(3,50) Para o dimensionamento de um canal retangular de pé de talude, cuja vazão de projeto é \mathrm{Q}=1,85 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, verifique se o canal com a largura da base \mathrm{b}=1,0 \mathrm{~m} e altura d’água \mathrm{y}=0,80 \mathrm{~m}, com declividade \mathrm{I}=0,5 \%, coeficiente de rugosidade de Manning \mathrm{n}= 0,016, teria condições de escoar a vazão de projeto. Caso o canal com essas dimensões não suporte a vazão de projeto, determine a altura d’água (y) que seria necessária para escoar a vazão de projeto nesse canal.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar direitinho para a gente não se perder):
  • Dados fornecidos:
    • Vazão de projeto: Q=1,85\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
    • Largura da base do canal: b=1,0\\ \mathrm{m}.
    • Altura d’água (nível) inicial: y=0,80\\ \mathrm{m}.
    • Declividade (inclinação) do fundo: I=0,5\%, ou seja I=0,005.
    • Coeficiente de Manning: n=0,016.
  • O que se pede:
    1. Verificar se o canal com b=1,0\\ \mathrm{m} e y=0,80\\ \mathrm{m} escoa a vazão Q=1,85\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
    2. Caso não suporte, determinar a nova altura d’água \,y, necessária para que o mesmo canal escoe Q=1,85\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 2

Explicando a fórmula que vamos usar (a tal da fórmula de Manning) e cada termo, bem devagar:
  • A fórmula de Manning para vazão em canal aberto é
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,\sqrt{I},
onde:
  • Q é a vazão (m³/s).
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional).
  • A é a área da seção molhada (m²).
  • R é o raio hidráulico (m), definido abaixo.
  • I é a declividade do fundo (adimensional).
  • O raio hidráulico R é definido por
R=\frac{A}{P},
onde P é o perímetro molhado (m) — comprimento do contorno da seção em contacto com a água.
  • Para um canal retangular (paredes verticais) com base b e profundidade de água y:
    • Área: A=b\,y.
    • Perímetro molhado: P=b+2y.
    • Raio hidráulico: R=\frac{b\,y}{\,b+2y\,}.

Passo 3

Aplicando essas fórmulas aos valores iniciais b=1,0\\ \mathrm{m} e y=0,80\\ \mathrm{m}:
  • Área:
A=b\,y=1,0\cdot 0,80=0,80\\ \mathrm{m}^2.
  • Perímetro molhado:
P=b+2y=1,0+2\cdot 0,80=2,60\\ \mathrm{m}.
  • Raio hidráulico:
R=\frac{A}{P}=\frac{0,80}{2,60}=0,307692\\ \mathrm{m}\\ (\text{aprox. }0,3077\\ \mathrm{m}).

Passo 4

Calcular agora R^{2/3} e \sqrt{I} para usar na fórmula de Manning:
  • Primeiro \sqrt{I}. Como I=0,005:
\sqrt{I}=\sqrt{0,005}=0,0707107\\ (\text{aprox. }0,07071).
  • Agora R^{2/3}. Com R\approx 0,307692:
R^{2/3}=\exp\!\bigg(\tfrac{2}{3}\ln(0,307692)\bigg)\approx 0,4556.
(Usei a transformação \,x^{2/3}=\exp((2/3)\ln x) para calcular sem depender de uma fórmula mágica.)

Passo 5

Calcular a vazão teórica para y=0,80\\ \mathrm{m} usando Manning:
  • Primeiro 1/n:
\frac{1}{n}=\frac{1}{0,016}=62,5.
  • Agora a vazão:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,\sqrt{I}=62{,}5\cdot 0{,}80\cdot 0{,}4556\cdot 0{,}07071.
Vamos multiplicar passo a passo para ficar claro:
  • 62{,}5\cdot 0{,}80=50.
  • 50\cdot 0{,}4556=22{,}78.
  • 22{,}78\cdot 0{,}07071\approx 1{,}611.
    Portanto,
Q_{\text{calculada para }y=0{,}80\\ \mathrm{m}}\approx 1{,}611\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 6

Interpretação do resultado do Passo 5 (resposta à primeira pergunta):
  • A vazão calculada 1{,}611\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} é menor que a vazão de projeto 1{,}85\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Conclusão: com y=0{,}80\\ \mathrm{m} o canal NÃO suporta a vazão de projeto.
Agora precisamos achar a profundidade y tal que
\frac{1}{n}\,A(y)\,R(y)^{2/3}\,\sqrt{I}=1{,}85,
onde A(y)=b\,y e R(y)=\dfrac{b\,y}{b+2y}. Isso é uma equação não linear em y; vamos resolver por tentativa/iteração (método prático para prova).

