Achar aproximações para a solução do PVI
na malha de
com
.
Resolução:
.
Usar 0 para
.
-
:
-
:
- TABELA:
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline
&
&
&
&
\hline 0 & 0 & 2 & 2 &
\hline 1 & & & 2,004837 &
\hline 2 & & & 2,018731 &
\hline 3 & & & 2,040818 &
\hline 4 & & & 2,07032 &
\hline 5 & & & 2,106531 &
\hline 6 & & & 2,148812 &
\hline 7 & & & 2,196585 &
\hline 8 & & & 2,249329 &
\hline 9 & & & 2,30657 &
\hline 10 & & & 2,367879 &
\hline
Usar 0 para
\hline
\hline 0 & 0 & 2 & 2 &
\hline 1 & & & 2,004837 &
\hline 2 & & & 2,018731 &
\hline 3 & & & 2,040818 &
\hline 4 & & & 2,07032 &
\hline 5 & & & 2,106531 &
\hline 6 & & & 2,148812 &
\hline 7 & & & 2,196585 &
\hline 8 & & & 2,249329 &
\hline 9 & & & 2,30657 &
\hline 10 & & & 2,367879 &
\hline
Passo 1
O problema pede que a gente encontre aproximações numéricas para a solução do PVI
na malha do intervalo
com passo
.
Informações dadas:
- Condição inicial:
. - Passo:
. - Número de subintervalos:
, logo . - Os pontos da malha são
para . - A função do lado direito é
. - A tabela do enunciado fornece os valores exatos
para ; vou usar esses valores explicitamente quando calcular os erros (estou pegando esses da tabela que você forneceu).
O que se pede explicitamente: calcular aproximações
(para
) e, se desejado, os erros
.]
Passo 2
Escolha do método: como o enunciado não exige um método específico e estamos num contexto básico, usarei o método de Euler explícito (também chamado de Euler direto). É o método mais simples e o esperado em exercícios iniciais de PVI.
Derivação curta e fórmula:
- A derivada
é aproximada pela diferença . - Substituindo
obtemos a fórmula de Euler:
Aqui:
-
é a aproximação de , -
é o tamanho do passo, -
é a função do problema, -
é o ponto .
Interpretação prática: em cada passo avaliamos a inclinação
no início do subintervalo e projetamos linearmente por
para obter
.
Passo 3
Preparação numérica:
. Começamos com
.
Vou calcular passo a passo
e
. Sempre que eu usar
para computar erro, estou pegando o valor da tabela fornecida.
Passo 4
Calcule
Então
Valor exato (da tabela):
.
Erro:
Erro:
Passo 5
Calcule
Então
Valor exato (da tabela):
.
Erro:
Erro:
Passo 6
Calcule
Então
Valor exato:
.
Erro:
Erro:
Passo 7
Calcule
Então
Valor exato:
.
Erro:
Erro:
Passo 8
Calcule
Então
Valor exato:
.
Erro:
Erro:
Passo 9
Calcule
Então
Valor exato:
.
Erro:
Erro:
Passo 10
Calcule
Então
Valor exato:
.
Erro:
Erro:
Passo 11
Calcule
Então
Valor exato:
.
Erro:
Erro:
Passo 12
Calcule
Então
Valor exato:
.
Erro:
Erro:
Passo 13
Calcule
Então
Valor exato:
.
Erro:
Erro:
Observações rápidas (didática): o método de Euler é de ordem 1, ou seja, o erro global decresce aproximadamente como
. Com
vemos erros da ordem de
, o que está de acordo com essa previsão. Os erros aqui são negativos: o método tende a subestimar a solução exata neste problema.
Resposta
j=0,
,
,
,
j=1,
,
,
,
j=2,
,
,
,
j=3,
,
,
,
j=4,
,
,
,
j=5,
,
,
,
j=6,
,
,
,
j=7,
,
,
,
j=8,
,
,
,
j=9,
,
,
,
j=10,
,
,
,