(Álgebra e Geometria Complexa) Represente os seguintes números na forma polar r e^{i \theta} e desenhe-os no plano de Argand:
z=(1+i)^{8}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o número z=(1+i)^{8}:
  • Representar z na forma polar r e^{i\theta}.
  • Desenhar z no plano de Argand (ou descrever onde fica o ponto correspondente).
Informações dadas:
  • A base do expoente é o número complexo 1+i.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como passar um número complexo x+iy para a forma polar. Dois conceitos importantes:
  • Módulo (ou magnitude) |z|: é a distância do ponto (x,y) até a origem e calcula-se por
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Argumento \theta: é o ângulo que o vetor desde a origem até (x,y) faz com o eixo real positivo. Em coordenadas, pode-se obter por \theta=\operatorname{atan2}(y,x); na prática, para pontos nos quadrantes usuais, é o ângulo geométrico conhecido.
Além disso, para elevar um número complexo em forma polar usa-se o Teorema de De Moivre: se
z = r e^{i\theta},
então, para inteiro n,
z^{n} = r^{n} e^{i n \theta}.
Isso é muito prático: basta elevar o módulo à potência e multiplicar o ângulo por n.

Passo 3

Vamos calcular módulo e argumento de 1+i.
  • Coordenadas: x=1, y=1.
  • Módulo:
|1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
  • Argumento: o ponto (1,1) está no primeiro quadrante formando um ângulo de \pi/4 com o eixo real, portanto
\arg(1+i)=\frac{\pi}{4}.
Logo, em forma polar
1+i = \sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}.

Passo 4

Agora aplico De Moivre para elevar à oitava potência:
(1+i)^{8}=\bigl(\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\bigr)^{8}=(\sqrt{2})^{8}\,e^{i\cdot 8\cdot\frac{\pi}{4}}.
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 5

Calculemos o módulo elevado e o ângulo multiplicado:
  • Módulo: (\sqrt{2})^{8}=\bigl(2^{1/2}\bigr)^{8}=2^{4}=16.
  • Ângulo: 8\cdot \dfrac{\pi}{4}=2\pi.
Observação sobre o argumento: o ângulo 2\pi é congruente a 0 modulo 2\pi; portanto o argumento principal pode ser tomado como 0.

Passo 6

Como verificação alternativa (jeito puramente algébrico, sem polar): calcular por quadrados sucessivos.
  • (1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i.
  • (1+i)^{4}=(2i)^{2}=-4.
  • (1+i)^{8}=(-4)^{2}=16.
As duas abordagens coincidem e mostram que o número final é real e positivo, localizado sobre o eixo real.

Passo 7

Instruções para desenhar no plano de Argand (sem figura, descrevendo passo a passo):
  • Trace os eixos: eixo real horizontal (Re) e eixo imaginário vertical (Im).
  • Marque no eixo real o ponto a distância 16 da origem para a direita.
  • O ponto correspondente a z fica exatamente nesse local, sobre o eixo real positivo; a linha do vetor tem ângulo 0 com o eixo real e comprimento 16.

Resposta

16\,e^{i0} (equivalente a 16\,e^{i2\pi})
(16,0)

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