A Agulha de Buffon. Uma superfície plana é marcada com linhas paralelas separadas por uma distância
. Uma agulha de comprimento
(com
) é lançada aleatoriamente sobre a superfície. Qual a probabilidade de a agulha cruzar uma das linhas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Informações dadas:
- Há linhas paralelas numa superfície, igualmente espaçadas por uma distância
. - Uma agulha de comprimento
é lançada aleatoriamente sobre a superfície, sendo dado que . - O lançamento é “aleatório” — isto é, a posição (onde a agulha cai) e a orientação (ângulo) são uniformes dentro de um período/intervalo representativo.
- Há linhas paralelas numa superfície, igualmente espaçadas por uma distância
- Pergunta:
- Qual é a probabilidade de a agulha cruzar (interceptar) uma das linhas?
Passo 2
Vamos modelar aleatoriamente a posição e a orientação da agulha com variáveis simples e intuitivas (aqui explico cada escolha como se eu fosse resolver na prova).
- Definir a variável
: distância do centro da agulha até a linha mais próxima. Como as linhas são periodicamente espaçadas por , se eu olhar apenas uma faixa entre duas linhas adjacentes, a coordenada do centro é uniforme em . Pela simetria, a distância até a linha mais próxima vai variar de até (se o centro estiver exatamente no meio da faixa a distância máxima até a linha mais próxima é ). Portanto: -
.
-
- Definir a variável
: ângulo entre a agulha e as linhas paralelas. Pela rotação uniforme do lançamento, o ângulo é uniformemente distribuído. Devido à simetria (ângulos e são equivalentes para o problema), podemos trabalhar com -
.
-
- Importante: assumimos independência entre a posição (variável relacionada a
) e a orientação — isto é plausível para um lançamento aleatório.
Agora vou encontrar explicitamente as funções densidade de probabilidade (pdf) de
e
.
Passo 3
Determinar as densidades de probabilidade.
- Para
: como o centro é uniforme em , a variável (com uniforme em ) tem densidade constante em . O comprimento total do intervalo original é , e cada valor de é atingido por duas posições simétricas (uma à esquerda e outra à direita), então a pdf é Explicando rápido: a probabilidade de estar numa subfaixa é que geram esse }}{d}=\dfrac{2(b-a)}{d}). - Para
: sendo uniforme em , a pdf é - Como assumimos independência,
válida para e .
Passo 4
Determinar a condição geométrica para que a agulha cruze uma linha.
- Desenhe mentalmente a agulha centrada a uma distância
da linha mais próxima e fazendo um ângulo com as linhas. A projeção perpendicular (na direção que atravessa as linhas) da metade da agulha tem comprimento . - A agulha cruza a linha se e somente se essa projeção for maior ou igual à distância do centro até a linha mais próxima, ou seja, se
Intuição: um dos extremos da agulha atinge a linha quando a metade perpendicular alcança a distância .
Observação útil para a prova: como
, tem-se
, então para qualquer
o valor máximo possível de
é
, que é menor que
. Isso simplifica limites de integração (não há casos em que a condição ultrapassa o domínio de
).
Passo 5
Calcular a probabilidade condicional de cruzar dada a orientação
.
- Para um ângulo fixo
, a condição para cruzar é . - A probabilidade, condicionada a esse
, é a integral da densidade de nesse intervalo: - Calculando a integral (passo a passo como na prova):
Passo 6
Agora calcule a probabilidade total usando a lei da probabilidade total (integrando sobre
).
- A probabilidade pedida é a esperança da probabilidade condicional sobre a distribuição de
: - Colocando constantes fora da integral:
Passo 7
Avaliar a integral final (fazendo as operações explicitamente como na prova).
- Sabemos que
- Portanto,
Passo 8
Interpretação rápida e checagem simples.
- A fórmula final é proporcional a
, o que faz sentido: quanto maior a agulha em relação ao espaço entre linhas, maior a probabilidade de cruzar. - O fator
vem da média do seno sobre ângulos uniformes no quadrante e aparece por conta da integração em . - Verificação de limite: se
então , se aumenta (mas ainda ) a probabilidade aumenta proporcionalmente.