Admita que o número de navios que chegam a um porto durante um dia se comporta segundo uma distribuição de Poisson. A probabilidade de que nenhum navio chegue ao porto em um determinado dia é de 5 \%. Para o período de 1 dia:
a) qual o número médio de navios que chegam a esse porto?
b) qual a probabilidade de chegarem pelo menos 2 navios, sabendo-se que chegam navios ao porto? Adotar o número médio de navios que chegam ao porto obtido no item (a).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder.
  • Dado: o número de navios que chegam ao porto em 1 dia segue uma distribuição cuja probabilidade de nenhum navio chegar é 0,05 (ou seja, 5\%).
  • O enunciado pede:
    (a) o número médio de navios que chegam nesse período de 1 dia;
    (b) a probabilidade de chegarem pelo menos 2 navios, sabendo-se que chegam navios ao porto (ou seja, a probabilidade condicional de pelo menos 2 chegadas dado que houve pelo menos 1 chegada). Use o valor médio obtido no item (a).

Passo 2

Entender as fórmulas básicas que vamos usar (explicando cada símbolo).
  • Para uma variável aleatória X do tipo que o enunciado descreve, a probabilidade de observar exatamente k ocorrências é dada por
\mathbb{P}(X=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!},
onde:
  • \lambda é o parâmetro da distribuição (e também é o número médio de ocorrências por período),
  • k é um número inteiro não negativo ( k=0,1,2,\dots),
  • e é a base dos logaritmos naturais.
  • Em particular, a probabilidade de não ocorrer nenhuma chegada ( k=0) é
\mathbb{P}(X=0)=e^{-\lambda}.
  • Lembrete sobre probabilidade condicional: para dois eventos A e B com \mathbb{P}(B)>0,
\mathbb{P}(A\mid B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}.
No nosso caso, para A=\{X\ge2\} e B=\{X\ge1\} vale A\cap B=A porque se X\ge2 então certamente X\ge1.

Passo 3

Resolver o item (a): encontrar o número médio \lambda.
  • Do dado temos \mathbb{P}(X=0)=0,05. Pela fórmula para k=0,
\mathbb{P}(X=0)=e^{-\lambda}=0,05.
  • Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
-\lambda=\ln(0,05)\quad\Rightarrow\quad \lambda=-\ln(0,05).
  • Calcular \ln(0,05) de forma explícita (passo a passo):
\ln(0,05)=\ln\!\big(5\times10^{-2}\big)=\ln(5)-\ln(100)=\ln(5)-\ln(10^{2})=\ln(5)-2\ln(10).
Numericamete, \ln(5)\approx1,609437 e \ln(10)\approx2,302585, então
\ln(0,05)\approx1,609437-2\cdot2,302585=1,609437-4,605170=-2,995733.
  • Portanto
\lambda=-\ln(0,05)\approx2,995733.
Interpretando: o número médio de navios por dia é aproximadamente 2,9957 (ou cerca de 3,00 navios por dia).

Passo 4

Preparar a fórmula para o item (b): probabilidade condicional pedida.
  • Queremos \mathbb{P}(X\ge2\mid X\ge1).
  • Usando definição de probabilidade condicional,
\mathbb{P}(X\ge2\mid X\ge1)=\frac{\mathbb{P}(X\ge2)}{\mathbb{P}(X\ge1)}.
  • Escrever \mathbb{P}(X\ge2) e \mathbb{P}(X\ge1) em termos de complementos:
\mathbb{P}(X\ge2)=1-\mathbb{P}(X=0)-\mathbb{P}(X=1), \qquad \mathbb{P}(X\ge1)=1-\mathbb{P}(X=0).

Passo 5

Expressar \mathbb{P}(X=1) usando \lambda e aproveitar que \mathbb{P}(X=0)=0,05.
  • Pela fórmula de massas,
\mathbb{P}(X=1)=\frac{\lambda^{1}e^{-\lambda}}{1!}=\lambda e^{-\lambda}.
  • Mas e^{-\lambda}=\mathbb{P}(X=0)=0,05, então
\mathbb{P}(X=1)=\lambda\cdot0,05.

Passo 6

Calcular a probabilidade condicional substituindo os valores.
  • Substituindo em \mathbb{P}(X\ge2\mid X\ge1):
\mathbb{P}(X\ge2\mid X\ge1) =\frac{1-0,05-\lambda\cdot0,05}{1-0,05} =\frac{0,95-0,05\lambda}{0,95}.
  • Simplificar o fator 0,05/0,95: 0,05/0,95=1/19. Assim
\mathbb{P}(X\ge2\mid X\ge1)=1-\frac{\lambda}{19}.

Passo 7

Substituir o valor numérico de \lambda obtido no Passo 3 e dar o resultado final numérico.
  • Com \lambda\approx2,995733,
\frac{\lambda}{19}\approx\frac{2,995733}{19}\approx0,157671,
portanto
\mathbb{P}(X\ge2\mid X\ge1)\approx1-0,157671\approx0,842329.
  • Arredondando de forma razoável (quatro casas decimais): 0,8423.
  • Interpretação rápida: dado que chegou pelo menos um navio num dia, a chance de que tenham chegado pelo menos dois é cerca de 84{,}2\%. Já tá bom! Você segurou a parte mais difícil.

Resposta

(a) \lambda=-\ln(0,05)\approx2,9957
(b) \mathbb{P}(X\ge2\mid X\ge1)=1-\dfrac{\lambda}{19}\approx0,8423

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