98 Quando uma lata de 20 N é pendurada na extremidade inferior de uma mola vertical, a mola sofre uma distensão de 20 cm . (a) Qual é a constante elástica da mola? (b) A mesma mola é colocada horizontalmente em uma mesa sem atrito. Uma das extremidades é mantida fixa e a outra é presa a uma lata de 5,0 \mathrm{~N}. A lata é deslocada (esticando a mola) e liberada a partir do repouso. Qual é o período das oscilações?
99 Determine a amplitude angular \theta_{m} das oscilações de um pêndulo simples para a qual a diferença entre o torque restaurador necessário para o movimento harmônico simples e o torque restaurador verdadeiro é igual a 1,0 \%. (Veja “Expansões Trigonométricas” no Apêndice E.)

Passo 1

Vou listar claramente o que cada parte do enunciado dá e pede.
Para o problema 98:
  • Foi dada uma lata que exerce peso W=20\\ \mathrm{N} pendurada numa mola vertical, que provoca uma distensão \Delta x=20\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m}.
  • Perguntas:
    (a) Determinar a constante elástica da mola k.
    (b) A mesma mola é colocada horizontalmente (sem atrito). Uma extremidade fixa, a outra ligada a uma lata de peso W'=5,0\\ \mathrm{N}. A lata é deslocada e solta do repouso. Pergunta: qual é o período T das oscilações?
Para o problema 99:
  • Pediu-se determinar a amplitude angular \theta_{m} de um pêndulo simples tal que a diferença entre o torque restaurador usado na aproximação do movimento harmônico simples (que usa \sin\theta\approx\theta) e o torque restaurador verdadeiro seja igual a 1{,}0\%.
  • O enunciado remete ao uso de expansões trigonométricas (séries de Taylor) para aproximar \sin\theta.

Passo 2

Explicação física e matemática necessária para a parte (98a): Lei de Hooke e relação com peso.
  • A mola obedece à Lei de Hooke: o módulo da força elástica é proporcional à distensão:
F_{\text{el}}=k\,\Delta x,
onde k é a constante elástica da mola (unidade \mathrm{N/m}) e \Delta x é a deformação (em metros).
  • No equilíbrio vertical, a força elástica para cima iguala o peso para baixo:
k\,\Delta x = W.
  • Isolando k:
k=\frac{W}{\Delta x}.
Definições: W é o peso em newtons, \Delta x a distensão em metros.

Passo 3

Cálculo numérico de k usando os valores dados (parte 98a).
  • Substituindo W=20\\ \mathrm{N} e \Delta x=0,20\\ \mathrm{m} na fórmula:
k=\frac{20}{0,20}.
  • Efetuando a divisão:
k=100\\ \mathrm{N/m}.
Comentário: esse valor significa que a mola precisa de 100\\ \mathrm{N} para alongar 1\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Preparação para a parte (98b): converter peso para massa e fórmula do período de um oscilador massa-mola.
  • A lata de W'=5{,}0\\ \mathrm{N} tem massa m dada por
m=\frac{W'}{g},
onde g é a aceleração da gravidade. Usaremos g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Para um bloco preso a uma mola em superfície sem atrito, o movimento é o de uma massa acoplada a mola, cujo período do movimento harmônico simples é
T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
Aqui T é o período em segundos, m a massa em quilogramas e k a constante elástica em \mathrm{N/m}. Essa fórmula vem da equação diferencial m\ddot{x} + kx = 0 cuja solução tem frequência angular \omega=\sqrt{k/m} e T=2\pi/\omega.

Passo 5

Cálculo da massa m da lata de 5{,}0\\ \mathrm{N}.
  • Usando m=W'/g:
m=\frac{5{,}0}{9{,}8}.
  • Fazendo a divisão:
m\approx 0{,}5102\\ \mathrm{kg}.
(Arredondei mantendo casas suficientes para o cálculo do período.)

