2,50 \mathrm{~mol} de gás ideal é mantido sob pressão constante, p_{e}=200,0 \mathrm{kPa} e p=p_{e}. A temperatura é variada de 100,0^{\circ} \mathrm{C} para 20,0^{\circ} \mathrm{C}. Sendo \overline{C_{v}}=(3 / 2) \mathrm{R}, calcule w, q e \Delta U.

Passo 1

O enunciado pede para calcular w, q e \Delta U para um gás ideal que sofre um processo a pressão constante. As informações fornecidas são:
  • quantidade de matéria: n=2{,}50\\ \mathrm{mol}.
  • pressão externa (constante): p_{e}=200{,}0\\ \mathrm{kPa} e p=p_{e}.
  • temperatura inicial: T_{1}=100{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • temperatura final: T_{2}=20{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • capacidade calorífica molar a volume constante: \overline{C_{v}}=\dfrac{3}{2}R.
    O que se pede:
  • w (trabalho do processo),
  • q (calor trocado),
  • \Delta U (variação de energia interna).

Passo 2

Escolher convenção de sinais e as fórmulas básicas — vou explicá-las com calma.
  • Convenção de sinais adotada: w é o trabalho realizado pelo sistema sobre as vizinhanças. Com essa convenção a 1.ª lei da termodinâmica é
\Delta U = q - w.
Isto quer dizer: se w>0 o sistema entrega energia para o meio; se w<0 o meio faz trabalho sobre o sistema.
  • Para um processo a pressão constante a expressão do trabalho (pressão volumétrica) é
w = p\,(V_{2}-V_{1}).
  • Para gás ideal vale a equação de estado \,pV=nRT\,. Usando isso, o trabalho numa transformação isotérmica de pressão constante pode ser escrito em função de temperaturas:
w = p\,(V_{2}-V_{1}) = nR(T_{2}-T_{1}).
  • A variação da energia interna para um gás ideal (energia interna depende só de T) é
\Delta U = n\overline{C_{v}}\,(T_{2}-T_{1}).
Aqui cada símbolo significa:
  • n: número de mols;
  • R: constante universal dos gases (vou usar R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}});
  • T_{1},T_{2}: temperaturas inicial e final em kelvin;
  • \overline{C_{v}}: capacidade calorífica molar a volume constante (dado).

Passo 3

Converter temperaturas de Celsius para Kelvin (é obrigatório para aplicar as fórmulas com R):
T_{1}=100{,}0^\circ\mathrm{C}=100{,}0+273{,}15=373{,}15\\ \mathrm{K},
T_{2}=20{,}0^\circ\mathrm{C}=20{,}0+273{,}15=293{,}15\\ \mathrm{K}.
Calcular a variação de temperatura:
\Delta T = T_{2}-T_{1}=293{,}15-373{,}15=-80{,}00\\ \mathrm{K}.
(Observe: \Delta T deu negativo — a temperatura caiu.)

Passo 4

Calcular o trabalho w usando w=nR(T_{2}-T_{1}). Explicando a fórmula: como o processo é a pressão constante, a expansão/contração satisfaz p\Delta V=nR\Delta T, logo w=p\Delta V=nR\Delta T.
Agora substituindo os valores:
w = nR\Delta T = 2{,}50\cdot 8{,}314\cdot(-80{,}00).
Fazendo as contas passo a passo:
2{,}50\cdot 8{,}314 = 20{,}785,
20{,}785\cdot(-80{,}00) = -1\,662{,}8\\ \mathrm{J}.
Arredondando com consistência aos algarismos dados, fica w\approx -1{,}663\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular a variação de energia interna \Delta U usando \Delta U = n\overline{C_{v}}\Delta T.
Como \overline{C_{v}}=\dfrac{3}{2}R, então
\Delta U = n\left(\frac{3}{2}R\right)\Delta T = \frac{3}{2}\,nR\Delta T.
Já vimos que nR\Delta T = w, portanto \Delta U=\dfrac{3}{2}w. Mas é bom calcular diretamente para ver os números:
\Delta U = \frac{3}{2}\cdot 2{,}50\cdot 8{,}314\cdot(-80{,}00).
Passo a passo:
\frac{3}{2}\cdot 2{,}50 = 3{,}75,
3{,}75\cdot 8{,}314 = 31{,}178,
31{,}178\cdot(-80{,}00) = -2\,494{,}2\\ \mathrm{J}.
Arredondando: \Delta U\approx -2{,}494\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcular o calor q a partir da 1.ª lei \Delta U = q - w. Reorganizando:
q = \Delta U + w.
Substituindo os valores calculados:
q = (-2\,494{,}2\\ \mathrm{J}) + (-1\,662{,}8\\ \mathrm{J}) = -4\,157{,}0\\ \mathrm{J}.
Arredondando: q\approx -4{,}157\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Interpretação das grandezas (curta e motivadora):
  • w<0 significa que o trabalho realizado pelo gás é negativo: o gás foi comprimido (o meio fez trabalho sobre o gás).
  • \Delta U<0 significa que a energia interna do gás diminuiu (a temperatura caiu).
  • q<0 significa que calor foi retirado do gás (o sistema perdeu calor).
    Tudo coerente: apesar de ter havido trabalho do meio sobre o sistema, saiu calor suficiente para reduzir a energia interna.

Resposta

-1{,}663\times10^{3}\\ \mathrm{J}
-2{,}494\times10^{3}\\ \mathrm{J}
-4{,}157\times10^{3}\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados