Qual é a aceleração radial de um satélite geoestacionário que orbita a uma distância R=4,2 \times 10^{7} \mathrm{~m} do centro da Terra?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a distância do satélite ao centro da Terra é R = 4,2 \times 10^{7}\\ \mathrm{m}.
  • Dado implícito: o satélite é geoestacionário (ou seja, seu período orbital é o mesmo da rotação da Terra).
  • Pedido: calcular a aceleração radial (centrípeta) do satélite.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Aceleração radial (ou centrípeta) é a aceleração dirigida ao centro necessária para manter um corpo descrevendo uma órbita circular. A fórmula básica é
a_{r}=\frac{v^{2}}{R},
onde:
  • a_{r} é a aceleração radial (em \mathrm{m\,s^{-2}}),
  • v é a velocidade tangencial do satélite (em \mathrm{m\,s^{-1}}),
  • R é o raio da órbita (em \mathrm{m}).
  • A velocidade tangencial relaciona-se com a velocidade angular \omega por
v=\omega R,
onde \omega é a velocidade angular (em \mathrm{s^{-1}}).
  • Para um movimento periódico com período T vale
\omega=\frac{2\pi}{T}.
  • Substituindo v=\omega R em a_{r}=v^{2}/R obtém-se uma forma útil:
a_{r}=\omega^{2}R=\frac{4\pi^{2}R}{T^{2}}.
Aqui cada símbolo já foi explicado: T é o período, R o raio, \pi a constante (aprox. 3,1416).

Passo 3

Aplicando ao satélite geoestacionário:
  • Período de rotação da Terra (usaremos o dia civil) T = 24\\ \mathrm{h} = 24\times3600\\ \mathrm{s}=86400\\ \mathrm{s}.
  • Calcular \omega:
\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{86400}\\ \mathrm{s^{-1}}\approx 7,2722\times10^{-5}\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Calcular \omega^{2}:
\omega^{2}\approx\left(7,2722\times10^{-5}\right)^{2}\approx 5,29\times10^{-9}\\ \mathrm{s^{-2}}.
  • Finalmente, calcular a_{r}=\omega^{2}R:
a_{r} \approx \left(5,29\times10^{-9}\right)\times\left(4,2\times10^{7}\right)\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
Fazendo a multiplicação passo a passo:
5,29\times4,2 = 22,218, \qquad 10^{-9}\times10^{7}=10^{-2},
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a_{r}\approx 22,218\times10^{-2}\\ \mathrm{m\,s^{-2}}=0,22218\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
Arredondando com três algarismos significativos:
a_{r}\approx 0,222\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
Observação (curiosidade rápida): usando a forma alternativa v=\omega R tem-se v\approx 7,2722\times10^{-5}\times4,2\times10^{7}\approx3054\\ \mathrm{m\,s^{-1}} e então a_{r}=v^{2}/R dá o mesmo valor aproximadamente 0,222\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.

Passo 4

Interpretação e incentivo:
  • O valor encontrado, 0,222\\ \mathrm{m\,s^{-2}}, é pequeno perto da gravidade ao nível do mar ( g\approx9,8\\ \mathrm{m\,s^{-2}}). Em porcentagem:
\frac{0,222}{9,8}\approx0,0227 \approx 2,27\%.
Ou seja, a aceleração centrípeta do satélite geoestacionário é cerca de 2{,}3\% de g. Não se assuste — a conta foi feita passo a passo e você já aprendeu as relações principais que aparecem sempre em problemas de órbita circular. Força pra prova: você consegue!

Resposta

0,222\\ \mathrm{m\,s^{-2}}

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