Passo 6

Cálculo do período T usando k=100\\ \mathrm{N/m} e m\approx0{,}5102\\ \mathrm{kg}.
  • Substituindo em T=2\pi\sqrt{m/k}:
T=2\pi\sqrt{\frac{0{,}5102}{100}}.
  • Calcular a raiz:
\frac{0{,}5102}{100}=0{,}005102, \qquad \sqrt{0{,}005102}\approx 0{,}071436.
  • Multiplicando por 2\pi:
T\approx 2\pi\times 0{,}071436 \approx 0{,}449\\ \mathrm{s}.
Interpretação: o bloco executa oscilações com período aproximadamente 0{,}449\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Agora o problema 99: esclarecer o que é pedido e qual é a ideia do método.
  • Torque restaurador verdadeiro para um pêndulo simples de massa m e comprimento L é
\tau_{\text{verd}} = -m g L \sin\theta,
o sinal menos indica que o torque tende a reduzir \theta.
  • Na aproximação para movimento harmônico simples (pequenos ângulos) usa-se \sin\theta\approx\theta, daí o torque aproximado é
\tau_{\text{SHM}} = -m g L \,\theta.
  • A diferença (absoluta) entre os módulos desses torques é m g L(\theta-\sin\theta). O enunciado pede a amplitude \theta_{m} tal que essa diferença corresponda a 1{,}0\%. Precisamos escolher a forma de medir esse 1\%: vamos medir a diferença relativa ao torque verdadeiro (isto é, fracção \dfrac{\tau_{\text{SHM}}-\tau_{\text{verd}}}{\tau_{\text{verd}}}=0{,}01). Esse é um jeito natural de quantificar “quanto a aproximação difere do valor real” (diferença normalizada pelo valor real).
  • Assim exigimos:
\frac{\theta-\sin\theta}{\sin\theta}=0{,}01.
Comentário: essa equação é equivalente a \dfrac{\theta}{\sin\theta}=1{,}01. Como a solução exata exige resolver uma equação transcendente, vamos usar expansão em série de Taylor para \sin\theta (válida para ângulos em radianos, pequenos o suficiente).

Passo 8

Usar a expansão em série (série de Taylor) para \sin\theta e obter uma equação aproximada de baixo grau.
  • A expansão para \sin\theta em torno de \theta=0 é
\sin\theta=\theta-\frac{\theta^{3}}{6}+\frac{\theta^{5}}{120}-\cdots.
  • Substituindo até o termo cúbico (suficiente para o nosso objetivo de precisão) temos
\sin\theta\approx\theta-\frac{\theta^{3}}{6}.
  • Então a diferença \theta-\sin\theta aproxima-se por
\theta-\sin\theta \approx \frac{\theta^{3}}{6}.
  • E \sin\theta no denominador pode ser aproximado por \theta-\dfrac{\theta^{3}}{6}\approx \theta\left(1-\dfrac{\theta^{2}}{6}\right).
  • Portanto, a razão pedida fica aproximadamente
\frac{\theta-\sin\theta}{\sin\theta}\approx \frac{\dfrac{\theta^{3}}{6}}{\theta\left(1-\dfrac{\theta^{2}}{6}\right)} = \frac{\theta^{2}/6}{1-\theta^{2}/6}.
Defina x=\theta^{2} para simplificar a álgebra.

Passo 9

Resolver a equação aproximada para \theta impondo a condição de 1{,}0\%.
  • A condição é
\frac{\theta^{2}/6}{1-\theta^{2}/6}=0{,}01.
  • Colocando x=\theta^{2}:
\frac{x/6}{1-x/6}=0{,}01.
  • Multiplicando ambos os lados por 1-x/6:
\frac{x}{6}=0{,}01\left(1-\frac{x}{6}\right).
  • Desenvolvendo:
\frac{x}{6}=0{,}01-\frac{0{,}01\,x}{6}.
  • Agrupando termos com x:
\frac{x}{6}+\frac{0{,}01\,x}{6}=0{,}01 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{1+0{,}01}{6}\right)x=0{,}01.
  • Assim
x=\frac{0{,}01\cdot 6}{1{,}01}=\frac{0{,}06}{1{,}01}.
  • Calculando numericamente:
x\approx 0{,}05940594.
  • Logo
\theta=\sqrt{x}\approx\sqrt{0{,}05940594}\approx 0{,}2437\\ \text{rad}.
  • Convertendo para graus (opcional, mas útil): 1\\ \text{rad}\approx57{,}2958^\circ, logo
\theta\approx 0{,}2437\times57{,}2958\approx 13{,}96^\circ\approx 14{,}0^\circ.

Passo 10

Breve verificação e comentário sobre a aproximação.
  • A aproximação usada retém até o termo \theta^{3} em \sin\theta; para \theta\approx0{,}244\\ \text{rad} o termo \theta^{5} é muito menor, então a aproximação é consistente.
  • Verificação rápida numérica (apenas para checar ordem de grandeza): com \theta=0{,}244 rad, \sin\theta\approx0{,}241, então (\theta-\sin\theta)/\sin\theta\approx(0{,}244-0{,}241)/0{,}241\approx0{,}012, ou seja cerca de 1{,}2\% — a diferença do valor exato em relação à nossa aproximação é pequena; usando termos superiores da série obter-se-ia um ajuste fino ligeiramente menor, então o valor encontrado \approx0{,}244\\ \text{rad} é uma boa estimativa para a amplitude que produz cerca de 1\% de diferença.

Resposta

(a) k=100\\ \mathrm{N/m}
(b) T\approx0{,}449\\ \mathrm{s}
\theta_{m}\approx0{,}244\\ \text{rad}\approx14{,}0^\circ

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