Uma amostra de 50,00 \mathrm{~g} de gás metano a 1,00 \mathrm{~atm} e a 27,0^{\circ} \mathrm{C}, é aquecida até 277,0^{\circ} \mathrm{C}. Sua capacidade calorífica molar, a pressão constante, é dada pela equação:
\overline{\mathrm{C}}_{\mathrm{p}} /\left(\mathrm{cal} \cdot \mathrm{~K}^{-1} \cdot \mathrm{~mol}^{-1}\right)=3,00+\left(2,00 \times 10^{-3} / \mathrm{K}\right) \cdot \mathrm{T}
Admitindo comportamento ideal para o metano, calcular o calor (q), o trabalho (w) e a variação da energia interna ( \Delta \mathrm{U} ) quando o processo é realizado a uma pressão externa constante igual a 1,00 \mathrm{~atm}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que segue.
Dados:
  • Massa de metano: 50{,}00\\ \mathrm{g}.
  • Pressão externa (constante) durante o aquecimento: 1{,}00\\ \mathrm{atm}.
  • Temperatura inicial: 27{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: 277{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Capacidade calorífica molar a pressão constante:
\overline{C}_p\\ \left(\mathrm{cal}\cdot\mathrm{K}^{-1}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\right)=3{,}00+\left(2{,}00\times10^{-3}\\ /\mathrm{K}\right)\cdot T.
  • Admitir comportamento de gás ideal para o metano.
O enunciado pede:
  • Calor trocado q no processo realizado a pressão externa constante 1{,}00\\ \mathrm{atm}.
  • Trabalho w realizado pelo sistema (ou sobre o sistema) nessa transformação.
  • Variação da energia interna \Delta U.
Observações importantes que vou usar (explicadas e justificadas adiante):
  • Vou trabalhar em kelvin para temperaturas: \;T_1=27{,}0^\circ\mathrm{C}=300{,}15\\ \mathrm{K} e \;T_2=277{,}0^\circ\mathrm{C}=550{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Primeiro vou calcular o número de mols n do metano usando sua massa molar.
  • Para um processo a pressão constante, q_p = n\displaystyle\int_{T_1}^{T_2}\overline{C}_p(T)\,dT.
  • O trabalho a pressão constante é w=-P_{\text{ext}}\Delta V. Para gás ideal, \Delta V = nR(T_2-T_1)/P.
  • A primeira lei da termodinâmica dá \Delta U = q + w. Alternativamente \Delta U = n\displaystyle\int_{T_1}^{T_2}\overline{C}_V(T)\,dT com \overline{C}_V=\overline{C}_p-R.

Passo 2

Calcular n (número de mols) e transformar temperaturas para kelvin.
  • Massa molar do metano \mathrm{CH}_4: \;M=16{,}04\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Portanto
n=\frac{50{,}00\\ \mathrm{g}}{16{,}04\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}}=\frac{1250}{401}\approx3{,}11720698\\ \mathrm{mol}.
  • Temperaturas em kelvin:
T_1=27{,}0^\circ\mathrm{C}=300{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_2=277{,}0^\circ\mathrm{C}=550{,}15\\ \mathrm{K},
logo \Delta T=T_2-T_1=250{,}00\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Calcular o calor q trocado a pressão constante com integração de \overline{C}_p(T). Explicando a ideia: quando \overline{C}_p depende de T, o calor por mol entre T_1 e T_2 é a integral de \overline{C}_p(T) em T. Multiplicamos pelo número de mols para obter o calor total.
  • Escrevendo a integral:
q_p = n\int_{T_1}^{T_2}\overline{C}_p(T)\,dT = n\int_{T_1}^{T_2}\left(3{,}00+0{,}00200\,T\right)dT.
  • Calcule a integral por mol:
\int_{T_1}^{T_2}\left(3{,}00+0{,}00200\,T\right)dT =3{,}00\,(T_2-T_1)+0{,}00200\cdot\frac{T_2^2-T_1^2}{2}.
Note que 0{,}00200/2=0{,}00100.
  • Substituindo T_2-T_1=250{,}00 e usando T_2^2-T_1^2=(T_2-T_1)(T_2+T_1):
T_2+T_1=550{,}15+300{,}15=850{,}30,
T_2^2-T_1^2=250{,}00\times850{,}30=212\,575{,}0.
  • Assim a contribuição por mol é
3{,}00\times250{,}00 + 0{,}00100\times212\,575{,}0 =750{,}00 + 212{,}575 = 962{,}575\\ \mathrm{cal}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Multiplicando por n=\dfrac{1250}{401}:
q_p = n\times962{,}575 = \frac{1250}{401}\times962{,}575 \approx 3000{,}5455\\ \mathrm{cal}.
  • Converter para joules ( 1\\ \mathrm{cal}=4{,}184\\ \mathrm{J} ):
q_p\approx3000{,}5455\times4{,}184\approx12\,553{,}7\\ \mathrm{J}\approx12{,}55\\ \mathrm{kJ}.
Breve comentário didático: se \overline{C}_p fosse constante, bastaria q_p=n\overline{C}_p\Delta T. Como depende linearmente de T, a integração dá um termo linear em \Delta T e um termo quadrático em T (por T^2), que vimos nos cálculos.

