4.60 Um objeto de massa
inicialmente em repouso é submetido a uma força dada por
, onde
e
são constantes. Determine a velocidade
do objeto em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Massa do objeto:
(constante). - Estado inicial: o objeto está inicialmente em repouso, ou seja, a velocidade inicial é
. - Força aplicada:
, onde e são constantes.
Observação: o enunciado pede— portanto interpretamos a letra no termo como a variável tempo. Abaixo vou renomear para para ficar coerente com o pedido de . Assim a força passa a ser . - O que se pede: determinar a velocidade
em função do tempo, usando as informações acima e a condição .
Passo 2
Princípio físico e equação diferencial básica. A segunda lei de Newton relaciona força, massa e aceleração:
A aceleração
é a derivada temporal da velocidade:
Portanto a equação a resolver é
Como
tem componentes separadas em
e
, podemos tratar as componentes
e
independentemente.
Passo 3
Equação para a componente
. Pegando a componente em
:
Esta é uma equação diferencial ordinária simples, de primeira ordem, com o lado direito constante. Isolando a derivada:
Integramos em relação ao tempo
. Lembre que a regra de integração para uma constante
é
, onde
é a constante de integração. Assim:
Usamos a condição inicial
. Substituindo
obtemos
, logo
. Portanto
Passo 4
Equação para a componente
. Pegando a componente em
:
Isolando a derivada:
Agora aplicamos a regra de integração para potências: para
,
Aqui
, então
Usamos a condição inicial
. Substituindo
dá
, logo
. Portanto
Passo 5
Montando a velocidade vetorial a partir das componentes encontradas:
Comentário didático rápido sobre unidades e sentido: a componente
cresce linearmente com
porque a força em
é constante; a componente
cresce como
porque a força em
cresce como
(integração acrescenta uma potência). As constantes
e
determinam a intensidade das acelerações em cada eixo.