Qual é a aceleração centrípeta de um ponto em um volante de raio 1 m girando a 6000 rpm ? Se um pedaço da borda se soltasse, que distância ele percorreria antes de atingir o solo, que está 2 m abaixo?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Calcular a aceleração centrípeta de um ponto na borda de um volante de raio \,r=1\\ \mathrm{m}\, que gira a \,6000\\ \mathrm{rpm}.
  • Se um pedaço da borda se soltasse, calcular a distância que ele percorreria antes de atingir o solo que está \,2\\ \mathrm{m}\, abaixo.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • \,r=1\\ \mathrm{m}.
  • velocidade angular em rotações por minuto: \,6000\\ \mathrm{rpm}.
  • altura para o solo: \,h=2\\ \mathrm{m}.
  • usarei a aceleração da gravidade \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor padrão).

Passo 2

Primeiro precisamos transformar \,6000\\ \mathrm{rpm} em velocidade angular \,\omega em rad/s. Explicando a fórmula e as unidades:
  • \,1\\ \mathrm{rpm} significa uma rotação por minuto, ou seja \,\dfrac{1}{60}\\ \text{rotações por segundo}çõ.
  • Uma rotação corresponde a \,2\pi radianos. Logo a relação é
\omega = 2\pi \times (\text{rotações por segundo}).çõ
Convertemos:
\text{rotações por segundo}=\frac{6000}{60}=100.çõ
Portanto
\omega = 2\pi\cdot 100 = 200\pi\\ \mathrm{rad/s}.
(Dica prática: multiplicar rpm por \,\dfrac{2\pi}{60} \omega em rad/s.)

Passo 3

Agora calculamos a velocidade tangencial (linear) \,v de um ponto na borda do volante. Relação entre \,v, \,\omega e \,r:
v=\omega r,
onde
  • \,v é a velocidade tangencial em \,\mathrm{m/s},
  • \,\omega é a velocidade angular em \,\mathrm{rad/s},
  • \,r é o raio em \,\mathrm{m}.
Substituindo \,\omega=200\pi e \,r=1:
v=200\pi\cdot 1 = 200\pi\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Cálculo numérico aproximado da velocidade tangencial. Usando \,\pi\approx 3{,}14159:
v = 200\pi \approx 200\times 3{,}14159 \approx 628{,}32\\ \mathrm{m/s}.
Comentário rápido: isso é uma velocidade muito alta (mais de 2{,}000\\ \mathrm{km/h}), por isso os resultados serão grandes.

Passo 5

Fórmula da aceleração centrípeta e significado das variáveis:
  • A aceleração centrípeta (que aponta para o centro) tem módulo
a_{c}=\omega^{2} r = \frac{v^{2}}{r},
onde \,a_{c} está em \mathrm{m/s^{2}}. Ambas as fórmulas são equivalentes porque \,v=\omega r.
Usando \,\omega=200\pi e \,r=1:
a_{c}=(200\pi)^{2}\cdot 1 = 40000\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Essa é a forma exata em termos de \pi.

Passo 6

Cálculo numérico da aceleração centrípeta. Com \,\pi^{2}\approx 9{,}8696:
a_{c}=40000\pi^{2}\approx 40000\times 9{,}8696 \approx 394784{,}18\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Também podemos escrever em notação científica:
a_{c}\approx 3{,}95\times 10^{5}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação rápida: esse valor é enorme — por isso pedaços que se soltassem seriam lançados com uma enorme força centrífuga.

Passo 7

Agora a segunda pergunta: distância horizontal percorrida por um pedaço que se solta e cai \,2\\ \mathrm{m}. Primeiro explico a hipótese que vou usar (padrão neste tipo de problema):
  • Ao se soltar, o pedaço mantém a velocidade instantânea do ponto da borda no momento da soltura, que é tangencial ao círculo. Vou assumir que essa velocidade é horizontal no instante considerado (isso corresponde ao pedaço se soltar quando o ponto está na posição lateral, para simplificar o cálculo). Sem essa hipótese o alcance depende do ângulo de soltura; como enunciado não diz o ângulo, usamos a hipótese usual: velocidade inicial puramente horizontal com módulo \,v calculado no Passo 4.
  • Após a soltura, o movimento vertical é de queda livre com aceleração -g e o movimento horizontal é de velocidade constante v (ausência de resistência do ar neste problema idealizado).

Passo 8

Equação do movimento vertical para achar o tempo de queda t. Tomando a origem vertical na posição de soltura e o sentido positivo para cima, com velocidade vertical inicial \,v_{y0}=0, a equação é
y(t)=y_{0}+v_{y0}\,t-\tfrac{1}{2}gt^{2}.
Queremos o instante em que o deslocamento vertical é -h (cai \,h=2\\ \mathrm{m}), então
- h = 0 - \tfrac{1}{2} g t^{2}\quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{\frac{2h}{g}}.
Substituindo \,h=2 e \,g=9{,}8:
t=\sqrt{\frac{2\cdot 2}{9{,}8}}=\sqrt{\frac{4}{9{,}8}}=\frac{2}{\sqrt{9{,}8}}\approx 0{,}6389\\ \mathrm{s}.

Passo 9

Agora a distância horizontal d. No movimento horizontal (sem resistência do ar) a velocidade é constante v, então
d = v\,t.
Usando v=200\pi\\ \mathrm{m/s} e t=\sqrt{4/9{,}8}:
d = 200\pi \cdot \sqrt{\frac{4}{9{,}8}} = \frac{400\pi}{\sqrt{9{,}8}}.
Cálculo numérico (usando os valores anteriores):
d \approx 628{,}32\\ \mathrm{m/s}\times 0{,}6389\\ \mathrm{s}\approx 401{,}4\\ \mathrm{m}.

Passo 10

Resumo rápido e uma palavra de incentivo: os números ficaram grandes por causa da rotação super alta ( 6000\\ \mathrm{rpm} é muito). Pode parecer assustador, mas o método é sempre o mesmo: converter unidades, usar v=\omega r e a_{c}=\omega^{2}r para a primeira parte; para a queda livre usar t=\sqrt{2h/g} e d=v t. Se quiser, praticamos outro exemplo juntos para fixar!

Resposta

a_{c}=40000\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx 3{,}95\times 10^{5}\\ \mathrm{m/s^{2}}
d=\dfrac{400\pi}{\sqrt{9{,}8}}\\ \mathrm{m}\approx 401{,}4\\ \mathrm{m}

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