Água entra a 116 kPa e 35^{\circ} \mathrm{C}, com vazão de 1609 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} num tubo com diâmetro de 34 cm . A saída do tubo está 14 m abaixo de sua entrada e está conectada a um tubo com diâmetro de 29 cm que alimenta uma turbina.
(a) (40%) Qual a pressão (em kPa) na entrada da turbina?
(b) (60%) Qual a potência da turbina (em kW), se na saída da turbina, a pressão da água for 100 kPa ? □ 1 Assuma que a variação da energia potencial através da turbina é desprezível, que a energia cinética na entrada da turbina não é desprezível e que a energia cinética na saída da turbina é desprezível.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados (pegue tudo daqui para usar nas contas):
  • Pressão na entrada do primeiro tubo: P_{1}=116\\ \text{kPa}.
  • Temperatura da água na entrada: 35^\circ\text{C} (para obtermos a densidade).
  • Vazão mássica: \dot{m}=1609\\ \text{kg/s}.
  • Diâmetro do primeiro tubo (trecho superior): d_{1}=0{,}34\\ \text{m}.
  • O final desse tubo está 14\\ \text{m} abaixo da sua entrada (diferença de altitude \Delta z=14\\ \text{m}).
  • Depois do trecho descendente o fluido passa para um tubo que alimenta a turbina, com diâmetro d_{2}=0{,}29\\ \text{m}.
  • Situação na turbina: desprezar variação de energia potencial na turbina; energia cinética na entrada da turbina não é desprezível; energia cinética na saída da turbina é desprezível.
  • Pressão na saída da turbina (dado do item (b)): P_{\text{out}}=100\\ \text{kPa}.
Perguntas:
(a) Qual a pressão na entrada da turbina P_{2} (em kPa)?
(b) Qual a potência da turbina \dot{W} (em kW), usando P_{2} do item (a) e sabendo que P_{\text{out}}=100\\ \text{kPa}, com as hipóteses dadas?
Observação sobre densidade: para água líquida à 35^\circ\text{C} a densidade vale aproximadamente \rho=994\\ \text{kg/m}^3. Vou usar \rho=994\\ \text{kg/m}^3 nas contas (valor tabelado).

Passo 2

Calcular as áreas das seções e as velocidades nos dois trechos usando continuidade. A área de uma tubulação circular é
A=\frac{\pi d^{2}}{4},
onde d é o diâmetro.
Cálculos:
A_{1}=\frac{\pi d_{1}^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}34)^{2}}{4}
A_{2}=\frac{\pi d_{2}^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}29)^{2}}{4}
Agora os valores numéricos (vou apresentar aproximações com 4 algarismos significativos):
A_{1}\approx 0{,}0908\\ \text{m}^{2}, \qquad A_{2}\approx 0{,}0660\\ \text{m}^{2}.
A equação da continuidade para vazão mássica é
\dot{m}=\rho A V \quad\Rightarrow\quad V=\frac{\dot{m}}{\rho A},
onde V é a velocidade média em cada seção.
Calculando as velocidades:
V_{1}=\frac{\dot{m}}{\rho A_{1}}=\frac{1609}{994\cdot 0{,}0908}\approx 17{,}82\\ \text{m/s},
V_{2}=\frac{\dot{m}}{\rho A_{2}}=\frac{1609}{994\cdot 0{,}0660}\approx 24{,}51\\ \text{m/s}.
Interpretação curta: ao reduzir a seção de 0{,}34 para 0{,}29\\ \text{m} a velocidade aumenta de cerca de 17{,}8 para 24{,}5\\ \text{m/s}.

