4.60 Um objeto de massa m inicialmente em repouso é submetido a uma força dada por \vec{F}=k_{1} \hat{i}+k_{2} l^{3} \hat{j}, onde k_{1} e k_{2} são constantes. Determine a velocidade \overrightarrow{\boldsymbol{v}}(t) do objeto em função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Massa do objeto: m (constante).
  • Estado inicial: o objeto está inicialmente em repouso, ou seja, a velocidade inicial é \vec{v}(0)=\vec{0}.
  • Força aplicada: \vec{F}=k_{1}\,\hat{i}+k_{2}\,l^{3}\,\hat{j}, onde k_{1} e k_{2} são constantes.
    Observação: o enunciado pede \vec{v}(t) — portanto interpretamos a letra l no termo l^{3} como a variável tempo. Abaixo vou renomear l para t para ficar coerente com o pedido de \vec{v}(t). Assim a força passa a ser \vec{F}=k_{1}\,\hat{i}+k_{2}\,t^{3}\,\hat{j}.
  • O que se pede: determinar a velocidade \vec{v}(t) em função do tempo, usando as informações acima e a condição \vec{v}(0)=\vec{0}.

Passo 2

Princípio físico e equação diferencial básica. A segunda lei de Newton relaciona força, massa e aceleração:
\vec{F}=m\vec{a}.
A aceleração \vec{a} é a derivada temporal da velocidade:
\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}.
Portanto a equação a resolver é
m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}(t).
Como \vec{F}(t) tem componentes separadas em \hat{i} e \hat{j}, podemos tratar as componentes x e y independentemente.

Passo 3

Equação para a componente x. Pegando a componente em \hat{i}:
m\frac{dv_x}{dt}=k_{1}.
Esta é uma equação diferencial ordinária simples, de primeira ordem, com o lado direito constante. Isolando a derivada:
\frac{dv_x}{dt}=\frac{k_{1}}{m}.
Integramos em relação ao tempo t. Lembre que a regra de integração para uma constante C é \int C\,dt = C t + C_0, onde C_0 é a constante de integração. Assim:
v_x(t)=\int \frac{k_{1}}{m}\,dt = \frac{k_{1}}{m}\,t + C_x.
Usamos a condição inicial v_x(0)=0. Substituindo t=0 obtemos 0 = \frac{k_{1}}{m}\cdot 0 + C_x, logo C_x=0. Portanto
v_x(t)=\frac{k_{1}}{m}\,t.

Passo 4

Equação para a componente y. Pegando a componente em \hat{j}:
m\frac{dv_y}{dt}=k_{2}\,t^{3}.
Isolando a derivada:
\frac{dv_y}{dt}=\frac{k_{2}}{m}\,t^{3}.
Agora aplicamos a regra de integração para potências: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=3, então
v_y(t)=\int \frac{k_{2}}{m}\,t^{3}\,dt = \frac{k_{2}}{m}\cdot\frac{t^{4}}{4} + C_y = \frac{k_{2}}{4m}\,t^{4} + C_y.
Usamos a condição inicial v_y(0)=0. Substituindo t=0 0=\frac{k_{2}}{4m}\cdot 0 + C_y, logo C_y=0. Portanto
v_y(t)=\frac{k_{2}}{4m}\,t^{4}.

Passo 5

Montando a velocidade vetorial a partir das componentes encontradas:
\vec{v}(t)=v_x(t)\,\hat{i}+v_y(t)\,\hat{j}
\vec{v}(t)=\frac{k_{1}}{m}\,t\,\hat{i}+\frac{k_{2}}{4m}\,t^{4}\,\hat{j}.
Comentário didático rápido sobre unidades e sentido: a componente x cresce linearmente com t porque a força em x é constante; a componente y cresce como t^{4} porque a força em y cresce como t^{3} (integração acrescenta uma potência). As constantes k_{1} e k_{2} determinam a intensidade das acelerações em cada eixo.

Resposta

\displaystyle \vec{v}(t)=\frac{k_{1}}{m}\,t\,\hat{i}+\frac{k_{2}}{4m}\,t^{4}\,\hat{j}

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