Uma agrônoma deseja avaliar o efeito de três fertilizantes (F1, F2 e F3) sobre a produção de tomates (em kg por planta). Os dados obtidos foram:
\begin{aligned} & \text { F1: } 3.4,3.8,3.6,3.7,3.9,4.0 \\\ & \text { F2: } 4.2,4.5,4.3,4.4,4.6,4.7 \\\ & \text { F3: } 3.1,3.0,3.2,3.3,3.4,3.2 \end{aligned}
Com base nesses dados, realize uma ANOVA de uma via e responda:
(a) Estabeleça as hipóteses do teste.
(b) Monte a tabela ANOVA completa (SQTrat, SQRes, QM, F).
(c) Verifique, ao nível de 5 \%, se os fertilizantes produzem diferenças significativas na produção de tomates.

Passo 1

O enunciado dá os dados de produção (kg/planta) para três fertilizantes e pede três coisas: (a) as hipóteses do teste; (b) montar a tabela ANOVA completa com \text{SQTrat}, \text{SQRes}, \text{QM} e F; (c) decidir, ao nível de 5\%, se há diferença significativa entre os fertilizantes.
Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
\begin{aligned} &\text{F1: } 3{,}4,\;3{,}8,\;3{,}6,\;3{,}7,\;3{,}9,\;4{,}0 \\\ &\text{F2: } 4{,}2,\;4{,}5,\;4{,}3,\;4{,}4,\;4{,}6,\;4{,}7 \\\ &\text{F3: } 3{,}1,\;3{,}0,\;3{,}2,\;3{,}3,\;3{,}4,\;3{,}2 \end{aligned}
Tamanho das amostras: n_1=n_2=n_3=6. Total de observações N=18.
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Primeiro calculemos as somas e médias de cada tratamento (método: média aritmética). Para cada grupo a média é a soma dos valores dividida por 6.
Cálculo da soma e média de F1:
\sum \text{F1}=3{,}4+3{,}8+3{,}6+3{,}7+3{,}9+4{,}0=22{,}4
\bar{x}_1=\frac{\sum \text{F1}}{6}=\frac{22{,}4}{6}=3{,}733333\ldots
Cálculo da soma e média de F2:
\sum \text{F2}=4{,}2+4{,}5+4{,}3+4{,}4+4{,}6+4{,}7=26{,}7
\bar{x}_2=\frac{26{,}7}{6}=4{,}45
Cálculo da soma e média de F3:
\sum \text{F3}=3{,}1+3{,}0+3{,}2+3{,}3+3{,}4+3{,}2=19{,}2
\bar{x}_3=\frac{19{,}2}{6}=3{,}2
Soma total e média geral:
\sum_{\text{total}}=22{,}4+26{,}7+19{,}2=68{,}3
\bar{x}_{\cdot}=\frac{68{,}3}{18}=3{,}794444\ldots

Passo 3

Agora vamos explicar como calcular a soma dos quadrados de tratamento ( \text{SQTrat}). Conceito: \text{SQTrat} mede a variação entre as médias dos tratamentos e a média geral. Fórmula prática (quando amostras têm mesmo tamanho n):
\text{SQTrat}=\sum_{i=1}^{k} n_i(\bar{x}_i-\bar{x}_{\cdot})^{2}.
Aqui k é o número de tratamentos, n_i o tamanho do i-ésimo tratamento, \bar{x}_i sua média e \bar{x}_{\cdot} a média geral.
Aplicando com n_i=6:
\begin{aligned} \bar{x}_1-\bar{x}_{\cdot}&=3{,}733333-3{,}794444=-0{,}061111\\\ \bar{x}_2-\bar{x}_{\cdot}&=4{,}45-3{,}794444=0{,}655556\\\ \bar{x}_3-\bar{x}_{\cdot}&=3{,}2-3{,}794444=-0{,}594444 \end{aligned}
\text{SQTrat}=6\big((-0{,}061111)^{2}+(0{,}655556)^{2}+(-0{,}594444)^{2}\big)
Calculando os quadrados e somando:
\text{SQTrat}=4{,}721111\\ (\text{aprox.})
Obs.: alternativa equivalente usada em computação é
\text{SQTrat}=\sum_{i} n_i\bar{x}_i^{2}-\frac{(\sum_{\text{total}})^{2}}{N},
que dá o mesmo resultado (usei ambos para checar).

