3-78 Duas esferas de aço-carbono, cada uma com 25 mm de diâmetro, são pressionadas juntas por uma força F. Em termos da força F, determine os valores máximos da tensão principal, bem como a tensão de cisalhamento máxima, em MPa .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pedido: determinar, em termos da força F, os valores máximos da tensão principal (tensão normal máxima do tipo tração/compressão relevante para falhas) e da tensão de cisalhamento máxima (a maior componente de esforço cortante) para duas esferas de aço-carbono de diâmetro 25\\ \text{mm} pressionadas uma contra a outra por uma força F.
  • Dados do enunciado (pegos diretamente do enunciado):
    • Diâmetro da esfera: 25\\ \text{mm}. Logo o raio da esfera é R=\tfrac{25}{2}=12{,}5\\ \text{mm}.
    • Força de compressão entre as duas esferas: F (unidade: \text{N}). O enunciado não fornece módulo de elasticidade E nem coeficiente de Poisson \nu; como são esferas de aço-carbono vou assumir valores típicos para aço:
      • E = 210000\\ \text{MPa} (ou 210\\ \text{GPa}),
      • \nu = 0{,}30.
  • Observação importante: as respostas serão dadas em função de F (com F em \text{N}), e os resultados numéricos finais usam as propriedades materiais acima (se quiser usar outros valores de E e \nu, é só substituir nas fórmulas).

Passo 2

Ideia física e método que vamos usar (explicação didática):
  • Quando duas esferas elásticas são comprimidas por uma força F elas se tocam numa pequena região circular. A distribuição de pressão nessa região é descrita pela teoria de contato de Hertz (Hertzian contact).
  • Duas quantidades-chave da teoria de Hertz que vamos usar:
    1. o raio da região de contato a (quanto maior F, maior a);
    2. a pressão máxima no centro do contato p_0 (a pressão no ponto de contato é maior no centro e vai diminuindo radialmente).
  • A partir de p_0 e da forma da distribuição de pressão pode-se obter resultados conhecidos (da solução elástica de Hertz) para as tensões máximas no interior do material:
    • existe uma relação entre p_0 e a;
    • valores máximos da tensão principal e da tensão de cisalhamento aparecem em pontos específicos sob a superfície e são proporcionais a p_0 por constantes adimensionais conhecidas (resultados clássicos da solução de Hertz).
  • Vou apresentar as fórmulas de Hertz para a e p_0, depois usar as proporções conhecidas para obter as tensões máximas e, finalmente, eliminar a e p_0 para escrever tudo em função de F.

Passo 3

Fórmulas de Hertz (passo a passo, com cada termo explicado):
  • Para duas esferas idênticas de raio R em contato, a “raio efetivo” usado na fórmula é
    R^*=\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{R}\right)^{-1}=\frac{R}{2}.
    Aqui R é o raio de cada esfera (no nosso caso R=12{,}5\\ \text{mm}).
  • O módulo elástico efetivo E^* para duas esferas idênticas com mesmo E e \nu é
    E^*=\left(\frac{1-\nu^2}{E}+\frac{1-\nu^2}{E}\right)^{-1}=\frac{E}{2(1-\nu^2)}.
    Explicação: E^* combina a deformabilidade das duas esferas em contato.
  • A partir da teoria de Hertz, o raio da região de contato a vale
    a=\left(\frac{3FR^*}{4E^*}\right)^{1/3}.
    Substituindo R^*=\tfrac{R}{2} e E^*=\tfrac{E}{2(1-\nu^2)} obtém-se, após simplificar,
    a=\left(\frac{3 F R (1-\nu^2)}{4E}\right)^{1/3}.
    Interpretação: a cresce como F^{1/3}.
  • A pressão máxima no centro do contato (pressão de pico) é
    p_0=\frac{3F}{2\pi a^2}.
    Essa é a pressão do contato no ponto central e depende de a.

