Em uma análise laboratorial de uma solução ácida, foram realizadas seis medições para determinar o pH da solução. As dados foram: 4,21 ; 4,25 ; 3,67 ; 4,70 ; 3,97 e 4,75. Calcule o intervalo de confiança para a média do pH da solução com um coeficiente de confiança de 93 \%. Interprete. Resposta parcial: \bar{x}=4,2583 ; s=0,4168 e [3,8674; 4,6492]

Passo 1

O que o problema pede e quais informações temos.\n
  • Pedido: calcular o intervalo de confiança para a média do pH da solução com coeficiente de confiança de 93\%.\n
  • Dados (seis medições): 4,21;\;4,25;\;3,67;\;4,70;\;3,97;\;4,75.\n
  • Informação relevante: tamanho da amostra n=6 e nível de confiança 1-\alpha=0,93 (então \alpha=0,07).\n
  • Observação importante (apenas identificando, sem resolver aqui): usaremos um intervalo de confiança para a média populacional com amostra pequena e desvio padrão populacional desconhecido.

Passo 2

Escolha do método e fórmula do intervalo de confiança (explicando a cada termo).\n
  • Motivação da escolha: como n=6 é pequeno e a variância populacional é desconhecida, utilizamos a distribuição de Student t (não a normal z).\n
  • Fórmula do intervalo de confiança de nível 1-\alpha para a média quando se usa t:
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\nu}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}
onde:\n
  • \bar{x} é a média amostral (estimativa pontual da média populacional);\n
  • s é o desvio padrão amostral (estimativa da dispersão dos dados);\n
  • n é o tamanho da amostra;\n
  • \nu=n-1 é o número de graus de liberdade;\n
  • t_{\alpha/2,\nu} é o quantil da distribuição t com probabilidade acumulada 1-\alpha/2 e \nu graus de liberdade.\n
  • Interpretação intuitiva da fórmula: a quantidade t_{\alpha/2,\nu}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}} é a “margem de erro” que amplia a média amostral para formar o intervalo.

Passo 3

Cálculo da média amostral \bar{x} passo a passo.\n
  • Primeiro somamos as observações:
4,21+4,25+3,67+4,70+3,97+4,75=25,55.
  • Dividimos pelo número de observações n=6:
\bar{x}=\frac{25,55}{6}=4,2583\\ (\text{arredondado a }4\text{ casas decimais}).

Passo 4

Cálculo do desvio padrão amostral s passo a passo (fórmula e contas detalhadas).\n
  • Fórmula do desvio padrão amostral:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.
  • Calculamos cada desvio x_i-\bar{x} e seu quadrado (arredondando para 6 casas onde necessário):
\begin{aligned} 4,21-\bar{x}&=-0,048333\quad&\Rightarrow\quad ( -0,048333)^2&=0,002336\\\\ 4,25-\bar{x}&=-0,008333\quad&\Rightarrow\quad ( -0,008333)^2&=0,000069\\\\ 3,67-\bar{x}&=-0,588333\quad&\Rightarrow\quad ( -0,588333)^2&=0,346124\\\\ 4,70-\bar{x}&=0,441667\quad&\Rightarrow\quad (0,441667)^2&=0,195067\\\\ 3,97-\bar{x}&=-0,288333\quad&\Rightarrow\quad ( -0,288333)^2&=0,083133\\\\ 4,75-\bar{x}&=0,491667\quad&\Rightarrow\quad (0,491667)^2&=0,241737 \end{aligned}
  • Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^2\approx0,002336+0,000069+0,346124+0,195067+0,083133+0,241737=0,868467.
  • Variância amostral:
s^2=\frac{0,868467}{n-1}=\frac{0,868467}{5}=0,173693.
  • Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{0,173693}\approx0,4168.
(Portanto, confirmamos s\approx0,4168.)

Passo 5

Determinação do quantil t_{\alpha/2,\nu}.\n
  • Temos \alpha=0,07, logo \alpha/2=0,035.\n
  • Graus de liberdade \nu=n-1=5.\n
  • Procuramos t_{0,035,5}, isto é, o valor de t tal que P(T\le t)=1-0,035=0,965 para T\sim t_5.\n
  • Usando a tabela da distribuição t (ou calculadora estatística), obtemos aproximadamente
t_{0,035,5}\approx2,2968.
(Este é um valor tabelado; para problemas de prova normalmente consultamos a tabela t correspondente.)

Passo 6

Cálculo da margem de erro E e montagem do intervalo.\n
  • Primeiro calculamos \dfrac{s}{\sqrt{n}}:
\sqrt{n}=\sqrt{6}\approx2,44949,
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,4168}{2,44949}\approx0,17014.
  • Agora a margem de erro:
E=t_{0,035,5}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx2,2968\cdot0,17014\approx0,3909.

Passo 7

Cálculo dos extremos do intervalo de confiança e arredondamento final.\n
  • Limite inferior:
\bar{x}-E=4,2583-0,3909\approx3,8674.
  • Limite superior:
\bar{x}+E=4,2583+0,3909\approx4,6492.
  • Portanto, o intervalo de confiança de 93\% para a média do pH é aproximadamente
[3,8674;\;4,6492].

Passo 8

Interpretação final (em linguagem simples e encorajadora).\n
  • Interpretação clássica: com 93\% de confiança, o verdadeiro valor da média do pH da solução está entre 3,8674 e 4,6492.\n
  • Em termos práticos: se repetíssemos muitas vezes o procedimento (coletar 6 medições e construir o intervalo do mesmo jeito), cerca de 93\% desses intervalos conteriam a média verdadeira do pH.\n
  • Observação sobre suposições: usamos t porque a amostra é pequena e a variância pop. é desconhecida; isso assume que a distribuição do pH na população é aproximadamente normal (ou que não há fortes desvios/extremos na amostra). Se houver dúvidas sobre normalidade, com amostra tão pequena é bom verificar visualmente outliers ou justificar normalidade por conhecimento prévio do processo.

Resposta

\bar{x}=4,2583\n
s=0,4168\n
Intervalo de confiança de 93\%: [3,8674;\;4,6492]

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