(Álgebra e Geometria Complexa) Represente os seguintes números na forma polar
e desenhe-os no plano de Argand:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede representar o número complexo
na forma polar . - Pede também desenhar o ponto correspondente no plano de Argand.
- Informação dada:
. Ou seja, as coordenadas cartesianas do ponto são e .
Passo 2
Calcular o módulo
(distância do ponto até a origem).
- Definição: para
, o módulo é
- Aqui
e , então
Interpretação física: no plano de Argand o ponto está a uma distância
da origem.
Passo 3
Determinar o argumento
(ângulo que o vetor do ponto até a origem faz com o eixo real positivo).
- Regra geral: para
costuma-se usar , mas atenção: essa fórmula falha quando . - Caso especial: se
e (como aqui), o ponto está exatamente sobre o eixo imaginário positivo e o ângulo é
- Observação sobre periodicidade: os argumentos diferem por múltiplos de
, isto é, com . O argumento principal (o mais usado) é .
Passo 4
Juntar módulo e argumento para entender a forma polar.
- A forma polar padrão é
onde é o módulo e é o argumento. - Já encontramos
e (ou em geral).
Passo 5
Como desenhar no plano de Argand (passo a passo prático):
- Desenhar dois eixos perpendiculares: eixo real horizontal e eixo imaginário vertical.
- Marcar o ponto
: sobre o eixo imaginário, unidades acima da origem. - Traçar o vetor desde a origem até
. Esse vetor tem comprimento e forma um ângulo de (90 graus) com o eixo real positivo. - Para visualização, pode-se desenhar um arco no ângulo
perto da origem e escrever ao longo do vetor.
Dica rápida: números puramente imaginários
com
correspondem sempre ao ângulo
; se
, o ângulo é
(ou
).