Achar aproximações para a solução do PVI \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=x-y+2 \\\ y(0)=2\end{array}\right. na malha de [0,1] com h=0,1.

Resolução:

x_{0}=0, y_{0}=2, a=0, b=1, m=\frac{1-0}{0,1} \rightarrow m=10.
Usar 0 para j=0,1,2, \ldots, 9.
  • j=0 :
  • j=1 :

- TABELA:

\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline j & x_{j} & y_{j} & y\left(x_{j}\right) & y_{j}-y\left(x_{j}\right)=e_{j}

\hline 0 & 0 & 2 & 2 &

\hline 1 & & & 2,004837 &

\hline 2 & & & 2,018731 &

\hline 3 & & & 2,040818 &

\hline 4 & & & 2,07032 &

\hline 5 & & & 2,106531 &

\hline 6 & & & 2,148812 &

\hline 7 & & & 2,196585 &

\hline 8 & & & 2,249329 &

\hline 9 & & & 2,30657 &

\hline 10 & & & 2,367879 &

\hline

Passo 1

O problema pede que a gente encontre aproximações numéricas para a solução do PVI
\begin{cases} y'=x-y+2,\\[4pt] y(0)=2 \end{cases}
na malha do intervalo [0,1] com passo h=0{,}1.
Informações dadas:
  • Condição inicial: x_0=0,\; y_0=2.
  • Passo: h=0{,}1.
  • Número de subintervalos: m=\dfrac{1-0}{0{,}1}=10, logo j=0,1,\dots,10.
  • Os pontos da malha são x_j=0{,}1j para j=0,\dots,10.
  • A função do lado direito é f(x,y)=x-y+2.
  • A tabela do enunciado fornece os valores exatos y(x_j) para j=0,\dots,10; vou usar esses valores explicitamente quando calcular os erros (estou pegando esses y(x_j) da tabela que você forneceu).
O que se pede explicitamente: calcular aproximações y_j (para j=0,\dots,10) e, se desejado, os erros e_j=y_j-y(x_j).]

Passo 2

Escolha do método: como o enunciado não exige um método específico e estamos num contexto básico, usarei o método de Euler explícito (também chamado de Euler direto). É o método mais simples e o esperado em exercícios iniciais de PVI.
Derivação curta e fórmula:
  • A derivada y'(x_j) é aproximada pela diferença \dfrac{y_{j+1}-y_j}{h}.
  • Substituindo y'(x_j)\approx f(x_j,y_j) obtemos a fórmula de Euler:
y_{j+1}=y_j + h\,f(x_j,y_j).
Aqui:
  • y_j é a aproximação de y(x_j),
  • h é o tamanho do passo,
  • f(x,y)=x-y+2 é a função do problema,
  • x_j é o ponto 0{,}1j.
Interpretação prática: em cada passo avaliamos a inclinação f(x_j,y_j) no início do subintervalo e projetamos linearmente por h para obter y_{j+1}.

Passo 3

Preparação numérica: h=0{,}1. Começamos com x_0=0,\; y_0=2.
Vou calcular passo a passo f_j=f(x_j,y_j) e y_{j+1}=y_j+h f_j. Sempre que eu usar y(x_j) para computar erro, estou pegando o valor da tabela fornecida.

Passo 4

x_0=0,\; y_0=2.
Calcule f_0=f(0,2)=0-2+2=0.
Então
y_1=y_0+h f_0=2+0{,}1\cdot 0=2.
Valor exato (da tabela): y(x_1)=2{,}004837.
Erro:
e_1=y_1-y(x_1)=2-2{,}004837=-0{,}004837.

Passo 5

x_1=0{,}1,\; y_1=2.
Calcule f_1=f(0{,}1,2)=0{,}1-2+2=0{,}1.
Então
y_2=y_1+0{,}1\cdot 0{,}1=2+0{,}01=2{,}01.
Valor exato (da tabela): y(x_2)=2{,}018731.
Erro:
e_2=2{,}01-2{,}018731=-0{,}008731.

Passo 6

x_2=0{,}2,\; y_2=2{,}01.
Calcule f_2=f(0{,}2,2{,}01)=0{,}2-2{,}01+2=0{,}19.
Então
y_3=2{,}01+0{,}1\cdot 0{,}19=2{,}01+0{,}019=2{,}029.
Valor exato: y(x_3)=2{,}040818.
Erro:
e_3=2{,}029-2{,}040818=-0{,}011818.

Passo 7

x_3=0{,}3,\; y_3=2{,}029.
Calcule f_3=f(0{,}3,2{,}029)=0{,}3-2{,}029+2=0{,}271.
Então
y_4=2{,}029+0{,}1\cdot 0{,}271=2{,}029+0{,}0271=2{,}0561.
Valor exato: y(x_4)=2{,}07032.
Erro:
e_4=2{,}0561-2{,}07032=-0{,}01422.

