Achar aproximações para a solução do PVI \left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=-x y \\\ y(0)=1\end{array}\right. na malha [0,1] \operatorname{com} h=0,5 usando o método de Euler Aprimorado.

Resolução:

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline j & x_{j} & y_{j} & k_{1} & k_{2} & y\left(x_{j}\right)=e^{-x^{2} / 2} & \left|y_{j}-y\left(x_{j}\right)\right|

\hline 0 & 0 & 1 & & & &

\hline 1 & & & & & &

\hline 2 & & & & & &

\hline

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache aproximações para a solução do problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dx}=-x\,y,\\[6pt] y(0)=1 \end{cases}
na malha [0,1] com passo h=0,5 usando o método de Euler Aprimorado.
As informações relevantes que o enunciado dá são:
  • A equação diferencial: \displaystyle \frac{dy}{dx}=-x\,y.
  • Condição inicial: y(0)=1.
  • Malha: intervalo [0,1] com passo h=0,5, logo os pontos são x_{0}=0, x_{1}=0,5, x_{2}=1.
  • O enunciado já fornece a solução exata para comparar: y(x)=e^{-x^{2}/2}.
    Não há outras perguntas implícitas — queremos os valores aproximados y_{j} em x_{j} usando Euler Aprimorado e as diferenças em módulo para a solução exata.]

Passo 2

O que é o método de Euler Aprimorado (também chamado de método de Heun)? Vou explicar passo a passo de forma prática e com definição das letras para você usar na prova.
Definimos f(x,y)=\dfrac{dy}{dx}. No nosso caso
f(x,y)=-x\,y.
Dados x_{j} e y_{j} conhecidos e um passo h, o método calcula duas estimativas de inclinação:
k_{1}=f(x_{j},y_{j})
e
k_{2}=f(x_{j}+h,\;y_{j}+h\,k_{1}).
Intuição rápida: k_{1} é a inclinação no início do passo; y_{j}+h\,k_{1} é a predição (Euler simples) do valor no fim do passo; k_{2} é a inclinação no fim do passo usando essa predição. O método usa a média das duas inclinações para melhorar a estimativa:
y_{j+1}=y_{j}+\frac{h}{2}\,(k_{1}+k_{2}).
Explicando as variáveis:
  • x_{j} é o ponto atual de abscissa.
  • y_{j} é a aproximação atual da solução em x_{j}.
  • h é o passo.
  • k_{1} e k_{2} são estimativas das derivadas (inclinações).
  • y_{j+1} é a aproximação no próximo nó x_{j+1}=x_{j}+h.
Vamos aplicar isso explicitamente para h=0,5, x_{0}=0, y_{0}=1. Também usaremos a solução exata y(x)=e^{-x^{2}/2} para calcular os erros:
\text{erro no nó }x_{j} \;=\; \big|\,y_{j}-y(x_{j})\,\big|.ó

Passo 3

Cálculo do passo j=0\to j=1.
Dados iniciais: x_{0}=0, y_{0}=1, h=0,5.
Primeiro calcule k_{1}:
k_{1}=f(x_{0},y_{0}) = -x_{0}\,y_{0} = -0\cdot 1 = 0.
Agora a predição de Euler e k_{2}:
y_{0}+h\,k_{1}=1+0,5\cdot 0 = 1.
k_{2}=f(x_{0}+h,\;y_{0}+h\,k_{1}) = f(0,5,\;1) = -0,5\cdot 1 = -0,5.
Aplicando a fórmula do método:
y_{1}=y_{0}+\frac{h}{2}(k_{1}+k_{2}) = 1+\frac{0,5}{2}\big(0+(-0,5)\big).
Calcule passo a passo:
\frac{0,5}{2}=0,25,\qquad 0,25\cdot(-0,5)=-0,125,
logo
y_{1}=1-0,125=0,875.
Observação exata em frações (para quem gosta): y_{1}=1-\tfrac{1}{8}=\tfrac{7}{8}.
Agora a solução exata em x_{1}=0,5:
y(0,5)=e^{-(0,5)^{2}/2}=e^{-0,125}\approx 0,8824969\ldots
(aproximação numérica para comparação).
Erro absoluto:
\big|y_{1}-y(0,5)\big| = \big|0,875-0,8824969\ldots\big|\approx 0,0074969\ldots

