Em uma análise laboratorial de uma solução ácida, foram realizadas seis medições para determinar o pH da solução. As dados foram: 4,21 ; 4,25 ; 3,67 ; 4,70 ; 3,97 e 4,75. Calcule o intervalo de confiança para a média do pH da solução com um coeficiente de confiança de 93 \%. Interprete. Resposta parcial: \bar{x}=4,2583 ; s=0,4168 e [3,8674; 4,6492]
Passo 1
O que o problema pede e quais informações temos.\n
Pedido: calcular o intervalo de confiança para a média do pH da solução com coeficiente de confiança de 93\%.\n
Dados (seis medições): 4,21;\;4,25;\;3,67;\;4,70;\;3,97;\;4,75.\n
Informação relevante: tamanho da amostra n=6 e nível de confiança 1-\alpha=0,93 (então \alpha=0,07).\n
Observação importante (apenas identificando, sem resolver aqui): usaremos um intervalo de confiança para a média populacional com amostra pequena e desvio padrão populacional desconhecido.
Passo 2
Escolha do método e fórmula do intervalo de confiança (explicando a cada termo).\n
Motivação da escolha: como n=6 é pequeno e a variância populacional é desconhecida, utilizamos a distribuição de Student t (não a normal z).\n
Fórmula do intervalo de confiança de nível 1-\alpha para a média quando se usa t:
\bar{x} é a média amostral (estimativa pontual da média populacional);\n
s é o desvio padrão amostral (estimativa da dispersão dos dados);\n
n é o tamanho da amostra;\n
\nu=n-1 é o número de graus de liberdade;\n
t_{\alpha/2,\nu} é o quantil da distribuição t com probabilidade acumulada 1-\alpha/2 e \nu graus de liberdade.\n
Interpretação intuitiva da fórmula: a quantidade t_{\alpha/2,\nu}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}} é a “margem de erro” que amplia a média amostral para formar o intervalo.
Passo 3
Cálculo da média amostral \bar{x} passo a passo.\n
Primeiro somamos as observações:
4,21+4,25+3,67+4,70+3,97+4,75=25,55.
Dividimos pelo número de observações n=6:
\bar{x}=\frac{25,55}{6}=4,2583\\ (\text{arredondado a }4\text{ casas decimais}).
Passo 4
Cálculo do desvio padrão amostral s passo a passo (fórmula e contas detalhadas).\n
Cálculo dos extremos do intervalo de confiança e arredondamento final.\n
Limite inferior:
\bar{x}-E=4,2583-0,3909\approx3,8674.
Limite superior:
\bar{x}+E=4,2583+0,3909\approx4,6492.
Portanto, o intervalo de confiança de 93\% para a média do pH é aproximadamente
[3,8674;\;4,6492].
Passo 8
Interpretação final (em linguagem simples e encorajadora).\n
Interpretação clássica: com 93\% de confiança, o verdadeiro valor da média do pH da solução está entre 3,8674 e 4,6492.\n
Em termos práticos: se repetíssemos muitas vezes o procedimento (coletar 6 medições e construir o intervalo do mesmo jeito), cerca de 93\% desses intervalos conteriam a média verdadeira do pH.\n
Observação sobre suposições: usamos t porque a amostra é pequena e a variância pop. é desconhecida; isso assume que a distribuição do pH na população é aproximadamente normal (ou que não há fortes desvios/extremos na amostra). Se houver dúvidas sobre normalidade, com amostra tão pequena é bom verificar visualmente outliers ou justificar normalidade por conhecimento prévio do processo.
Resposta
\bar{x}=4,2583\n s=0,4168\n
Intervalo de confiança de 93\%: [3,8674;\;4,6492]