3-78 Duas esferas de aço-carbono, cada uma com 25 mm de diâmetro, são pressionadas juntas por uma força
. Em termos da força
, determine os valores máximos da tensão principal, bem como a tensão de cisalhamento máxima, em MPa .
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pedido: determinar, em termos da força
, os valores máximos da tensão principal (tensão normal máxima do tipo tração/compressão relevante para falhas) e da tensão de cisalhamento máxima (a maior componente de esforço cortante) para duas esferas de aço-carbono de diâmetro pressionadas uma contra a outra por uma força . - Dados do enunciado (pegos diretamente do enunciado):
- Diâmetro da esfera:
. Logo o raio da esfera é . - Força de compressão entre as duas esferas:
(unidade: ). O enunciado não fornece módulo de elasticidade nem coeficiente de Poisson ; como são esferas de aço-carbono vou assumir valores típicos para aço: -
(ou ), -
.
-
- Diâmetro da esfera:
- Observação importante: as respostas serão dadas em função de
(com em ), e os resultados numéricos finais usam as propriedades materiais acima (se quiser usar outros valores de e , é só substituir nas fórmulas).
Passo 2
Ideia física e método que vamos usar (explicação didática):
- Quando duas esferas elásticas são comprimidas por uma força
elas se tocam numa pequena região circular. A distribuição de pressão nessa região é descrita pela teoria de contato de Hertz (Hertzian contact). - Duas quantidades-chave da teoria de Hertz que vamos usar:
- o raio da região de contato
(quanto maior , maior ); - a pressão máxima no centro do contato
(a pressão no ponto de contato é maior no centro e vai diminuindo radialmente).
- o raio da região de contato
- A partir de
e da forma da distribuição de pressão pode-se obter resultados conhecidos (da solução elástica de Hertz) para as tensões máximas no interior do material: - existe uma relação entre
e ; - valores máximos da tensão principal e da tensão de cisalhamento aparecem em pontos específicos sob a superfície e são proporcionais a
por constantes adimensionais conhecidas (resultados clássicos da solução de Hertz).
- existe uma relação entre
- Vou apresentar as fórmulas de Hertz para
e , depois usar as proporções conhecidas para obter as tensões máximas e, finalmente, eliminar e para escrever tudo em função de .
Passo 3
Fórmulas de Hertz (passo a passo, com cada termo explicado):
-
Para duas esferas idênticas de raio
em contato, a “raio efetivo” usado na fórmula é Aquié o raio de cada esfera (no nosso caso ). -
O módulo elástico efetivo
para duas esferas idênticas com mesmo e é Explicação:combina a deformabilidade das duas esferas em contato. -
A partir da teoria de Hertz, o raio da região de contato
vale Substituindoe obtém-se, após simplificar, Interpretação:cresce como . -
A pressão máxima no centro do contato (pressão de pico) éEssa é a pressão do contato no ponto central e depende de
.
Passo 4
Expressão de
diretamente em termos de
(eliminando
):
- Substituímos
na expressão de . Fazer a substituição e simplificar dá Reagrupando potências de constantes e resulta em Observação sobre unidades: se está em , em e em , então resulta em (convenção usual para cálculos práticos).
Passo 5
Relações conhecidas (da solução completa de tensões de Hertz) entre
e os máximos de tensão:
-
A solução elástica de Hertz fornece constantes adimensionais que relacionam
com as tensões máximas internas: - a tensão de cisalhamento máxima (subsuperficial) é aproximadamente
(Esta tensão de cisalhamento ocorre sob a superfície, numa profundidade da ordem de .) - a máxima tensão principal (tensão normal máxima relevante para tração) que costuma ser citada na literatura de contato para esfera em contato é aproximadamente
(Essa é a maior tensão principal de tração que aparece em pontos sob a superfície — são fatores obtidos da solução elástica clássica.)
- a tensão de cisalhamento máxima (subsuperficial) é aproximadamente
-
Observação didática: esses fatores
e vêm da solução analítica das equações de elasticidade com a distribuição de pressão de Hertz; são números adimensionais bem estabelecidos em engenharia de contato (consultáveis em livros de contato elástico). Usamos essas proporções para expressar os máximos em função de , e então em função de .
Passo 6
Combinar tudo para obter expressões fechadas em função de
:
- Substituindo
nas expressões acima:
- Para facilitar uso em prova ou cálculo rápido, podemos recolher os fatores numéricos numa única constante. Definindo
obtemos fatores finais:
Passo 7
Substituir valores típicos de aço e o raio
para obter as expressões numéricas em MPa (dependendo apenas de
):
-
Usando
, e , os cálculos dão (após avaliação numérica das potências e constantes): ondeestá em e é a raiz cúbica de . -
Interpretação rápida: se, por exemplo,
então e teríamos e — tensões muito altas, o que mostra que a pressão de contato pode facilmente atingir valores elevados (por isso em projeto de rolamentos e contatos esféricos usa-se tratamento de superfície, materiais especiais etc.).