Achar aproximação para a solução do PVI \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=x-y+2 \\\ y(0)=2\end{array}\right. na malha [0,1] com h=0,1 usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem (Euler aprimorado).
Resolução: \quad x_{0}=0, y_{0}=2, a=0, b=1, m=\frac{1-0}{0,1} \rightarrow m=10.
y_{j+1}=y_{j}+\frac{0,1}{2}\left(k_{1}+k_{2}\right), \text { para } j=0,1,2, \ldots, 9 .
k_{1}=
\_\_\_\_ e k_{2}= \_\_\_\_
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline j & x_{j} & y_{j} & k_{1} & k_{2} \
\hline 0 & 0 & 2 & & \
\hline 1 & & & & \
\hline 2 & & & & \
\hline 3 & & & & \
\hline 4 & & & & \
\hline 5 & & & & \
\hline 6 & & & & \
\hline 7 & & & & \
\hline 8 & & & & \
\hline 9 & & & & \
\hline 10 & & & & \
\hline

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas:\n
  • Pedem aproximação numérica para a solução do problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} y' = x - y + 2,\\[4pt] y(0)=2, \end{cases}
na malha [0,1] com passo h=0,1.\n
  • Foi informado que x_{0}=0, y_{0}=2, a=0, b=1 e que o número de subintervalos é m=\dfrac{1-0}{0,1}=10.\n
  • O método a usar é o método de Runge–Kutta de segunda ordem (Euler aprimorado), com fórmula dada
y_{j+1}=y_{j}+\frac{0,1}{2}\left(k_{1}+k_{2}\right),\quad j=0,1,\dots,9.
  • O enunciado pede preencher as expressões de k_{1} e k_{2} e completar a tabela com x_{j},y_{j},k_{1},k_{2} para j=0,\dots,10.\n
    Observação: aqui estão todos os dados necessários para iniciar a iteração; a resolução numérica começa no próximo passo.]

Passo 2

O que é o método e as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).\n
  • O método de Runge–Kutta de 2ª ordem no formato “Euler aprimorado” (também chamado de método do trapézio explícito / Heun simples) usa dois estágios por passo:\n
    • k_{1} é a inclinação no início do intervalo, isto é o valor da função derivada f(x,y) em (x_{j},y_{j}).\n
    • k_{2} é a inclinação prevista no final do intervalo, calculada avaliando f em (x_{j}+h,\; y_{j}+h\,k_{1}) (ou seja, avançamos com a inclinação k_{1} para obter um valor de y no final do passo e calculamos a derivada ali).\n
  • A fórmula geral que vamos usar é, com passo h:
\begin{aligned} k_{1}&=f(x_{j},y_{j}),\\[4pt] k_{2}&=f(x_{j}+h,\;y_{j}+h\,k_{1}),\\[4pt] y_{j+1}&=y_{j}+\frac{h}{2}\left(k_{1}+k_{2}\right). \end{aligned}
Aqui f(x,y)=x-y+2. Vou aplicar isso passo a passo para h=0,1.]

Passo 3

Preencher as expressões pedidos (resposta às lacunas do enunciado).\n
  • Como f(x,y)=x-y+2, temos as expressões pedidas:
k_{1}=f(x_{j},y_{j})=x_{j}-y_{j}+2
k_{2}=f\bigl(x_{j}+h,\;y_{j}+h\,k_{1}\bigr)=(x_{j}+h)-\bigl(y_{j}+h\,k_{1}\bigr)+2.
Essas são as fórmulas gerais que usaremos em todas as iterações.

Passo 4

Preparação numérica: valores iniciais e notação que vou usar.\n
  • passo: h=0,1.\n
  • valores iniciais: x_{0}=0,\; y_{0}=2.\n
  • iterações: para cada j calculemos k_{1},k_{2} com as fórmulas do passo anterior e então
y_{j+1}=y_{j}+\frac{0,1}{2}\,(k_{1}+k_{2})=y_{j}+0,05\,(k_{1}+k_{2}).
Vou calcular cada iteração mostrando os cálculos aritméticos (sem pular contas).

