Algumas cordas de violino são 50 cm de comprimento entre suas extremidades fixas e é de 1 g de massa. Se a corda gera a nota pura Lá ( 440 Hz ), quando tocada, onde ele deve colocar o dedo para a corda para vibrar gerar nota pura Dó
?
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, claramente:
- Comprimento total da corda entre as extremidades fixas:
(ou ). - Massa total da corda:
(ou ). - Quando a corda vibra livremente com todo o comprimento, ela produz a nota Lá com frequência
. - Queremos que, ao pressionar a corda com o dedo (reduzindo o comprimento vibrante), ela passe a produzir a nota Dó com frequência
.
O que o problema pede: a posição onde o dedo deve ser colocado ao longo da corda para que a parte vibrante passe a ter.
Passo 2
Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Uma corda presa nas duas extremidades vibra com ondas estacionárias. Para o modo fundamental (nota pura básica) a frequência é dada por
onde:
-
é a frequência do modo fundamental (em ); -
é a velocidade de propagação da onda na corda (em ); -
é o comprimento vibrante da corda (em ), ou seja, a distância entre os pontos onde a corda está presa ou imobilizada (no caso, entre a ponte e o dedo, quando o dedo pressiona). - Se o dedo faz com que a corda vibre numa parte mais curta, então
diminui e a frequência aumenta conforme a fórmula acima. - Observação: a velocidade
depende da tensão e da densidade linear pela relação
mas não precisamos conhecer
se soubermos
a partir das condições iniciais (pois a tensão permanece a mesma quando apenas se pressiona a corda).
Passo 3
Calcular a densidade linear
só para referência (não será necessária para achar a posição, mas é didático):
Isso mostra que, se quiséssemos, poderíamos relacionar
e
, mas não é preciso aqui.
Passo 4
Determinar a velocidade
da onda usando a frequência inicial e o comprimento inicial (modo fundamental com
):
Usamos , então
Usamos
Substituindo os valores:
(Observação: sai exatamente
porque
.)
Passo 5
Agora calculamos o novo comprimento vibrante
necessário para produzir
, usando novamente a fórmula do modo fundamental:
Substituindo
e
:
Simplificando a fração obtemos
Passo 6
Converter
para centímetros e dar interpretação prática:
Em forma fracionária de centímetros:
.
Interpretação prática para colocar o dedo: como o comprimento total entre as extremidades é
, para que a parte vibrante passe a ter
basta colocar o dedo de forma que a distância entre o ponto de pressão (o dedo) e a extremidade fixa (geralmente a ponte) seja
. Isso deixa uma pequena sobra entre o dedo e a outra extremidade de
ou seja
do outro lado.
Passo 7
Resumo do raciocínio para a prova (como aplicar rápido):
- Determine
pela condição inicial: . - Use
. - Converta para a unidade prática (cm) e coloque o dedo de modo que a distância entre ponte e dedo seja esse
.
Resposta
O dedo deve ser colocado de modo que o comprimento vibrante passe a ser
, isto é
(ou seja, a
da ponte, deixando
até a outra extremidade).