98 Quando uma lata de 20 N é pendurada na extremidade inferior de uma mola vertical, a mola sofre uma distensão de 20 cm . (a) Qual é a constante elástica da mola? (b) A mesma mola é colocada horizontalmente em uma mesa sem atrito. Uma das extremidades é mantida fixa e a outra é presa a uma lata de
. A lata é deslocada (esticando a mola) e liberada a partir do repouso. Qual é o período das oscilações?
99 Determine a amplitude angular
das oscilações de um pêndulo simples para a qual a diferença entre o torque restaurador necessário para o movimento harmônico simples e o torque restaurador verdadeiro é igual a
. (Veja “Expansões Trigonométricas” no Apêndice E.)
99 Determine a amplitude angular
Passo 1
Vou listar claramente o que cada parte do enunciado dá e pede.
Para o problema 98:
- Foi dada uma lata que exerce peso
pendurada numa mola vertical, que provoca uma distensão . - Perguntas:
(a) Determinar a constante elástica da mola.
(b) A mesma mola é colocada horizontalmente (sem atrito). Uma extremidade fixa, a outra ligada a uma lata de peso. A lata é deslocada e solta do repouso. Pergunta: qual é o período das oscilações?
Para o problema 99:
- Pediu-se determinar a amplitude angular
de um pêndulo simples tal que a diferença entre o torque restaurador usado na aproximação do movimento harmônico simples (que usa ) e o torque restaurador verdadeiro seja igual a . - O enunciado remete ao uso de expansões trigonométricas (séries de Taylor) para aproximar
.
Passo 2
Explicação física e matemática necessária para a parte (98a): Lei de Hooke e relação com peso.
- A mola obedece à Lei de Hooke: o módulo da força elástica é proporcional à distensão:
onde
é a constante elástica da mola (unidade
) e
é a deformação (em metros).
- No equilíbrio vertical, a força elástica para cima iguala o peso para baixo:
- Isolando
:
Definições:
é o peso em newtons,
a distensão em metros.
Passo 3
Cálculo numérico de
usando os valores dados (parte 98a).
- Substituindo
e na fórmula:
- Efetuando a divisão:
Comentário: esse valor significa que a mola precisa de
para alongar
.
Passo 4
Preparação para a parte (98b): converter peso para massa e fórmula do período de um oscilador massa-mola.
- A lata de
tem massa dada por
onde
é a aceleração da gravidade. Usaremos
.
- Para um bloco preso a uma mola em superfície sem atrito, o movimento é o de uma massa acoplada a mola, cujo período do movimento harmônico simples é
Aqui
é o período em segundos,
a massa em quilogramas e
a constante elástica em
. Essa fórmula vem da equação diferencial
cuja solução tem frequência angular
e
.
Passo 5
Cálculo da massa
da lata de
.
- Usando
:
- Fazendo a divisão:
(Arredondei mantendo casas suficientes para o cálculo do período.)
Passo 6
Cálculo do período
usando
e
.
- Substituindo em
:
- Calcular a raiz:
- Multiplicando por
:
Interpretação: o bloco executa oscilações com período aproximadamente
.
Passo 7
Agora o problema 99: esclarecer o que é pedido e qual é a ideia do método.
- Torque restaurador verdadeiro para um pêndulo simples de massa
e comprimento é
o sinal menos indica que o torque tende a reduzir
.
- Na aproximação para movimento harmônico simples (pequenos ângulos) usa-se
, daí o torque aproximado é
- A diferença (absoluta) entre os módulos desses torques é
. O enunciado pede a amplitude tal que essa diferença corresponda a . Precisamos escolher a forma de medir esse : vamos medir a diferença relativa ao torque verdadeiro (isto é, fracção ). Esse é um jeito natural de quantificar “quanto a aproximação difere do valor real” (diferença normalizada pelo valor real). - Assim exigimos:
Comentário: essa equação é equivalente a
. Como a solução exata exige resolver uma equação transcendente, vamos usar expansão em série de Taylor para
(válida para ângulos em radianos, pequenos o suficiente).
Passo 8
Usar a expansão em série (série de Taylor) para
e obter uma equação aproximada de baixo grau.
- A expansão para
em torno de é
- Substituindo até o termo cúbico (suficiente para o nosso objetivo de precisão) temos
- Então a diferença
aproxima-se por
- E
no denominador pode ser aproximado por . - Portanto, a razão pedida fica aproximadamente
Defina
para simplificar a álgebra.
Passo 9
Resolver a equação aproximada para
impondo a condição de
.
- A condição é
- Colocando
:
- Multiplicando ambos os lados por
:
- Desenvolvendo:
- Agrupando termos com
:
- Assim
- Calculando numericamente:
- Logo
- Convertendo para graus (opcional, mas útil):
, logo
Passo 10
Breve verificação e comentário sobre a aproximação.
- A aproximação usada retém até o termo
em ; para o termo é muito menor, então a aproximação é consistente. - Verificação rápida numérica (apenas para checar ordem de grandeza): com
rad, , então , ou seja cerca de — a diferença do valor exato em relação à nossa aproximação é pequena; usando termos superiores da série obter-se-ia um ajuste fino ligeiramente menor, então o valor encontrado é uma boa estimativa para a amplitude que produz cerca de de diferença.
Resposta
(a)
(b)
(b)