Algumas cordas de violino são 50 cm de comprimento entre suas extremidades fixas e é de 1 g de massa. Se a corda gera a nota pura Lá ( 440 Hz ), quando tocada, onde ele deve colocar o dedo para a corda para vibrar gerar nota pura Dó (528 \mathrm{~Hz}) ?

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, claramente:
  • Comprimento total da corda entre as extremidades fixas: L_0=0{,}50\,\mathrm{m} (ou 50\,\mathrm{cm}).
  • Massa total da corda: m=0{,}001\,\mathrm{kg} (ou 1\,\mathrm{g}).
  • Quando a corda vibra livremente com todo o comprimento, ela produz a nota Lá com frequência f_{\text{lá}}=440\,\mathrm{Hz}á.
  • Queremos que, ao pressionar a corda com o dedo (reduzindo o comprimento vibrante), ela passe a produzir a nota Dó com frequência f_{\text{dó}}=528\,\mathrm{Hz}ó.
    O que o problema pede: a posição onde o dedo deve ser colocado ao longo da corda para que a parte vibrante passe a ter 528\,\mathrm{Hz}.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Uma corda presa nas duas extremidades vibra com ondas estacionárias. Para o modo fundamental (nota pura básica) a frequência é dada por
f=\dfrac{v}{2L},
onde:
  • f é a frequência do modo fundamental (em \mathrm{Hz});
  • v é a velocidade de propagação da onda na corda (em \mathrm{m/s});
  • L é o comprimento vibrante da corda (em \mathrm{m}), ou seja, a distância entre os pontos onde a corda está presa ou imobilizada (no caso, entre a ponte e o dedo, quando o dedo pressiona).
  • Se o dedo faz com que a corda vibre numa parte mais curta, então L diminui e a frequência aumenta conforme a fórmula acima.
  • Observação: a velocidade v depende da tensão T e da densidade linear \mu pela relação
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}},
mas não precisamos conhecer T se soubermos v a partir das condições iniciais (pois a tensão permanece a mesma quando apenas se pressiona a corda).

Passo 3

Calcular a densidade linear \mu só para referência (não será necessária para achar a posição, mas é didático):
\mu=\dfrac{m}{L_0}=\dfrac{0{,}001}{0{,}50}=0{,}002\\ \mathrm{kg/m}.
Isso mostra que, se quiséssemos, poderíamos relacionar v e T, mas não é preciso aqui.

Passo 4

Determinar a velocidade v da onda usando a frequência inicial e o comprimento inicial (modo fundamental com L_0):
Usamos \;f_{\text{lá}}=\dfrac{v}{2L_0}\;á, então
v=2L_0 f_{\text{lá}}.á
Substituindo os valores:
v=2\cdot 0{,}50\cdot 440 = 440\\ \mathrm{m/s}.
(Observação: sai exatamente 440\,\mathrm{m/s} porque 2\cdot0{,}50=1.)

Passo 5

Agora calculamos o novo comprimento vibrante L' necessário para produzir f_{\text{dó}}=528\,\mathrm{Hz}ó, usando novamente a fórmula do modo fundamental:
f_{\text{dó}}=\dfrac{v}{2L'} \quad\Rightarrow\quad L'=\dfrac{v}{2f_{\text{dó}}}.óó
Substituindo v=440 e f_{\text{dó}}=528ó:
L'=\dfrac{440}{2\cdot 528}=\dfrac{440}{1056}.
Simplificando a fração obtemos
L'=\dfrac{5}{12}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Converter L' para centímetros e dar interpretação prática:
L'=\dfrac{5}{12}\\ \mathrm{m}=0{,}416\overline{6}\\ \mathrm{m}=41{,}6\overline{6}\\ \mathrm{cm}.
Em forma fracionária de centímetros: 41\frac{2}{3}\,\mathrm{cm}.
Interpretação prática para colocar o dedo: como o comprimento total entre as extremidades é 50\,\mathrm{cm}, para que a parte vibrante passe a ter 41{,}6\overline{6}\,\mathrm{cm} basta colocar o dedo de forma que a distância entre o ponto de pressão (o dedo) e a extremidade fixa (geralmente a ponte) seja 41{,}6\overline{6}\,\mathrm{cm}. Isso deixa uma pequena sobra entre o dedo e a outra extremidade de
50{,}00-41{,}6\overline{6}=8{,}3\overline{3}\\ \mathrm{cm}
ou seja 8\frac{1}{3}\,\mathrm{cm} do outro lado.

Passo 7

Resumo do raciocínio para a prova (como aplicar rápido):
  • Determine v pela condição inicial: v=2L_0 f_{\text{inicial}}.
  • Use L' = v/(2 f_{\text{desejado}}).
  • Converta para a unidade prática (cm) e coloque o dedo de modo que a distância entre ponte e dedo seja esse L'.

Resposta

O dedo deve ser colocado de modo que o comprimento vibrante passe a ser \dfrac{5}{12}\,\mathrm{m}, isto é \,41{,}6\overline{6}\,\mathrm{cm} (ou seja, a 41{,}666\ldots\,\mathrm{cm} da ponte, deixando 8{,}3\overline{3}\,\mathrm{cm} até a outra extremidade).

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