(Álgebra e Geometria Complexa) Represente os seguintes números na forma polar r e^{i \theta} e desenhe-os no plano de Argand:
z=-1-i \sqrt{3}

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=-1-i\sqrt{3} e pede duas coisas:
  • Representar z na forma polar r e^{i\theta}.
  • Desenhar z no plano de Argand (isto é, localizar o ponto correspondente a z no plano complexo).
Informações relevantes fornecidas:
  • Parte real: \operatorname{Re}(z)=-1.
  • Parte imaginária: \operatorname{Im}(z)=-\sqrt{3}.
  • Coordenadas no plano de Argand: ponto (x,y)=(-1,-\sqrt{3}).

Passo 2

Primeiro um resumo rápido do que é a forma polar e as fórmulas que vamos usar (aula rapidinha e prática).
  • A forma polar de um complexo z escreve-se \,z = r e^{i\theta}\,, onde:
    • r é o módulo (distância do ponto z até a origem), dado por
    r=\sqrt{(\operatorname{Re}(z))^{2}+(\operatorname{Im}(z))^{2}}.
    • \theta é o argumento (ângulo medido a partir do eixo dos reais positivos, no sentido anti-horário) e satisfaz
    \cos\theta=\frac{\operatorname{Re}(z)}{r},\qquad \sin\theta=\frac{\operatorname{Im}(z)}{r}.
  • A relação de Euler liga as formas exponencial e trigonométrica: e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
Importante: ao usar \arctan para achar \theta, deve-se considerar em qual quadrante o ponto está, porque \arctan dá só o ângulo de referência.

Passo 3

Calcular o módulo r.
r=\sqrt{(-1)^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Interpretação: o ponto (-1,-\sqrt{3}) está a distância 2 da origem.

Passo 4

Calcular o argumento \theta.
  • O ângulo de referência (valor positivo dentro de (0,\tfrac{\pi}{2}]) é
\alpha=\arctan\!\left(\frac{|\operatorname{Im}(z)|}{|\operatorname{Re}(z)|}\right)=\arctan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right)=\arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}.
  • Agora a correção de quadrante: como \operatorname{Re}(z)=-1<0 e \operatorname{Im}(z)=-\sqrt{3}<0, o ponto está no terceiro quadrante. Para um ângulo medido a partir do eixo positivo no sentido anti-horário, devemos somar \pi ao ângulo de referência:
\theta=\pi+\alpha=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}.
Observação: ângulos equivalentes também valem; por exemplo \theta=\frac{4\pi}{3} é equivalente a \theta=-\frac{2\pi}{3} (diferença de 2\pi).

Passo 5

Montar a forma polar e checar rapidamente convertendo de volta para a forma cartesiana.
  • Forma exponencial:
z = r e^{i\theta}=2 e^{i\frac{4\pi}{3}}.
  • Forma trigonométrica (usando Euler):
z=2\!\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right).
Verificação rápida:
\cos\frac{4\pi}{3}=-\tfrac{1}{2},\qquad \sin\frac{4\pi}{3}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2},
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2\!\left(-\tfrac{1}{2}+i\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)=-1-i\sqrt{3},
que é exatamente z. Perfeito!

Passo 6

Como desenhar no plano de Argand (instruções práticas, para fazer rapidinho na prova):
  • Marque o eixo real horizontal e o eixo imaginário vertical.
  • Localize o ponto (x,y)=(-1,-\sqrt{3}): à esquerda de 0 uma unidade e para baixo \sqrt{3} unidades.
  • Trace o vetor da origem até esse ponto; esse vetor tem comprimento 2 e forma um ângulo de \tfrac{4\pi}{3} radianos (ou 240^\circ) com o eixo real positivo.
  • Se quiser desenhar o ângulo, meça 240^\circ no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo; o vetor deve cair exatamente no ponto indicado.

Resposta

2e^{i\frac{4\pi}{3}}
2\!\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)

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