Passo 7

Montando a função que nos dá Q em função de y (com b=1 fixo):
Q(y)=\frac{1}{n}\,y\left(\frac{y}{1+2y}\right)^{2/3}\sqrt{I}.
Explico: substituí A=b y com b=1 e P=b+2y=1+2y, daí R=y/(1+2y). Vamos testar alguns valores de y próximos para localizar a solução.

Passo 8

Avaliação por ensaio — primeiro ponto já calculado:
  • Para y=0{,}80\\ \mathrm{m}: Q\approx 1{,}611\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} (já visto).
Testemos y=0{,}90\\ \mathrm{m}:
  • A=0{,}90.
  • P=1{,}0+2\cdot 0{,}90=2{,}80.
  • R=\dfrac{0{,}90}{2{,}80}=0{,}3214286.
  • R^{2/3}\approx 0{,}4690.
  • 1/n=62{,}5 e \sqrt{I}=0{,}07071 como antes.
  • Então
Q(0{,}90)=62{,}5\cdot 0{,}90\cdot 0{,}4690\cdot 0{,}07071\approx 1{,}862\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Observação: com y=0{,}90\\ \mathrm{m} a vazão fica um pouco acima de 1{,}85.

Passo 9

Fazer interpolação linear simples entre y=0{,}80 e y=0{,}90 para aproximar o y que dá Q=1{,}85:
  • Pontos conhecidos: (0{,}80,\;1{,}611) e (0{,}90,\;1{,}862).
  • A variação de Q por 0{,}10\\ \mathrm{m} é 1{,}862-1{,}611=0{,}251\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Precisamos aumentar 1{,}611 até 1{,}85, ou seja aumento de 0{,}239.
  • Fração do intervalo: 0{,}239/0{,}251\approx 0{,}952.
  • Assim a estimativa da profundidade é y\approx 0{,}80+0{,}952\cdot 0{,}10\approx 0{,}895\\ \mathrm{m}.

Passo 10

Refinamento por cálculo direto em y\approx 0{,}895 (ajustando para mais precisão):
  • Para y=0{,}895:
    • A=0{,}895.
    • P=1{,}0+2\cdot 0{,}895=2{,}79.
    • R=\dfrac{0{,}895}{2{,}79}\approx 0{,}3204.
    • R^{2/3}\approx 0{,}4683.
    • Então
Q(0{,}895)=62{,}5\cdot 0{,}895\cdot 0{,}4683\cdot 0{,}07071\approx 1{,}852\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Como 1{,}852 é muito próximo de 1{,}85, já estamos bem. Fazendo um ajuste fino (teste em y=0{,}893):
    • Para y=0{,}893 obteve-se Q\approx 1{,}849\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, ou seja um pouco abaixo de 1{,}85.
  • Conclusão do refinamento: a profundidade que torna Q=1{,}85\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} está entre 0{,}893 e 0{,}895\\ \mathrm{m}. Arredondando para três algarismos significativos, \,y\approx 0{,}894\\ \mathrm{m}.

Passo 11

Resumo final do raciocínio prático (para aplicar na prova):
  • Use a fórmula de Manning \,Q=(1/n)AR^{2/3}\sqrt{I}.
  • Calcule A=b y e P=b+2y para o retângulo; então R=A/P.
  • Substitua e calcule Q para a profundidade proposta; compare com Q desejada.
  • Se Q_{\text{calculada}}<Q_{\text{projeto}}, aumente y e repita até alcançar Q_{\text{projeto}}. Uma interpolação linear entre dois ensaios costuma ser rápida e suficiente em prova quando a função é suave.

Resposta

Não; Q_{\text{calculada para }y=0{,}80\\ \mathrm{m}} \approx 1{,}611\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} (menor que 1{,}85\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}).
Altura d’água necessária: y \approx 0{,}894\\ \mathrm{m}.

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