Passo 3

Determinar P_{2} usando a equação de Bernoulli entre o ponto de entrada do tubo (ponto 1, onde foi dado P_{1}) e o ponto imediatamente antes da turbina (ponto 2). Assume-se fluxo incompressível e sem perdas (nenhuma bomba nem atrito considerável fornecido no enunciado).
A forma apropriada de Bernoulli por unidade de volume (ou por unidade de massa, dependendo da rearrumação) é
P_{1}+\tfrac{1}{2}\rho V_{1}^{2}+\rho g z_{1}=P_{2}+\tfrac{1}{2}\rho V_{2}^{2}+\rho g z_{2}.
Rearranjando para P_{2}:
P_{2}=P_{1}+\tfrac{1}{2}\rho\bigl(V_{1}^{2}-V_{2}^{2}\bigr)+\rho g\bigl(z_{1}-z_{2}\bigr).
Aqui z_{1}-z_{2}=\Delta z=14\\ \text{m} (ponto 2 está 14 m abaixo do ponto 1), g=9{,}81\\ \text{m/s}^{2}, \rho=994\\ \text{kg/m}^{3}, e já calculamos V_{1} e V_{2}.

Passo 4

Fazer as contas numéricas para P_{2}.
Calculemos os termos:
\tfrac{1}{2}\rho\bigl(V_{1}^{2}-V_{2}^{2}\bigr) = \tfrac{1}{2}\cdot 994\cdot\bigl(17{,}82^{2}-24{,}51^{2}\bigr) \approx -140\,744\\ \text{Pa}.
\rho g\bigl(z_{1}-z_{2}\bigr)=994\cdot 9{,}81\cdot 14\approx 136\,516\\ \text{Pa}.
Somando com P_{1}=116\\ \text{kPa}=116\,000\\ \text{Pa}:
P_{2}=116\,000 -140\,744 +136\,516 \approx 111\,772\\ \text{Pa}.
Convertendo para kPa e arredondando adequadamente:
P_{2}\approx 111{,}8\\ \text{kPa}.

Passo 5

Agora calcular a potência da turbina \dot{W} (potência útil extraída) usando a variação de energia por unidade de massa entre entrada e saída da turbina, multiplicada pela vazão mássica. A equação de energia por unidade de massa, desprezando variação potencial na turbina e perdas, é
\left(\frac{P}{\rho}+\tfrac{1}{2}V^{2}\right)_{\text{entrada}} - \left(\frac{P}{\rho}+\tfrac{1}{2}V^{2}\right)_{\text{saída}} =\frac{\dot{W}}{\dot{m}}.í
Pelo enunciado: velocidade de saída é desprezível ( V_{\text{out}}\approx 0), e a variação de potencial é desprezível, logo
\frac{\dot{W}}{\dot{m}}=\frac{P_{2}-P_{\text{out}}}{\rho}+\tfrac{1}{2}V_{2}^{2}.
Portanto a potência é
\dot{W}=\dot{m}\left(\frac{P_{2}-P_{\text{out}}}{\rho}+\tfrac{1}{2}V_{2}^{2}\right).

Passo 6

Calcular numericamente \dot{W} com P_{2} obtido no item (a), P_{\text{out}}=100\\ \text{kPa}, \rho=994\\ \text{kg/m}^{3}, V_{2}=24{,}51\\ \text{m/s} e \dot{m}=1609\\ \text{kg/s}.
Primeiro o termo de pressão por unidade de massa:
\frac{P_{2}-P_{\text{out}}}{\rho}=\frac{111\,772-100\,000}{994}\approx 11{,}845\\ \text{m}^{2}/\text{s}^{2}.
Termo cinético:
\tfrac{1}{2}V_{2}^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 24{,}51^{2}\approx 300{,}370\\ \text{m}^{2}/\text{s}^{2}.
Soma dos termos específicos:
\frac{P_{2}-P_{\text{out}}}{\rho}+\tfrac{1}{2}V_{2}^{2}\approx 11{,}845+300{,}370=312{,}215\\ \text{m}^{2}/\text{s}^{2}.
Multiplicando pela vazão mássica:
\dot{W}=\dot{m}\cdot 312{,}215 \approx 1609\cdot 312{,}215 \approx 502\,354\\ \text{W}.
Convertendo para kW e arredondando:
\dot{W}\approx 502{,}4\\ \text{kW}.

Resposta

(a) P_{2}\approx 111{,}8\\ \text{kPa}
(b) \dot{W}\approx 502{,}4\\ \text{kW}

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