(Álgebra e Geometria Complexa) Represente os seguintes números na forma polar
e desenhe-os no plano de Argand:
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede duas coisas:
- Representar
na forma polar . - Desenhar
no plano de Argand (isto é, localizar o ponto correspondente a no plano complexo).
Informações relevantes fornecidas:
- Parte real:
. - Parte imaginária:
. - Coordenadas no plano de Argand: ponto
.
Passo 2
Primeiro um resumo rápido do que é a forma polar e as fórmulas que vamos usar (aula rapidinha e prática).
- A forma polar de um complexo
escreve-se , onde: -
é o módulo (distância do ponto até a origem), dado por
-
é o argumento (ângulo medido a partir do eixo dos reais positivos, no sentido anti-horário) e satisfaz
-
- A relação de Euler liga as formas exponencial e trigonométrica:
Importante: ao usar
para achar
, deve-se considerar em qual quadrante o ponto está, porque
dá só o ângulo de referência.
Passo 3
Calcular o módulo
.
Interpretação: o ponto
está a distância
da origem.
Passo 4
Calcular o argumento
.
- O ângulo de referência (valor positivo dentro de
) é
- Agora a correção de quadrante: como
e , o ponto está no terceiro quadrante. Para um ângulo medido a partir do eixo positivo no sentido anti-horário, devemos somar ao ângulo de referência:
Observação: ângulos equivalentes também valem; por exemplo
é equivalente a
(diferença de
).
Passo 5
Montar a forma polar e checar rapidamente convertendo de volta para a forma cartesiana.
- Forma exponencial:
- Forma trigonométrica (usando Euler):
Verificação rápida:
logo
que é exatamente
. Perfeito!
Passo 6
Como desenhar no plano de Argand (instruções práticas, para fazer rapidinho na prova):
- Marque o eixo real horizontal e o eixo imaginário vertical.
- Localize o ponto
: à esquerda de uma unidade e para baixo unidades. - Trace o vetor da origem até esse ponto; esse vetor tem comprimento
e forma um ângulo de radianos (ou ) com o eixo real positivo. - Se quiser desenhar o ângulo, meça
no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo; o vetor deve cair exatamente no ponto indicado.