Achar aproximações para a solução do PVI \left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=-x y \\\ y(0)=1\end{array}\right. na malha [0,1] \operatorname{com} h=0,5 usando o método de Euler Aprimorado.
na malha [0,1] com passo h=0,5 usando o método de Euler Aprimorado.
As informações relevantes que o enunciado dá são:
A equação diferencial: \displaystyle \frac{dy}{dx}=-x\,y.
Condição inicial: y(0)=1.
Malha: intervalo [0,1] com passo h=0,5, logo os pontos são x_{0}=0, x_{1}=0,5, x_{2}=1.
O enunciado já fornece a solução exata para comparar: y(x)=e^{-x^{2}/2}.
Não há outras perguntas implícitas — queremos os valores aproximados y_{j} em x_{j} usando Euler Aprimorado e as diferenças em módulo para a solução exata.]
Passo 2
O que é o método de Euler Aprimorado (também chamado de método de Heun)? Vou explicar passo a passo de forma prática e com definição das letras para você usar na prova.
Definimos f(x,y)=\dfrac{dy}{dx}. No nosso caso
f(x,y)=-x\,y.
Dados x_{j} e y_{j} conhecidos e um passo h, o método calcula duas estimativas de inclinação:
k_{1}=f(x_{j},y_{j})
e
k_{2}=f(x_{j}+h,\;y_{j}+h\,k_{1}).
Intuição rápida: k_{1} é a inclinação no início do passo; y_{j}+h\,k_{1} é a predição (Euler simples) do valor no fim do passo; k_{2} é a inclinação no fim do passo usando essa predição. O método usa a média das duas inclinações para melhorar a estimativa:
y_{j+1}=y_{j}+\frac{h}{2}\,(k_{1}+k_{2}).
Explicando as variáveis:
x_{j} é o ponto atual de abscissa.
y_{j} é a aproximação atual da solução em x_{j}.
h é o passo.
k_{1} e k_{2} são estimativas das derivadas (inclinações).
y_{j+1} é a aproximação no próximo nó x_{j+1}=x_{j}+h.
Vamos aplicar isso explicitamente para h=0,5, x_{0}=0, y_{0}=1. Também usaremos a solução exata y(x)=e^{-x^{2}/2} para calcular os erros:
\text{erro no nó }x_{j} \;=\; \big|\,y_{j}-y(x_{j})\,\big|.ó
Pequena observação final de didática: o Euler Aprimorado melhora o Euler explícito porque usa a média das inclinações inicial e final no passo, o que geralmente reduz o erro local do método. Nos nossos dois passos vimos que as aproximações ficam bem próximas da solução exata (erros da ordem de 10^{-3}).