2,50 \mathrm{~mol} de gás ideal é mantido sob pressão constante, p_{e}=200,0 \mathrm{kPa} e p=p_{e}. A temperatura é variada de 100,0^{\circ} \mathrm{C} para 20,0^{\circ} \mathrm{C}. Sendo \overline{C_{v}}=(3 / 2) \mathrm{R}, calcule w, q e \Delta U.
Passo 1
O enunciado pede para calcular w, q e \Delta U para um gás ideal que sofre um processo a pressão constante. As informações fornecidas são:
quantidade de matéria: n=2{,}50\\ \mathrm{mol}.
pressão externa (constante): p_{e}=200{,}0\\ \mathrm{kPa} e p=p_{e}.
temperatura inicial: T_{1}=100{,}0^\circ\mathrm{C}.
temperatura final: T_{2}=20{,}0^\circ\mathrm{C}.
capacidade calorífica molar a volume constante: \overline{C_{v}}=\dfrac{3}{2}R.
O que se pede:
w (trabalho do processo),
q (calor trocado),
\Delta U (variação de energia interna).
Passo 2
Escolher convenção de sinais e as fórmulas básicas — vou explicá-las com calma.
Convenção de sinais adotada: w é o trabalho realizado pelo sistema sobre as vizinhanças. Com essa convenção a 1.ª lei da termodinâmica é
\Delta U = q - w.
Isto quer dizer: se w>0 o sistema entrega energia para o meio; se w<0 o meio faz trabalho sobre o sistema.
Para um processo a pressão constante a expressão do trabalho (pressão volumétrica) é
w = p\,(V_{2}-V_{1}).
Para gás ideal vale a equação de estado \,pV=nRT\,. Usando isso, o trabalho numa transformação isotérmica de pressão constante pode ser escrito em função de temperaturas:
w = p\,(V_{2}-V_{1}) = nR(T_{2}-T_{1}).
A variação da energia interna para um gás ideal (energia interna depende só de T) é
\Delta U = n\overline{C_{v}}\,(T_{2}-T_{1}).
Aqui cada símbolo significa:
n: número de mols;
R: constante universal dos gases (vou usar R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}});
T_{1},T_{2}: temperaturas inicial e final em kelvin;
\overline{C_{v}}: capacidade calorífica molar a volume constante (dado).
Passo 3
Converter temperaturas de Celsius para Kelvin (é obrigatório para aplicar as fórmulas com R):
\Delta T = T_{2}-T_{1}=293{,}15-373{,}15=-80{,}00\\ \mathrm{K}.
(Observe: \Delta T deu negativo — a temperatura caiu.)
Passo 4
Calcular o trabalho w usando w=nR(T_{2}-T_{1}). Explicando a fórmula: como o processo é a pressão constante, a expansão/contração satisfaz p\Delta V=nR\Delta T, logo w=p\Delta V=nR\Delta T.
Agora substituindo os valores:
w = nR\Delta T = 2{,}50\cdot 8{,}314\cdot(-80{,}00).
w<0 significa que o trabalho realizado pelo gás é negativo: o gás foi comprimido (o meio fez trabalho sobre o gás).
\Delta U<0 significa que a energia interna do gás diminuiu (a temperatura caiu).
q<0 significa que calor foi retirado do gás (o sistema perdeu calor).
Tudo coerente: apesar de ter havido trabalho do meio sobre o sistema, saiu calor suficiente para reduzir a energia interna.