A Agulha de Buffon. Uma superfície plana é marcada com linhas paralelas separadas por uma distância d. Uma agulha de comprimento L (com L<d ) é lançada aleatoriamente sobre a superfície. Qual a probabilidade de a agulha cruzar uma das linhas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Informações dadas:
    • Há linhas paralelas numa superfície, igualmente espaçadas por uma distância \,d\,.
    • Uma agulha de comprimento \,L é lançada aleatoriamente sobre a superfície, sendo dado que \,L<d.
    • O lançamento é “aleatório” — isto é, a posição (onde a agulha cai) e a orientação (ângulo) são uniformes dentro de um período/intervalo representativo.
  • Pergunta:
    • Qual é a probabilidade de a agulha cruzar (interceptar) uma das linhas?

Passo 2

Vamos modelar aleatoriamente a posição e a orientação da agulha com variáveis simples e intuitivas (aqui explico cada escolha como se eu fosse resolver na prova).
  • Definir a variável \,y\,: distância do centro da agulha até a linha mais próxima. Como as linhas são periodicamente espaçadas por \,d\,, se eu olhar apenas uma faixa entre duas linhas adjacentes, a coordenada do centro é uniforme em [0,d]. Pela simetria, a distância até a linha mais próxima vai variar de 0 até \dfrac{d}{2} (se o centro estiver exatamente no meio da faixa a distância máxima até a linha mais próxima é \dfrac{d}{2}). Portanto:
    • \,y\in\left[0,\dfrac{d}{2}\right]\,.
  • Definir a variável \,\theta\,: ângulo entre a agulha e as linhas paralelas. Pela rotação uniforme do lançamento, o ângulo é uniformemente distribuído. Devido à simetria (ângulos \theta e \pi-\theta são equivalentes para o problema), podemos trabalhar com
    • \,\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\,.
  • Importante: assumimos independência entre a posição (variável relacionada a y) e a orientação \theta — isto é plausível para um lançamento aleatório.
Agora vou encontrar explicitamente as funções densidade de probabilidade (pdf) de \,y\, e \,\theta.

Passo 3

Determinar as densidades de probabilidade.
  • Para \,y: como o centro é uniforme em [0,d], a variável y=\min(u,d-u) (com u uniforme em [0,d]) tem densidade constante em [0,d/2]. O comprimento total do intervalo original é d, e cada valor de y é atingido por duas posições simétricas (uma à esquerda e outra à direita), então a pdf é f_Y(y)=\frac{2}{d}\quad\text{para}\quad 0\le y\le \frac{d}{2}.Explicando rápido: a probabilidade de y estar numa subfaixa [a,b]\subset[0,d/2] é \dfrac{\text{comprimento total das posições \(u que geram esse y}}{d}=\dfrac{2(b-a)}{d}).
  • Para \,\theta: sendo uniforme em \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right], a pdf é f_\Theta(\theta)=\frac{2}{\pi}\quad\text{para}\quad 0\le \theta\le \frac{\pi}{2}.
  • Como assumimos independência, f_{Y,\Theta}(y,\theta)=f_Y(y)\,f_\Theta(\theta)=\frac{2}{d}\cdot\frac{2}{\pi}=\frac{4}{d\pi},válida para 0\le y\le \dfrac{d}{2} e 0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Determinar a condição geométrica para que a agulha cruze uma linha.
  • Desenhe mentalmente a agulha centrada a uma distância y da linha mais próxima e fazendo um ângulo \theta com as linhas. A projeção perpendicular (na direção que atravessa as linhas) da metade da agulha tem comprimento \dfrac{L}{2}\sin\theta.
  • A agulha cruza a linha se e somente se essa projeção for maior ou igual à distância do centro até a linha mais próxima, ou seja, se y \le \frac{L}{2}\sin\theta.Intuição: um dos extremos da agulha atinge a linha quando a metade perpendicular alcança a distância y.
Observação útil para a prova: como \,L<d\,, tem-se \dfrac{L}{2}<\dfrac{d}{2}, então para qualquer \theta o valor máximo possível de \dfrac{L}{2}\sin\theta é \dfrac{L}{2}, que é menor que \dfrac{d}{2}. Isso simplifica limites de integração (não há casos em que a condição ultrapassa o domínio de y).

Passo 5

Calcular a probabilidade condicional de cruzar dada a orientação \theta.
  • Para um ângulo fixo \theta, a condição para cruzar é 0\le y\le \dfrac{L}{2}\sin\theta.
  • A probabilidade, condicionada a esse \theta, é a integral da densidade de y nesse intervalo: P(\text{cruzar}\mid \theta)=\int_{0}^{\frac{L}{2}\sin\theta} f_Y(y)\,dy =\int_{0}^{\frac{L}{2}\sin\theta}\frac{2}{d}\,dy.
  • Calculando a integral (passo a passo como na prova): P(\text{cruzar}\mid \theta)=\frac{2}{d}\cdot\left[\;y\;\right]_{0}^{\frac{L}{2}\sin\theta} =\frac{2}{d}\cdot\frac{L}{2}\sin\theta =\frac{L}{d}\sin\theta.

Passo 6

Agora calcule a probabilidade total usando a lei da probabilidade total (integrando sobre \theta).
  • A probabilidade pedida é a esperança da probabilidade condicional sobre a distribuição de \theta: P(\text{cruzar})=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} P(\text{cruzar}\mid \theta)\,f_\Theta(\theta)\,d\theta =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{L}{d}\sin\theta\right)\cdot\frac{2}{\pi}\,d\theta.
  • Colocando constantes fora da integral: P(\text{cruzar})=\frac{2L}{\pi d}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\,d\theta.

Passo 7

Avaliar a integral final (fazendo as operações explicitamente como na prova).
  • Sabemos que \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\,d\theta = \left[-\cos\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \big(-\cos 0\big) = 0 + 1 = 1.
  • Portanto, P(\text{cruzar})=\frac{2L}{\pi d}\cdot 1.

Passo 8

Interpretação rápida e checagem simples.
  • A fórmula final é proporcional a \dfrac{L}{d}, o que faz sentido: quanto maior a agulha em relação ao espaço entre linhas, maior a probabilidade de cruzar.
  • O fator \dfrac{2}{\pi} vem da média do seno sobre ângulos uniformes no quadrante e aparece por conta da integração em \theta.
  • Verificação de limite: se L\to 0 então P\to 0, se L aumenta (mas ainda <d) a probabilidade aumenta proporcionalmente.

Resposta

\displaystyle \frac{2L}{\pi d}

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