Uma amostra de 50,00 \mathrm{~g} de gás metano a 1,00 \mathrm{~atm} e a 27,0^{\circ} \mathrm{C}, é aquecida até 277,0^{\circ} \mathrm{C}. Sua capacidade calorífica molar, a pressão constante, é dada pela equação:
Admitindo comportamento ideal para o metano, calcular o calor (q), o trabalho (w) e a variação da energia interna ( \Delta \mathrm{U} ) quando o processo é realizado a uma pressão externa constante igual a 1,00 \mathrm{~atm}.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o que segue.
Dados:
Massa de metano: 50{,}00\\ \mathrm{g}.
Pressão externa (constante) durante o aquecimento: 1{,}00\\ \mathrm{atm}.
Temperatura inicial: 27{,}0^\circ\mathrm{C}.
Temperatura final: 277{,}0^\circ\mathrm{C}.
Capacidade calorífica molar a pressão constante:
\overline{C}_p\\ \left(\mathrm{cal}\cdot\mathrm{K}^{-1}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\right)=3{,}00+\left(2{,}00\times10^{-3}\\ /\mathrm{K}\right)\cdot T.
Admitir comportamento de gás ideal para o metano.
O enunciado pede:
Calor trocado q no processo realizado a pressão externa constante 1{,}00\\ \mathrm{atm}.
Trabalho w realizado pelo sistema (ou sobre o sistema) nessa transformação.
Variação da energia interna \Delta U.
Observações importantes que vou usar (explicadas e justificadas adiante):
Vou trabalhar em kelvin para temperaturas: \;T_1=27{,}0^\circ\mathrm{C}=300{,}15\\ \mathrm{K} e \;T_2=277{,}0^\circ\mathrm{C}=550{,}15\\ \mathrm{K}.
Primeiro vou calcular o número de mols n do metano usando sua massa molar.
Para um processo a pressão constante, q_p = n\displaystyle\int_{T_1}^{T_2}\overline{C}_p(T)\,dT.
O trabalho a pressão constante é w=-P_{\text{ext}}\Delta V. Para gás ideal, \Delta V = nR(T_2-T_1)/P.
A primeira lei da termodinâmica dá \Delta U = q + w. Alternativamente \Delta U = n\displaystyle\int_{T_1}^{T_2}\overline{C}_V(T)\,dT com \overline{C}_V=\overline{C}_p-R.
Passo 2
Calcular n (número de mols) e transformar temperaturas para kelvin.
Massa molar do metano \mathrm{CH}_4: \;M=16{,}04\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
Calcular o calor q trocado a pressão constante com integração de \overline{C}_p(T). Explicando a ideia: quando \overline{C}_p depende de T, o calor por mol entre T_1 e T_2 é a integral de \overline{C}_p(T) em T. Multiplicamos pelo número de mols para obter o calor total.
Breve comentário didático: se \overline{C}_p fosse constante, bastaria q_p=n\overline{C}_p\Delta T. Como depende linearmente de T, a integração dá um termo linear em \Delta T e um termo quadrático em T (por T^2), que vimos nos cálculos.
Passo 4
Calcular o trabalho w. Explicando: para transformação a pressão constante e para gás ideal, o trabalho realizado pelo gás é w=-P_{\text{ext}}\Delta V. Usando a equação de estado ideal PV=nRT, temos \Delta V = nR(T_2-T_1)/P. Assim:
w = -P_{\text{ext}}\Delta V = -P_{\text{ext}}\cdot\frac{nR(T_2-T_1)}{P_{\text{ext}}} = -nR(T_2-T_1).
Ou seja, se o processo é quasi-estático com P_{\text{int}}=P_{\text{ext}} const e gás ideal, w=-nR\Delta T.
Usar R em unidades de \mathrm{cal}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1} para obter w direto em calorias:
(Se preferir calcular via w=-P\Delta V usando R=0{,}082057\\ \mathrm{L\\ atm\\ mol^{-1}K^{-1}} e 1\\ \mathrm{L\,atm}=101{,}325\\ \mathrm{J}, obtém-se o mesmo valor em J.)
Passo 5
Calcular \Delta U usando a primeira lei e verificar com \overline{C}_V.
Pela primeira lei:
\Delta U = q + w.
Usando q_p\approx3000{,}5455\\ \mathrm{cal} e w\approx-1548{,}4721\\ \mathrm{cal}:
\Delta U \approx3000{,}5455 -1548{,}4721 =1452{,}0734\\ \mathrm{cal}.