Achar aproximação para a solução do PVI
na malha
com
usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem (Euler aprimorado).
Resolução:
.
e
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline
&
&
&
&
\
\hline 0 & 0 & 2 & & \
\hline 1 & & & & \
\hline 2 & & & & \
\hline 3 & & & & \
\hline 4 & & & & \
\hline 5 & & & & \
\hline 6 & & & & \
\hline 7 & & & & \
\hline 8 & & & & \
\hline 9 & & & & \
\hline 10 & & & & \
\hline
Resolução:
\hline
\hline 0 & 0 & 2 & & \
\hline 1 & & & & \
\hline 2 & & & & \
\hline 3 & & & & \
\hline 4 & & & & \
\hline 5 & & & & \
\hline 6 & & & & \
\hline 7 & & & & \
\hline 8 & & & & \
\hline 9 & & & & \
\hline 10 & & & & \
\hline
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas:\n
- Pedem aproximação numérica para a solução do problema de valor inicial (PVI)
na malha
com passo
.\n
- Foi informado que
, , , e que o número de subintervalos é .\n - O método a usar é o método de Runge–Kutta de segunda ordem (Euler aprimorado), com fórmula dada
- O enunciado pede preencher as expressões de
e e completar a tabela com para .\n
Observação: aqui estão todos os dados necessários para iniciar a iteração; a resolução numérica começa no próximo passo.]
Passo 2
O que é o método e as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).\n
- O método de Runge–Kutta de 2ª ordem no formato “Euler aprimorado” (também chamado de método do trapézio explícito / Heun simples) usa dois estágios por passo:\n
-
é a inclinação no início do intervalo, isto é o valor da função derivada em .\n -
é a inclinação prevista no final do intervalo, calculada avaliando em (ou seja, avançamos com a inclinação para obter um valor de no final do passo e calculamos a derivada ali).\n
-
- A fórmula geral que vamos usar é, com passo
:
Aqui
. Vou aplicar isso passo a passo para
.]
Passo 3
Preencher as expressões pedidos (resposta às lacunas do enunciado).\n
- Como
, temos as expressões pedidas:
Essas são as fórmulas gerais que usaremos em todas as iterações.
Passo 4
Preparação numérica: valores iniciais e notação que vou usar.\n
- passo:
.\n - valores iniciais:
.\n - iterações: para cada
calculemos com as fórmulas do passo anterior e então
Vou calcular cada iteração mostrando os cálculos aritméticos (sem pular contas).
Passo 5
Dados:
.\n
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Atualize
:
Passo 6
Dados:
.\n
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Atualize
:
Passo 7
Dados:
.\n
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Atualize
:
Passo 8
Dados:
.\n
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Atualize
:
Passo 9
Dados:
.\n
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Atualize
:
Passo 10
Dados:
.\n
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Atualize
:
Passo 11
Dados:
.\n
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Atualize
:
Passo 12
Dados:
.\n
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Atualize
:
Passo 13
Dados:
.\n
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Atualize
:
Passo 14
Dados:
.\n
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Atualize
:
Resposta
Tabela completa (valores aproximados):