Passo 8

x_4=0{,}4,\; y_4=2{,}0561.
Calcule f_4=f(0{,}4,2{,}0561)=0{,}4-2{,}0561+2=0{,}3439.
Então
y_5=2{,}0561+0{,}1\cdot 0{,}3439=2{,}0561+0{,}03439=2{,}09049.
Valor exato: y(x_5)=2{,}106531.
Erro:
e_5=2{,}09049-2{,}106531=-0{,}016041.

Passo 9

x_5=0{,}5,\; y_5=2{,}09049.
Calcule f_5=f(0{,}5,2{,}09049)=0{,}5-2{,}09049+2=0{,}40951.
Então
y_6=2{,}09049+0{,}1\cdot 0{,}40951=2{,}09049+0{,}040951=2{,}131441.
Valor exato: y(x_6)=2{,}148812.
Erro:
e_6=2{,}131441-2{,}148812=-0{,}017371.

Passo 10

x_6=0{,}6,\; y_6=2{,}131441.
Calcule f_6=f(0{,}6,2{,}131441)=0{,}6-2{,}131441+2=0{,}468559.
Então
y_7=2{,}131441+0{,}1\cdot 0{,}468559=2{,}131441+0{,}0468559=2{,}1782969.
Valor exato: y(x_7)=2{,}196585.
Erro:
e_7=2{,}1782969-2{,}196585=-0{,}0182881\\ (\text{aprox. }-0{,}018288).

Passo 11

x_7=0{,}7,\; y_7\approx 2{,}1782969.
Calcule f_7=0{,}7-2{,}1782969+2=0{,}5217031.
Então
y_8=2{,}1782969+0{,}1\cdot 0{,}5217031=2{,}1782969+0{,}05217031=2{,}23046721.
Valor exato: y(x_8)=2{,}249329.
Erro:
e_8\approx 2{,}23046721-2{,}249329=-0{,}01886179\\ (\text{aprox. }-0{,}018862).

Passo 12

x_8=0{,}8,\; y_8\approx 2{,}23046721.
Calcule f_8=0{,}8-2{,}23046721+2=0{,}56953279.
Então
y_9=2{,}23046721+0{,}1\cdot 0{,}56953279=2{,}23046721+0{,}056953279=2{,}287420489.
Valor exato: y(x_9)=2{,}30657.
Erro:
e_9\approx 2{,}287420489-2{,}30657=-0{,}019149511\\ (\text{aprox. }-0{,}019150).

Passo 13

x_9=0{,}9,\; y_9\approx 2{,}287420489.
Calcule f_9=0{,}9-2{,}287420489+2=0{,}612579511.
Então
y_{10}=2{,}287420489+0{,}1\cdot 0{,}612579511=2{,}287420489+0{,}0612579511=2{,}3486784401.
Valor exato: y(x_{10})=2{,}367879.
Erro:
e_{10}\approx 2{,}3486784401-2{,}367879=-0{,}0192005599\\ (\text{aprox. }-0{,}019201).
Observações rápidas (didática): o método de Euler é de ordem 1, ou seja, o erro global decresce aproximadamente como O(h). Com h=0{,}1 vemos erros da ordem de 10^{-2}, o que está de acordo com essa previsão. Os erros aqui são negativos: o método tende a subestimar a solução exata neste problema.

Resposta

j=0, x_0=0{,}0, y_0=2{,}000000, y(x_0)=2{,}000000, e_0=0{,}000000
j=1, x_1=0{,}1, y_1=2{,}000000, y(x_1)=2{,}004837, e_1=-0{,}004837
j=2, x_2=0{,}2, y_2=2{,}010000, y(x_2)=2{,}018731, e_2=-0{,}008731
j=3, x_3=0{,}3, y_3=2{,}029000, y(x_3)=2{,}040818, e_3=-0{,}011818
j=4, x_4=0{,}4, y_4=2{,}056100, y(x_4)=2{,}070320, e_4=-0{,}014220
j=5, x_5=0{,}5, y_5=2{,}090490, y(x_5)=2{,}106531, e_5=-0{,}016041
j=6, x_6=0{,}6, y_6=2{,}131441, y(x_6)=2{,}148812, e_6=-0{,}017371
j=7, x_7=0{,}7, y_7=2{,}178297, y(x_7)=2{,}196585, e_7=-0{,}018288
j=8, x_8=0{,}8, y_8=2{,}230467, y(x_8)=2{,}249329, e_8=-0{,}018862
j=9, x_9=0{,}9, y_9=2{,}287420, y(x_9)=2{,}306570, e_9=-0{,}019150
j=10, x_{10}=1{,}0, y_{10}=2{,}348678, y(x_{10})=2{,}367879, e_{10}=-0{,}019201

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