(Álgebra e Geometria Complexa) Represente os seguintes números na forma polar r e^{i \theta} e desenhe-os no plano de Argand:
z=5 i

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede representar o número complexo z na forma polar r e^{i\theta}.
  • Pede também desenhar o ponto correspondente no plano de Argand.
  • Informação dada: z = 5 i. Ou seja, as coordenadas cartesianas do ponto são x=0 e y=5.

Passo 2

Calcular o módulo r (distância do ponto até a origem).
  • Definição: para z = x + i y, o módulo é
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Aqui x=0 e y=5, então
r = \sqrt{0^{2}+5^{2}}=\sqrt{25}=5.
Interpretação física: no plano de Argand o ponto está a uma distância 5 da origem.

Passo 3

Determinar o argumento \theta (ângulo que o vetor do ponto até a origem faz com o eixo real positivo).
  • Regra geral: para x\neq0 costuma-se usar \theta=\arctan\!\big(\dfrac{y}{x}\big), mas atenção: essa fórmula falha quando x=0.
  • Caso especial: se x=0 e y>0 (como aqui), o ponto está exatamente sobre o eixo imaginário positivo e o ângulo é
\theta=\frac{\pi}{2}.
  • Observação sobre periodicidade: os argumentos diferem por múltiplos de 2\pi, isto é, \theta=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi com k\in\mathbb{Z}. O argumento principal (o mais usado) é \operatorname{Arg}(z)=\dfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Juntar módulo e argumento para entender a forma polar.
  • A forma polar padrão é r e^{i\theta} onde r é o módulo e \theta é o argumento.
  • Já encontramos r=5 e \theta=\dfrac{\pi}{2} (ou \dfrac{\pi}{2}+2k\pi em geral).

Passo 5

Como desenhar no plano de Argand (passo a passo prático):
  1. Desenhar dois eixos perpendiculares: eixo real horizontal e eixo imaginário vertical.
  2. Marcar o ponto (0,5): sobre o eixo imaginário, 5 unidades acima da origem.
  3. Traçar o vetor desde a origem até (0,5). Esse vetor tem comprimento 5 e forma um ângulo de \dfrac{\pi}{2} (90 graus) com o eixo real positivo.
  4. Para visualização, pode-se desenhar um arco no ângulo \dfrac{\pi}{2} perto da origem e escrever r=5 ao longo do vetor.
Dica rápida: números puramente imaginários bi com b>0 correspondem sempre ao ângulo \dfrac{\pi}{2}; se b<0, o ângulo é -\dfrac{\pi}{2} (ou \dfrac{3\pi}{2}).

Resposta

5 e^{i\frac{\pi}{2}}
5 e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)},\\ k\in\mathbb{Z}

Exercícios relacionados