Ache todos os valores de \lambda para os quais o seguinte determinante será igual a 0 .
\left|\begin{array}{cc} 2-\lambda & 4 \\ 3 & 3-\lambda \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede: “Achar todos os valores de \lambda para os quais o determinante abaixo é igual a zero”. A matriz dada e o determinante são:
\left|\begin{array}{cc} 2-\lambda & 4 \\\\ 3 & 3-\lambda \end{array}\right|
Informações relevantes fornecidas:
  • Os elementos da primeira linha são (2-\lambda) e 4.
  • Os elementos da segunda linha são 3 e (3-\lambda).
  • A tarefa é encontrar todos os valores de \lambda tais que o valor do determinante seja 0.

Passo 2

Vamos lembrar e aplicar a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2. Para uma matriz
\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}
o determinante é
\det = ad - bc.
Aqui identificamos a=2-\lambda, b=4, c=3 e d=3-\lambda. Então o determinante da matriz do enunciado é
\det(\lambda) = (2-\lambda)(3-\lambda) - 4\cdot 3.

Passo 3

Vamos desenvolver e simplificar a expressão obtida para o determinante, passo a passo. Primeiro multiplicamos os termos do produto:
(2-\lambda)(3-\lambda) = 2\cdot 3 - 2\lambda - 3\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 -5\lambda +6.
Agora subtraímos 4\cdot 3 = 12:
\det(\lambda) = \lambda^2 -5\lambda +6 - 12 = \lambda^2 -5\lambda -6.
Portanto a condição \det(\lambda)=0 se traduz na equação quadrática
\lambda^2 -5\lambda -6 = 0.

Passo 4

Para resolver a equação quadrática \lambda^2 -5\lambda -6 = 0 usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Numa equação geral a\lambda^2 + b\lambda + c = 0, as raízes são
\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
Aqui temos a=1, b=-5 e c=-6. Calculamos o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49.
A raiz quadrada do discriminante é \sqrt{\Delta} = \sqrt{49} = 7. Então as raízes são
\lambda = \frac{-(-5) \pm 7}{2\cdot 1} = \frac{5 \pm 7}{2}.

Passo 5

Agora calculamos as duas possibilidades:
\lambda_1 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6, \qquad \lambda_2 = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1.
Podemos verificar rapidamente substituindo no determinante:
  • Para \lambda=6:
(2-6)(3-6)-12 = (-4)(-3)-12 = 12-12 = 0.
  • Para \lambda=-1:
(2-(-1))(3-(-1))-12 = 3\cdot 4 - 12 = 12-12 = 0.
Ambos anulam o determinante, logo são as soluções corretas.

Resposta

\lambda=6
\lambda=-1

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