Uma agrônoma deseja avaliar o efeito de três fertilizantes (F1, F2 e F3) sobre a produção de tomates (em kg por planta). Os dados obtidos foram:
Com base nesses dados, realize uma ANOVA de uma via e responda:
(a) Estabeleça as hipóteses do teste.
(b) Monte a tabela ANOVA completa (SQTrat, SQRes, QM, F).
(c) Verifique, ao nível de
, se os fertilizantes produzem diferenças significativas na produção de tomates.
(a) Estabeleça as hipóteses do teste.
(b) Monte a tabela ANOVA completa (SQTrat, SQRes, QM, F).
(c) Verifique, ao nível de
Passo 1
O enunciado dá os dados de produção (kg/planta) para três fertilizantes e pede três coisas: (a) as hipóteses do teste; (b) montar a tabela ANOVA completa com
,
,
e
; (c) decidir, ao nível de
, se há diferença significativa entre os fertilizantes.
Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
Tamanho das amostras:
. Total de observações
.
A resolução começa no Passo 2.
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Primeiro calculemos as somas e médias de cada tratamento (método: média aritmética). Para cada grupo a média é a soma dos valores dividida por
.
Cálculo da soma e média de F1:
Cálculo da soma e média de F2:
Cálculo da soma e média de F3:
Soma total e média geral:
Passo 3
Agora vamos explicar como calcular a soma dos quadrados de tratamento (
). Conceito:
mede a variação entre as médias dos tratamentos e a média geral. Fórmula prática (quando amostras têm mesmo tamanho
):
Aqui
é o número de tratamentos,
o tamanho do i-ésimo tratamento,
sua média e
a média geral.
Aplicando com
:
Calculando os quadrados e somando:
Obs.: alternativa equivalente usada em computação é
que dá o mesmo resultado (usei ambos para checar).
Passo 4
Agora vamos calcular a soma total dos quadrados (
). Conceito:
mede a variação total das observações em relação à média geral. Fórmula:
Primeiro calculei
somando os quadrados de todas as observações (peguei os números das listas do enunciado):
Portanto
Passo 5
A soma dos quadrados residuais (erro)
(também chamada de
ou
) é a diferença entre
e
:
Interpretação:
mede a variabilidade que permanece dentro de cada grupo, isto é, não explicada pelo efeito do fertilizante.
Passo 6
Agora calculamos os graus de liberdade e as médias quadráticas (QM, que é o mesmo que MS em inglês).
Graus de liberdade:
Médias quadráticas (QM):
Explicação:
é a variância explicada por tratamentos por grau de liberdade;
é a estimativa da variância residual (variância dentro de grupos).
Passo 7
Cálculo da estatística
. Conceito: o teste compara a variância entre grupos com a variância dentro dos grupos:
Quanto maior
, mais evidência contra a hipótese nula de igualdade das médias.
Passo 8
Estabelecendo as hipóteses (resposta do item (a)):
Hipótese nula:
Hipótese alternativa:
Explicação curta:
diz que os três fertilizantes têm a mesma média de produção;
diz que existe diferença entre pelo menos dois deles.
Passo 9
Critério de decisão ao nível
. Precisamos do valor crítico
com
e
. Tabela F dá aproximadamente:
Comparação:
Logo rejeitamos
ao nível de
. Conclusão: há evidência significativa de que os fertilizantes produzem diferenças na produção de tomates.
Passo 10
Interpretação prática (para a agrônoma): a diferença é estatisticamente significativa. Observando as médias que calculamos:
vemos que
tem média visivelmente maior que
e
. A ANOVA indica diferença global; se quiser saber quais pares diferem especificamente, o próximo passo seria um teste post-hoc (por exemplo, Tukey), mas o enunciado apenas pediu a ANOVA e a conclusão global.
Resposta
(a)
(b) Tabela ANOVA (valores aproximados):
(c) Ao nível de
:
. Portanto rejeitamos
e concluímos que existem diferenças significativas entre os fertilizantes.]