Admita que o número de navios que chegam a um porto durante um dia se comporta segundo uma distribuição de Poisson. A probabilidade de que nenhum navio chegue ao porto em um determinado dia é de
. Para o período de 1 dia:
a) qual o número médio de navios que chegam a esse porto?
b) qual a probabilidade de chegarem pelo menos 2 navios, sabendo-se que chegam navios ao porto? Adotar o número médio de navios que chegam ao porto obtido no item (a).
a) qual o número médio de navios que chegam a esse porto?
b) qual a probabilidade de chegarem pelo menos 2 navios, sabendo-se que chegam navios ao porto? Adotar o número médio de navios que chegam ao porto obtido no item (a).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder.
- Dado: o número de navios que chegam ao porto em 1 dia segue uma distribuição cuja probabilidade de nenhum navio chegar é
(ou seja, ). - O enunciado pede:
(a) o número médio de navios que chegam nesse período de 1 dia;
(b) a probabilidade de chegarem pelo menos 2 navios, sabendo-se que chegam navios ao porto (ou seja, a probabilidade condicional de pelo menos 2 chegadas dado que houve pelo menos 1 chegada). Use o valor médio obtido no item (a).
Passo 2
Entender as fórmulas básicas que vamos usar (explicando cada símbolo).
- Para uma variável aleatória
do tipo que o enunciado descreve, a probabilidade de observar exatamente ocorrências é dada por
onde:
-
é o parâmetro da distribuição (e também é o número médio de ocorrências por período), -
é um número inteiro não negativo ( ), -
é a base dos logaritmos naturais. - Em particular, a probabilidade de não ocorrer nenhuma chegada (
) é
- Lembrete sobre probabilidade condicional: para dois eventos
e com ,
No nosso caso, para
e
vale
porque se
então certamente
.
Passo 3
Resolver o item (a): encontrar o número médio
.
- Do dado temos
. Pela fórmula para ,
- Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
- Calcular
de forma explícita (passo a passo):
Numericamete,
e
, então
- Portanto
Interpretando: o número médio de navios por dia é aproximadamente
(ou cerca de
navios por dia).
Passo 4
Preparar a fórmula para o item (b): probabilidade condicional pedida.
- Queremos
. - Usando definição de probabilidade condicional,
- Escrever
e em termos de complementos:
Passo 5
Expressar
usando
e aproveitar que
.
- Pela fórmula de massas,
- Mas
, então
Passo 6
Calcular a probabilidade condicional substituindo os valores.
- Substituindo em
:
- Simplificar o fator
: . Assim
Passo 7
Substituir o valor numérico de
obtido no Passo 3 e dar o resultado final numérico.
- Com
,
portanto
- Arredondando de forma razoável (quatro casas decimais):
. - Interpretação rápida: dado que chegou pelo menos um navio num dia, a chance de que tenham chegado pelo menos dois é cerca de
. Já tá bom! Você segurou a parte mais difícil.
Resposta
(a)
(b)