Passo 4

Expressão de p_0 diretamente em termos de F (eliminando a):
  • Substituímos a na expressão de p_0. Fazer a substituição e simplificar dá p_0 = \frac{3F}{2\pi}\left(\frac{4E}{3FR(1-\nu^2)}\right)^{2/3}.Reagrupando potências de constantes e F resulta em p_0 = \frac{48^{1/3}\,E^{2/3}\,F^{1/3}}{2\pi\,R^{2/3}\,(1-\nu^2)^{2/3}}.Observação sobre unidades: se E está em \text{MPa}, R em \text{mm} e F em \text{N}, então p_0 resulta em \text{MPa} (convenção usual para cálculos práticos).

Passo 5

Relações conhecidas (da solução completa de tensões de Hertz) entre p_0 e os máximos de tensão:
  • A solução elástica de Hertz fornece constantes adimensionais que relacionam p_0 com as tensões máximas internas:
    • a tensão de cisalhamento máxima (subsuperficial) é aproximadamente \tau_{\max}\approx 0{,}31\,p_0.(Esta tensão de cisalhamento ocorre sob a superfície, numa profundidade da ordem de 0{,}5\,a.)
    • a máxima tensão principal (tensão normal máxima relevante para tração) que costuma ser citada na literatura de contato para esfera em contato é aproximadamente \sigma_{1,\max}\approx 0{,}47\,p_0.(Essa é a maior tensão principal de tração que aparece em pontos sob a superfície — são fatores obtidos da solução elástica clássica.)
  • Observação didática: esses fatores 0{,}31 e 0{,}47 vêm da solução analítica das equações de elasticidade com a distribuição de pressão de Hertz; são números adimensionais bem estabelecidos em engenharia de contato (consultáveis em livros de contato elástico). Usamos essas proporções para expressar os máximos em função de p_0, e então em função de F.

Passo 6

Combinar tudo para obter expressões fechadas em função de F:
  • Substituindo p_0 nas expressões acima: \sigma_{1,\max}\approx 0{,}47\,p_0 =0{,}47\cdot\frac{48^{1/3}\,E^{2/3}\,F^{1/3}}{2\pi\,R^{2/3}\,(1-\nu^2)^{2/3}}.
\tau_{\max}\approx 0{,}31\,p_0 =0{,}31\cdot\frac{48^{1/3}\,E^{2/3}\,F^{1/3}}{2\pi\,R^{2/3}\,(1-\nu^2)^{2/3}}.
  • Para facilitar uso em prova ou cálculo rápido, podemos recolher os fatores numéricos numa única constante. Definindo C_0=\frac{48^{1/3}}{2\pi}\approx 0{,}578616\!,obtemos fatores finais: \sigma_{1,\max}\approx 0{,}47\,C_0\;\frac{E^{2/3}\,F^{1/3}}{R^{2/3}(1-\nu^2)^{2/3}}, \qquad \tau_{\max}\approx 0{,}31\,C_0\;\frac{E^{2/3}\,F^{1/3}}{R^{2/3}(1-\nu^2)^{2/3}}.

Passo 7

Substituir valores típicos de aço e o raio R para obter as expressões numéricas em MPa (dependendo apenas de F):
  • Usando E=210000\\ \text{MPa}, \nu=0{,}30 e R=12{,}5\\ \text{mm}, os cálculos dão (após avaliação numérica das potências e constantes):
    \sigma_{1,\max}\approx 189{,}3\;F^{1/3}\\ \text{MPa}, \qquad \tau_{\max}\approx 125{,}3\;F^{1/3}\\ \text{MPa},
    onde F está em \text{N} e F^{1/3} é a raiz cúbica de F.
  • Interpretação rápida: se, por exemplo, F=1000\\ \text{N} então F^{1/3}=10 e teríamos \sigma_{1,\max}\approx 1893\\ \text{MPa} e \tau_{\max}\approx1253\\ \text{MPa} — tensões muito altas, o que mostra que a pressão de contato pode facilmente atingir valores elevados (por isso em projeto de rolamentos e contatos esféricos usa-se tratamento de superfície, materiais especiais etc.).

Resposta

\displaystyle \sigma_{1,\max}\approx 189{,}3\;F^{1/3}\\ \text{MPa}
\displaystyle \tau_{\max}\approx 125{,}3\;F^{1/3}\\ \text{MPa}

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