Qual é a aceleração centrípeta de um ponto em um volante de raio 1 m girando a 6000 rpm ? Se um pedaço da borda se soltasse, que distância ele percorreria antes de atingir o solo, que está 2 m abaixo?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Calcular a aceleração centrípeta de um ponto na borda de um volante de raio
que gira a . - Se um pedaço da borda se soltasse, calcular a distância que ele percorreria antes de atingir o solo que está
abaixo.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
-
. - velocidade angular em rotações por minuto:
. - altura para o solo:
. - usarei a aceleração da gravidade
(valor padrão).
Passo 2
Primeiro precisamos transformar
em velocidade angular
em rad/s. Explicando a fórmula e as unidades:
-
significa uma rotação por minuto, ou seja . - Uma rotação corresponde a
radianos. Logo a relação é
Convertemos:
Portanto
(Dica prática: multiplicar rpm por
dá
em rad/s.)
Passo 3
Agora calculamos a velocidade tangencial (linear)
de um ponto na borda do volante. Relação entre
,
e
:
onde
-
é a velocidade tangencial em , -
é a velocidade angular em , -
é o raio em .
Substituindo
e
:
Passo 4
Cálculo numérico aproximado da velocidade tangencial. Usando
:
Comentário rápido: isso é uma velocidade muito alta (mais de
), por isso os resultados serão grandes.
Passo 5
Fórmula da aceleração centrípeta e significado das variáveis:
- A aceleração centrípeta (que aponta para o centro) tem módulo
onde
está em
. Ambas as fórmulas são equivalentes porque
.
Usando
e
:
Essa é a forma exata em termos de
.
Passo 6
Cálculo numérico da aceleração centrípeta. Com
:
Também podemos escrever em notação científica:
Interpretação rápida: esse valor é enorme — por isso pedaços que se soltassem seriam lançados com uma enorme força centrífuga.
Passo 7
Agora a segunda pergunta: distância horizontal percorrida por um pedaço que se solta e cai
. Primeiro explico a hipótese que vou usar (padrão neste tipo de problema):
- Ao se soltar, o pedaço mantém a velocidade instantânea do ponto da borda no momento da soltura, que é tangencial ao círculo. Vou assumir que essa velocidade é horizontal no instante considerado (isso corresponde ao pedaço se soltar quando o ponto está na posição lateral, para simplificar o cálculo). Sem essa hipótese o alcance depende do ângulo de soltura; como enunciado não diz o ângulo, usamos a hipótese usual: velocidade inicial puramente horizontal com módulo
calculado no Passo 4. - Após a soltura, o movimento vertical é de queda livre com aceleração
e o movimento horizontal é de velocidade constante (ausência de resistência do ar neste problema idealizado).
Passo 8
Equação do movimento vertical para achar o tempo de queda
. Tomando a origem vertical na posição de soltura e o sentido positivo para cima, com velocidade vertical inicial
, a equação é
Queremos o instante em que o deslocamento vertical é
(cai
), então
Substituindo
e
:
Passo 9
Agora a distância horizontal
. No movimento horizontal (sem resistência do ar) a velocidade é constante
, então
Usando
e
:
Cálculo numérico (usando os valores anteriores):
Passo 10
Resumo rápido e uma palavra de incentivo: os números ficaram grandes por causa da rotação super alta (
é muito). Pode parecer assustador, mas o método é sempre o mesmo: converter unidades, usar
e
para a primeira parte; para a queda livre usar
e
. Se quiser, praticamos outro exemplo juntos para fixar!