Passo 4

Cálculo do passo j=1\to j=2.
Dados: x_{1}=0,5, y_{1}=0,875, h=0,5.
Calcule k_{1}:
k_{1}=f(x_{1},y_{1})=-x_{1}\,y_{1} = -0,5\cdot 0,875 = -0,4375.
(Em frações: -0,4375=-\tfrac{7}{16}.)
Predição:
y_{1}+h\,k_{1}=0,875+0,5\cdot(-0,4375)=0,875-0,21875=0,65625.
(Em frações: 0,65625=\tfrac{21}{32}.)
Calcule k_{2}:
k_{2}=f(x_{1}+h,\;y_{1}+h\,k_{1}) = f(1,\;0,65625) = -1\cdot 0,65625 = -0,65625.
(Em frações: -0,65625=-\tfrac{21}{32}.)
Agora y_{2}:
y_{2}=y_{1}+\frac{h}{2}(k_{1}+k_{2}) = 0,875+\frac{0,5}{2}\big(-0,4375-0,65625\big).
Calcule passo a passo:
k_{1}+k_{2}=-0,4375-0,65625=-1,09375,
\frac{h}{2}=\frac{0,5}{2}=0,25,\qquad 0,25\cdot(-1,09375)=-0,2734375,
logo
y_{2}=0,875-0,2734375=0,6015625.
(Em frações: y_{2}=\tfrac{77}{128}=0,6015625.)
Solução exata em x_{2}=1:
y(1)=e^{-1^{2}/2}=e^{-1/2}\approx 0,60653066\ldots
Erro absoluto:
\big|y_{2}-y(1)\big|=\big|0,6015625-0,60653066\ldots\big|\approx 0,00496816\ldots

Passo 5

Resumo dos valores calculados (mostrando também k_{1} e k_{2} usados):
Para j=0 (ponto inicial):
x_{0}=0,\quad y_{0}=1,\quad k_{1}=0,\quad k_{2}=-0,5,\quad y(0)=e^{0}=1,\quad |y_{0}-y(0)|=0.
Para j=1:
x_{1}=0,5,\quad y_{1}=0,875,\quad k_{1}=-0,4375,\quad k_{2}=-0,5,\quad y(0,5)=e^{-0,125}\approx 0,8824969,
|y_{1}-y(0,5)|\approx 0,0074969.
Para j=2:
x_{2}=1,\quad y_{2}=0,6015625,\quad k_{1}=-0,4375,\quad k_{2}=-0,65625,\quad y(1)=e^{-1/2}\approx 0,60653066,
|y_{2}-y(1)|\approx 0,00496816.
Pequena observação final de didática: o Euler Aprimorado melhora o Euler explícito porque usa a média das inclinações inicial e final no passo, o que geralmente reduz o erro local do método. Nos nossos dois passos vimos que as aproximações ficam bem próximas da solução exata (erros da ordem de 10^{-3}).

Resposta

j=0:\;x_{0}=0,\;y_{0}=1,\;k_{1}=0,\;k_{2}=-0,5,\;y(0)=1,\;|y_{0}-y(0)|=0
j=1:\;x_{1}=0,5,\;y_{1}=0,875,\;k_{1}=-0,4375,\;k_{2}=-0,5,\;y(0,5)=e^{-0,125}\approx 0,8824969,\;|y_{1}-y(0,5)|\approx 0,0074969
j=2:\;x_{2}=1,\;y_{2}=0,6015625,\;k_{1}=-0,4375,\;k_{2}=-0,65625,\;y(1)=e^{-1/2}\approx 0,60653066,\;|y_{2}-y(1)|\approx 0,00496816

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