar}, x_{\text{in}}=0{,}90):
h_{\text{in}}=h_{f,2}+x_{\text{in}}\,h_{fg,2}\approx 504{,}7+0{,}90\times2060\approx 2357{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
Observação sobre aproximações: usei valores arredondados de tabelas e, quando necessário, o gás ideal para estimar volumes específicos do vapor. Os resultados finais serão apresentados com três algarismos significativos e arredondados razoavelmente.

Passo 4

Cálculo das massas e energia inicial
  • massa de líquido inicial:
m_{\ell,1}=\frac{V_{\ell,1}}{v_{f,1}}=\frac{0{,}2}{0{,}00103}\approx 194{,}17\\ \mathrm{kg}.
  • massa de vapor inicial:
m_{v,1}=\frac{V_{\text{vapor},1}}{v_{g,1}}=\frac{59{,}8}{4{,}15}\approx 14{,}40\\ \mathrm{kg}.
  • massa total inicial:
m_{1}=m_{\ell,1}+m_{v,1}\approx 194{,}17+14{,}40=208{,}57\\ \mathrm{kg}.
  • energia interna total inicial U_{1}:
U_{1}=m_{\ell,1}\,u_{f,1}+m_{v,1}\,u_{g,1}.
Substituindo os números:
U_{1}\approx 194{,}17\times313{,}46 + 14{,}40\times2586{,}9 \approx 60{,}866\\ \text{kJ} + 37{,}245\\ \text{kJ}\approx 98{,}111\\ \text{kJ}.
(Valores individuais arredondados durante o cálculo; resultado U_{1}\approx 98{,}111\\ \mathrm{kJ}.)

Passo 5

Montagem da equação de balanço em função de m_{2} (derivação algébrica)
No estado final, a massa total m_{2}=m_{1}+m_{\text{in}}. A energia final é
m_{2}\,u_{2}=U_{1}+m_{\text{in}}\,h_{\text{in}}.
Escrevendo m_{\text{in}}=m_{2}-m_{1} e u_{2}=u_{f,2}+x_{2}(u_{g,2}-u_{f,2}) e lembrando que a qualidade final x_{2} se relaciona com m_{2} por via do volume específico médio:
v_{2}=\frac{V_{\text{tanque}}}{m_{2}}=(1-x_{2})v_{f,2}+x_{2}v_{g,2}=v_{f,2}+x_{2}(v_{g,2}-v_{f,2}).
Daí
x_{2}=\frac{V_{\text{tanque}}/m_{2}-v_{f,2}}{v_{g,2}-v_{f,2}}.
É conveniente eliminar x_{2}. Uma forma direta é usar m_{2}x_{2}=\dfrac{60 - m_{2}v_{f,2}}{v_{g,2}-v_{f,2}} (produto m_{2}x_{2} é a massa de vapor final). Então a equação de energia torna-se, após manipulação algébrica:
m_{2}\,u_{f,2} + (u_{g,2}-u_{f,2})\frac{60 - m_{2}v_{f,2}}{v_{g,2}-v_{f,2}} = U_{1} + (m_{2}-m_{1})\,h_{\text{in}}.
Isolando m_{2} obtemos (passo algébrico resumido):
m_{2}\Bigl(u_{f,2}-h_{\text{in}}-\frac{(u_{g,2}-u_{f,2})v_{f,2}}{v_{g,2}-v_{f,2}}\Bigr) = U_{1}-m_{1}h_{\text{in}}-\frac{(u_{g,2}-u_{f,2})\,60}{v_{g,2}-v_{f,2}}.
Portanto
m_{2} = \frac{U_{1}-m_{1}h_{\text{in}}-\dfrac{(u_{g,2}-u_{f,2})\,60}{v_{g,2}-v_{f,2}}} {u_{f,2}-h_{\text{in}}-\dfrac{(u_{g,2}-u_{f,2})v_{f,2}}{v_{g,2}-v_{f,2}} }.