Passo 5

Dados: x_{0}=0,\; y_{0}=2.\n
Calcule k_{1}:
k_{1}=x_{0}-y_{0}+2=0-2+2=0.
Calcule k_{2}:
y_{0}+h\,k_{1}=2+0,1\cdot 0=2,
k_{2}=(x_{0}+h)-(y_{0}+h\,k_{1})+2=0,1-2+2=0,1.
Atualize y_{1}:
y_{1}=2+0,05\,(0+0,1)=2+0,05\cdot 0,1=2+0,005=2,005.

Passo 6

Dados: x_{1}=0,1,\; y_{1}=2,005.\n
Calcule k_{1}:
k_{1}=x_{1}-y_{1}+2=0,1-2,005+2=0,095.
Calcule k_{2}:
y_{1}+h\,k_{1}=2,005+0,1\cdot 0,095=2,005+0,0095=2,0145,
k_{2}=(0,1+0,1)-(2,0145)+2=0,2-2,0145+2=0,1855.
Atualize y_{2}:
y_{2}=2,005+0,05\,(0,095+0,1855)=2,005+0,05\cdot 0,2805=2,005+0,014025=2,019025.

Passo 7

Dados: x_{2}=0,2,\; y_{2}=2,019025.\n
Calcule k_{1}:
k_{1}=0,2-2,019025+2=0,180975.
Calcule k_{2}:
y_{2}+0,1\,k_{1}=2,019025+0,0180975=2,0371225,
k_{2}=0,3-2,0371225+2=0,2628775.
Atualize y_{3}:
y_{3}=2,019025+0,05\,(0,180975+0,2628775)=2,019025+0,05\cdot 0,4438525=2,019025+0,022192625=2,041217625.

Passo 8

Dados: x_{3}=0,3,\; y_{3}=2,041217625.\n
Calcule k_{1}:
k_{1}=0,3-2,041217625+2=0,258782375.
Calcule k_{2}:
y_{3}+0,1\,k_{1}=2,041217625+0,0258782375=2,0670958625,
k_{2}=0,4-2,0670958625+2=0,3329041375.
Atualize y_{4}:
y_{4}=2,041217625+0,05\,(0,258782375+0,3329041375)=2,041217625+0,05\cdot 0,5916865125=2,041217625+0,029584325625=2,070801950625.

Passo 9

Dados: x_{4}=0,4,\; y_{4}=2,070801950625.\n
Calcule k_{1}:
k_{1}=0,4-2,070801950625+2=0,329198049375.
Calcule k_{2}:
y_{4}+0,1\,k_{1}=2,070801950625+0,0329198049375=2,1037217555625,
k_{2}=0,5-2,1037217555625+2=0,3962782444375.
Atualize y_{5}:
y_{5}=2,070801950625+0,05\,(0,329198049375+0,3962782444375)=2,070801950625+0,05\cdot 0,7254762938125=2,070801950625+0,036273814690625=2,107075765315625.

Passo 10

Dados: x_{5}=0,5,\; y_{5}=2,107075765315625.\n
Calcule k_{1}:
k_{1}=0,5-2,107075765315625+2=0,392924234684375.
Calcule k_{2}:
y_{5}+0,1\,k_{1}=2,107075765315625+0,0392924234684375=2,1463681887840625,
k_{2}=0,6-2,1463681887840625+2=0,4536318112159375.
Atualize y_{6}:
y_{6}=2,107075765315625+0,05\,(0,392924234684375+0,4536318112159375)=2,107075765315625+0,05\cdot 0,8465560459003125
=2,107075765315625+0,042327802295015625=2,1494035676106406.

Passo 11

Dados: x_{6}=0,6,\; y_{6}=2,1494035676106406.\n
Calcule k_{1}:
k_{1}=0,6-2,1494035676106406+2=0,4505964323893594.
Calcule k_{2}:
y_{6}+0,1\,k_{1}=2,1494035676106406+0,04505964323893594=2,1944632108495765,
k_{2}=0,7-2,1944632108495765+2=0,5055367891504235.
Atualize y_{7}:
y_{7}=2,1494035676106406+0,05\,(0,4505964323893594+0,5055367891504235)
=2,1494035676106406+0,05\cdot 0,9561332215397829=2,1494035676106406+0,0478066610769891445=2,1972102286876297.