Passo 4

Calcular o trabalho w. Explicando: para transformação a pressão constante e para gás ideal, o trabalho realizado pelo gás é w=-P_{\text{ext}}\Delta V. Usando a equação de estado ideal PV=nRT, temos \Delta V = nR(T_2-T_1)/P. Assim:
w = -P_{\text{ext}}\Delta V = -P_{\text{ext}}\cdot\frac{nR(T_2-T_1)}{P_{\text{ext}}} = -nR(T_2-T_1).
Ou seja, se o processo é quasi-estático com P_{\text{int}}=P_{\text{ext}} const e gás ideal, w=-nR\Delta T.
  • Usar R em unidades de \mathrm{cal}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1} para obter w direto em calorias:
R=1{,}987\\ \mathrm{cal}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
  • Então
w = -nR(T_2-T_1) = -\frac{1250}{401}\times1{,}987\times250{,}00.
Calcule o produto interno 1{,}987\times250{,}00=496{,}75. Assim
w = -\frac{1250}{401}\times496{,}75 \approx -1548{,}4721\\ \mathrm{cal}.
  • Converter para joules:
w\approx-1548{,}4721\times4{,}184\approx-6\,073{,}9\\ \mathrm{J}\approx-6{,}074\\ \mathrm{kJ}.
(Se preferir calcular via w=-P\Delta V usando R=0{,}082057\\ \mathrm{L\\ atm\\ mol^{-1}K^{-1}} e 1\\ \mathrm{L\,atm}=101{,}325\\ \mathrm{J}, obtém-se o mesmo valor em J.)

Passo 5

Calcular \Delta U usando a primeira lei e verificar com \overline{C}_V.
  • Pela primeira lei:
\Delta U = q + w.
Usando q_p\approx3000{,}5455\\ \mathrm{cal} e w\approx-1548{,}4721\\ \mathrm{cal}:
\Delta U \approx3000{,}5455 -1548{,}4721 =1452{,}0734\\ \mathrm{cal}.
  • Converter para joules:
\Delta U\approx1452{,}0734\times4{,}184\approx6\,073{,}8\\ \mathrm{J}\approx6{,}074\\ \mathrm{kJ}.
Verificação via \overline{C}_V: para gás ideal \overline{C}_V(T)=\overline{C}_p(T)-R. Assim
\overline{C}_V(T)=\left(3{,}00+0{,}00200\,T\right)-1{,}987=1{,}013+0{,}00200\,T.
Integrando \Delta U = n\int_{T_1}^{T_2}\overline{C}_V(T)\,dT dá exatamente o mesmo número (confere a consistência numérica).

Passo 6

Pequena interpretação final e checagem de sinais:
  • O calor q>0 indica que o sistema absorveu calor (aquecemos o gás).
  • O trabalho w<0 indica que o sistema realizou trabalho sobre o entorno (expansão).
  • A energia interna aumentou ( \Delta U>0), como esperado ao aumentar a temperatura do gás.

Resposta

q=3000{,}55\\ \mathrm{cal}\approx12{,}55\\ \mathrm{kJ}
w=-1548{,}47\\ \mathrm{cal}\approx-6{,}074\\ \mathrm{kJ}
\Delta U=1452{,}07\\ \mathrm{cal}\approx6{,}074\\ \mathrm{kJ}

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