Passo 6

Cálculo numérico de m_{2} e m_{\text{in}}
Primeiro calculemos as quantidades auxiliares numéricas (usando os valores do Passo 3):
  • \Delta u = u_{g,2}-u_{f,2}=2383{,}1-504{,}49=1878{,}61\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • v_{g,2}-v_{f,2}=0{,}908-0{,}00106=0{,}90694\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
  • \dfrac{\Delta u}{v_{g,2}-v_{f,2}}=\dfrac{1878{,}61}{0{,}90694}\approx 2071{,}2\\ \dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{m^{3}}}.
Agora os termos do numerador:
U_{1}-m_{1}h_{\text{in}} \approx 98{,}111\\ \mathrm{kJ} - 208{,}57\times2357{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
Calcule m_{1}h_{\text{in}}\approx 208{,}57\times2357{,}0\approx 491{,}606\\ \mathrm{kJ}. Logo
U_{1}-m_{1}h_{\text{in}}\approx 98{,}111 - 491{,}606\approx -393{,}495\\ \mathrm{kJ}.
Subtrai-se o termo \dfrac{\Delta u\,60}{v_{g,2}-v_{f,2}}:
\frac{\Delta u\,60}{v_{g,2}-v_{f,2}}\approx 2071{,}2\times60\approx 124{,}272\\ \mathrm{kJ}.
Assim o numerador fica aproximadamente
-393{,}495 - 124{,}272 \approx -517{,}767\\ \mathrm{kJ}.
Denominador:
u_{f,2}-h_{\text{in}}-\frac{\Delta u\,v_{f,2}}{v_{g,2}-v_{f,2}}.
Calculando cada parcela:
u_{f,2}-h_{\text{in}}=504{,}49-2357{,}0=-1852{,}51\\ \mathrm{kJ/kg}.
\frac{\Delta u\,v_{f,2}}{v_{g,2}-v_{f,2}}=1878{,}61\times\frac{0{,}00106}{0{,}90694}\approx 2{,}19\\ \mathrm{kJ/kg}.
Então o denominador é aproximadamente -1852{,}51-2{,}19=-1854{,}70\\ \mathrm{kJ/kg}.
Logo
m_{2}\approx \frac{-517{,}767}{-1854{,}70}\approx 279{,}16\\ \mathrm{kg}.
A massa que entrou é
m_{\text{in}}=m_{2}-m_{1}\approx 279{,}16-208{,}57\approx 70{,}59\\ \mathrm{kg}.
Arredondando com 3 dígitos significativos: m_{\text{in}}\approx 70{,}6\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Cálculo da qualidade final x_{2} e da fração de água (líquido)
A partir de m_{2} o volume específico final é
v_{2}=\frac{V_{\text{tanque}}}{m_{2}}=\frac{60}{279{,}16}\approx 0{,}21486\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
A qualidade final é
x_{2}=\frac{v_{2}-v_{f,2}}{v_{g,2}-v_{f,2}}=\frac{0{,}21486-0{,}00106}{0{,}90694}\approx\frac{0{,}21380}{0{,}90694}\approx 0{,}2358.
Ou seja, a fração de massa de vapor final é x_{2}\approx 0{,}2358 (23,58%).
A fração de água (líquido) final por massa é
1-x_{2}\approx 1-0{,}2358=0{,}7642\approx 76{,}42\%.
Arredondando para três dígitos significativos: fração de líquido final \approx 0{,}764 ou 76{,}4\%.

Passo 8

Breve comentário sobre coerência
  • O vapor entrado 70{,}6\\ \mathrm{kg} aumenta substancialmente a massa no tanque (de \approx208{,}6 para \approx279{,}2\\ \mathrm{kg}).
  • O volume específico final 0{,}215\\ \mathrm{m^{3}/kg} está entre v_{f,2} e v_{g,2}, e a qualidade final x_{2}\approx0{,}236 é consistente com o volume total fixo de 60\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Usei aproximações de tabela e gás ideal para algumas propriedades; pequenas variações nessas propriedades (se usar tabelas mais precisas) mudarão ligeiramente os resultados, mas a ordem de grandeza e as frações permanecem válidas.

Resposta

m_{\text{in}}\approx 70{,}6\\ \mathrm{kg}
Fração de água (líquido) final =1-x_{2}\approx 0{,}764 (ou 76{,}4\%).

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