Passo 12

Dados: x_{7}=0,7,\; y_{7}=2,1972102286876297.\n
Calcule k_{1}:
k_{1}=0,7-2,1972102286876297+2=0,5027897713123703.
Calcule k_{2}:
y_{7}+0,1\,k_{1}=2,1972102286876297+0,05027897713123703=2,2474892058188667,
k_{2}=0,8-2,2474892058188667+2=0,5525107941811333.
Atualize y_{8}:
y_{8}=2,1972102286876297+0,05\,(0,5027897713123703+0,5525107941811333)
=2,1972102286876297+0,05\cdot 1,0553005654935036=2,1972102286876297+0,05276502827467518=2,2499752569623048.

Passo 13

Dados: x_{8}=0,8,\; y_{8}=2,2499752569623048.\n
Calcule k_{1}:
k_{1}=0,8-2,2499752569623048+2=0,5500247430376952.
Calcule k_{2}:
y_{8}+0,1\,k_{1}=2,2499752569623048+0,05500247430376952=2,3049777312660743,
k_{2}=0,9-2,3049777312660743+2=0,5950222687339257.
Atualize y_{9}:
y_{9}=2,2499752569623048+0,05\,(0,5500247430376952+0,5950222687339257)
=2,2499752569623048+0,05\cdot 1,145047011771621=2,2499752569623048+0,05725235058858105=2,3072276075508858.

Passo 14

Dados: x_{9}=0,9,\; y_{9}=2,3072276075508858.\n
Calcule k_{1}:
k_{1}=0,9-2,3072276075508858+2=0,5927723924491142.
Calcule k_{2}:
y_{9}+0,1\,k_{1}=2,3072276075508858+0,05927723924491142=2,3665048467957972,
k_{2}=1,0-2,3665048467957972+2=0,6334951532042028.
Atualize y_{10}:
y_{10}=2,3072276075508858+0,05\,(0,5927723924491142+0,6334951532042028)
=2,3072276075508858+0,05\cdot 1,226267545653317=2,3072276075508858+0,06131337728266585=2,3685409848335517.

Resposta

k_{1}=x_{j}-y_{j}+2
k_{2}=(x_{j}+h)-(y_{j}+h\,k_{1})+2
Tabela completa (valores aproximados):
j=0,\; x_{0}=0,\; y_{0}=2,\; k_{1}=0,\; k_{2}=0,1
j=1,\; x_{1}=0,1,\; y_{1}=2,005,\; k_{1}=0,095,\; k_{2}=0,1855
j=2,\; x_{2}=0,2,\; y_{2}=2,019025,\; k_{1}=0,180975,\; k_{2}=0,2628775
j=3,\; x_{3}=0,3,\; y_{3}=2,041217625,\; k_{1}=0,258782375,\; k_{2}=0,3329041375
j=4,\; x_{4}=0,4,\; y_{4}=2,070801950625,\; k_{1}=0,329198049375,\; k_{2}=0,3962782444375
j=5,\; x_{5}=0,5,\; y_{5}=2,107075765315625,\; k_{1}=0,392924234684375,\; k_{2}=0,4536318112159375
j=6,\; x_{6}=0,6,\; y_{6}=2,1494035676106406,\; k_{1}=0,4505964323893594,\; k_{2}=0,5055367891504235
j=7,\; x_{7}=0,7,\; y_{7}=2,1972102286876297,\; k_{1}=0,5027897713123703,\; k_{2}=0,5525107941811333
j=8,\; x_{8}=0,8,\; y_{8}=2,2499752569623048,\; k_{1}=0,5500247430376952,\; k_{2}=0,5950222687339257
j=9,\; x_{9}=0,9,\; y_{9}=2,3072276075508858,\; k_{1}=0,5927723924491142,\; k_{2}=0,6334951532042028
j=10,\; x_{10}=1,0,\; y_{10}=2,3685409848335517,\; k_{1}=\;,\; k_{2}=\;

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