Passo 4

Agora vamos calcular a soma total dos quadrados ( \text{SQTotal}). Conceito: \text{SQTotal} mede a variação total das observações em relação à média geral. Fórmula:
\text{SQTotal}=\sum_{i,j} x_{ij}^{2}-\frac{(\sum_{\text{total}})^{2}}{N}.
Primeiro calculei \sum x_{ij}^{2} somando os quadrados de todas as observações (peguei os números das listas do enunciado):
\sum x_{ij}^{2}=83{,}86+118{,}99+61{,}54=264{,}39
Portanto
\text{SQTotal}=264{,}39-\frac{68{,}3^{2}}{18}=5{,}229444\\ (\text{aprox.})

Passo 5

A soma dos quadrados residuais (erro) \text{SQRes} (também chamada de \text{SQDentro} ou \text{SQErro}) é a diferença entre \text{SQTotal} e \text{SQTrat}:
\text{SQRes}=\text{SQTotal}-\text{SQTrat}=5{,}229444-4{,}721111=0{,}508333\\ (\text{aprox.})
Interpretação: \text{SQRes} mede a variabilidade que permanece dentro de cada grupo, isto é, não explicada pelo efeito do fertilizante.

Passo 6

Agora calculamos os graus de liberdade e as médias quadráticas (QM, que é o mesmo que MS em inglês).
Graus de liberdade:
\text{df}_{\text{trat}}=k-1=3-1=2
\text{df}_{\text{res}}=N-k=18-3=15
\text{df}_{\text{total}}=N-1=17
Médias quadráticas (QM):
\text{QM}_{\text{trat}}=\frac{\text{SQTrat}}{\text{df}_{\text{trat}}}=\frac{4{,}721111}{2}=2{,}360556
\text{QM}_{\text{res}}=\frac{\text{SQRes}}{\text{df}_{\text{res}}}=\frac{0{,}508333}{15}=0{,}033889
Explicação: \text{QM}_{\text{trat}} é a variância explicada por tratamentos por grau de liberdade; \text{QM}_{\text{res}} é a estimativa da variância residual (variância dentro de grupos).

Passo 7

Cálculo da estatística F. Conceito: o teste compara a variância entre grupos com a variância dentro dos grupos:
F=\frac{\text{QM}_{\text{trat}}}{\text{QM}_{\text{res}}}=\frac{2{,}360556}{0{,}033889}=69{,}666667\\ (\text{aprox.})
Quanto maior F, mais evidência contra a hipótese nula de igualdade das médias.

Passo 8

Estabelecendo as hipóteses (resposta do item (a)):
Hipótese nula:
H_0:\\ \mu_1=\mu_2=\mu_3
Hipótese alternativa:
H_1:\\ \text{pelo menos duas médias são diferentes}éã
Explicação curta: H_0 diz que os três fertilizantes têm a mesma média de produção; H_1 diz que existe diferença entre pelo menos dois deles.

Passo 9

Critério de decisão ao nível \alpha=0{,}05. Precisamos do valor crítico F_{\alpha; \,\text{df}_{1},\text{df}_{2}} com \text{df}_1=2 e \text{df}_2=15. Tabela F dá aproximadamente:
F_{0{,}05;2,15}\approx 3{,}682
Comparação:
F_{\text{calc}}=69{,}6667 \gg 3{,}682
Logo rejeitamos H_0 ao nível de 5\%. Conclusão: há evidência significativa de que os fertilizantes produzem diferenças na produção de tomates.

Passo 10

Interpretação prática (para a agrônoma): a diferença é estatisticamente significativa. Observando as médias que calculamos:
\bar{x}_1\approx 3{,}7333,\quad \bar{x}_2=4{,}45,\quad \bar{x}_3=3{,}2,
vemos que F2 tem média visivelmente maior que F1 e F3. A ANOVA indica diferença global; se quiser saber quais pares diferem especificamente, o próximo passo seria um teste post-hoc (por exemplo, Tukey), mas o enunciado apenas pediu a ANOVA e a conclusão global.

Resposta

(a) H_0:\\ \mu_1=\mu_2=\mu_3,\qquad H_1:\\ \text{pelo menos duas médias são diferentes.}éã
(b) Tabela ANOVA (valores aproximados):
\begin{array}{lcccc} \text{Fonte} & \text{SQ} & \text{df} & \text{QM} & F\\[2pt]\hline \text{Tratamento} & \;4{,}721111\; & 2 & \;2{,}360556\; & \;69{,}666667\;\\[2pt] \text{Resíduo} & \;0{,}508333\; & 15 & \;0{,}033889\; & \;-\;\\[2pt] \text{Total} & \;5{,}229444\; & 17 & \;-\; & \;-\; \end{array}í
(c) Ao nível de 5\%: F_{\text{calc}}=69{,}6667>F_{0{,}05;2,15}\approx 3{,}682. Portanto rejeitamos H_0 e concluímos que existem diferenças significativas entre os fertilizantes.]

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