Para o dimensionamento de um canal retangular de pé de talude, cuja vazão de projeto é
, verifique se o canal com a largura da base
e altura d’água
, com declividade
, coeficiente de rugosidade de Manning
0,016, teria condições de escoar a vazão de projeto. Caso o canal com essas dimensões não suporte a vazão de projeto, determine a altura d’água (y) que seria necessária para escoar a vazão de projeto nesse canal.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar direitinho para a gente não se perder):
- Dados fornecidos:
- Vazão de projeto:
. - Largura da base do canal:
. - Altura d’água (nível) inicial:
. - Declividade (inclinação) do fundo:
, ou seja . - Coeficiente de Manning:
.
- Vazão de projeto:
- O que se pede:
- Verificar se o canal com
e escoa a vazão . - Caso não suporte, determinar a nova altura d’água
, necessária para que o mesmo canal escoe .
- Verificar se o canal com
Passo 2
Explicando a fórmula que vamos usar (a tal da fórmula de Manning) e cada termo, bem devagar:
- A fórmula de Manning para vazão em canal aberto é
onde:
-
é a vazão (m³/s). -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional). -
é a área da seção molhada (m²). -
é o raio hidráulico (m), definido abaixo. -
é a declividade do fundo (adimensional). - O raio hidráulico
é definido por
onde
é o perímetro molhado (m) — comprimento do contorno da seção em contacto com a água.
- Para um canal retangular (paredes verticais) com base
e profundidade de água : - Área:
- Perímetro molhado:
- Raio hidráulico:
- Área:
Passo 3
Aplicando essas fórmulas aos valores iniciais
e
:
- Área:
- Perímetro molhado:
- Raio hidráulico:
Passo 4
Calcular agora
e
para usar na fórmula de Manning:
- Primeiro
. Como :
- Agora
. Com :
(Usei a transformação
para calcular sem depender de uma fórmula mágica.)
Passo 5
Calcular a vazão teórica para
usando Manning:
- Primeiro
:
- Agora a vazão:
Vamos multiplicar passo a passo para ficar claro:
-
. -
. -
.
Portanto,
Passo 6
Interpretação do resultado do Passo 5 (resposta à primeira pergunta):
- A vazão calculada
é menor que a vazão de projeto . - Conclusão: com
o canal NÃO suporta a vazão de projeto.
Agora precisamos achar a profundidade
tal que
onde
e
. Isso é uma equação não linear em
; vamos resolver por tentativa/iteração (método prático para prova).
Passo 7
Montando a função que nos dá
em função de
(com
fixo):
Explico: substituí
com
e
, daí
. Vamos testar alguns valores de
próximos para localizar a solução.
Passo 8
Avaliação por ensaio — primeiro ponto já calculado:
- Para
: (já visto).
Testemos
:
-
. -
. -
. -
. -
e como antes. - Então
Observação: com
a vazão fica um pouco acima de
.
Passo 9
Fazer interpolação linear simples entre
e
para aproximar o
que dá
:
- Pontos conhecidos:
e . - A variação de
por é . - Precisamos aumentar
até , ou seja aumento de . - Fração do intervalo:
. - Assim a estimativa da profundidade é
.
Passo 10
Refinamento por cálculo direto em
(ajustando para mais precisão):
- Para
: -
. -
. -
. -
. - Então
-
- Como
é muito próximo de , já estamos bem. Fazendo um ajuste fino (teste em ): - Para
obteve-se , ou seja um pouco abaixo de .
- Para
- Conclusão do refinamento: a profundidade que torna
está entre e . Arredondando para três algarismos significativos, .
Passo 11
Resumo final do raciocínio prático (para aplicar na prova):
- Use a fórmula de Manning
. - Calcule
e para o retângulo; então . - Substitua e calcule
para a profundidade proposta; compare com desejada. - Se
, aumente e repita até alcançar . Uma interpolação linear entre dois ensaios costuma ser rápida e suficiente em prova quando a função é suave.
Resposta
Não;
(menor que
).
Altura d’água necessária: .
Altura d’água necessária: