(Álgebra e Geometria Complexa) Represente os seguintes números na forma polar
e desenhe-os no plano de Argand:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o número
:
- Representar
na forma polar . - Desenhar
no plano de Argand (ou descrever onde fica o ponto correspondente).
Informações dadas:
- A base do expoente é o número complexo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como passar um número complexo
para a forma polar. Dois conceitos importantes:
- Módulo (ou magnitude)
: é a distância do ponto até a origem e calcula-se por
- Argumento
: é o ângulo que o vetor desde a origem até faz com o eixo real positivo. Em coordenadas, pode-se obter por ; na prática, para pontos nos quadrantes usuais, é o ângulo geométrico conhecido.
Além disso, para elevar um número complexo em forma polar usa-se o Teorema de De Moivre: se
então, para inteiro
,
Isso é muito prático: basta elevar o módulo à potência e multiplicar o ângulo por
.
Passo 3
Vamos calcular módulo e argumento de
.
- Coordenadas:
, . - Módulo:
- Argumento: o ponto
está no primeiro quadrante formando um ângulo de com o eixo real, portanto
Logo, em forma polar
Passo 4
Agora aplico De Moivre para elevar à oitava potência:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 5
Calculemos o módulo elevado e o ângulo multiplicado:
- Módulo:
- Ângulo:
Observação sobre o argumento: o ângulo
é congruente a
modulo
; portanto o argumento principal pode ser tomado como
.
Passo 6
Como verificação alternativa (jeito puramente algébrico, sem polar): calcular por quadrados sucessivos.
As duas abordagens coincidem e mostram que o número final é real e positivo, localizado sobre o eixo real.
Passo 7
Instruções para desenhar no plano de Argand (sem figura, descrevendo passo a passo):
- Trace os eixos: eixo real horizontal (Re) e eixo imaginário vertical (Im).
- Marque no eixo real o ponto a distância
da origem para a direita. - O ponto correspondente a
fica exatamente nesse local, sobre o eixo real positivo; a linha do vetor tem ângulo com o eixo real e comprimento .