Analise se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações a seguir, justificando.
dois vetores com o mesmo módulo, direção e sentido, mas com pontos inicial e final diferentes, são considerados iguais;
Passo 1
O enunciado pede que eu analise se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e que eu justifique a resposta.
Afirmação: “dois vetores com o mesmo módulo, direção e sentido, mas com pontos inicial e final diferentes, são considerados iguais.”
Informações dadas (explicitadas):
Dois vetores têm o mesmo módulo (mesma intensidade).
Têm a mesma direção (linhas paralelas ou mesma reta).
Têm o mesmo sentido (setas apontam para o mesmo lado).
Os pontos inicial e final são diferentes (ou seja, os vetores estão localizados em lugares distintos no espaço).
O objetivo agora é decidir se, nessas condições, os vetores são considerados iguais, e justificar por que sim ou por que não.
Passo 2
Conceito básico (passo-a-passo, sem assumir conhecimento prévio).
O que é um vetor, de forma simples: um vetor é um objeto que representa uma deslocamento; ele tem três características principais:
módulo (ou norma): o tamanho/valor do deslocamento;
direção: a linha ao longo da qual ocorre o deslocamento;
sentido: para qual lado dessa linha o deslocamento aponta.
Dois jeitos de encarar vetores que aparecem na prática:
vetores livres: só importam módulo, direção e sentido; pode-se “arrastar” o vetor paralelamente sem alterar o vetor. É o tratamento usual em álgebra vetorial/geométrica analítica.
vetores aplicados (ou ligados/bound): além de módulo, direção e sentido, importa também o ponto de aplicação; usados em mecânica quando a posição importa.
A afirmação não menciona que os vetores sejam ligados a posições fixas (aplicados), apenas diz que têm pontos inicial e final diferentes. No contexto padrão de vetores em geometria analítica e em álgebra linear (o contexto mais comum em cursos de exatas), usa-se o conceito de vetor livre, onde posição não importa. Vou desenvolver a justificativa formal nesse contexto (o mais usual).
Passo 3
Representação analítica e condição de igualdade (fórmula e explicação).
Considere um plano cartesiano e os pontos \,A=(x_1,y_1)\, e \,B=(x_2,y_2)\,.
O vetor que vai de A para B (denotado \overrightarrow{AB}) é o vetor
\overrightarrow{AB} = (x_2-x_1,\; y_2-y_1).
Aqui cada componente tem um significado:
a primeira componente (x_2-x_1) é quanto o vetor desloca na direção x;
a segunda componente (y_2-y_1) é quanto o vetor desloca na direção y.
Agora considere outro par de pontos \,C=(x_3,y_3)\, e \,D=(x_4,y_4)\,,
com vetor
\overrightarrow{CD} = (x_4-x_3,\; y_4-y_3).
Definição prática de igualdade entre vetores livres: dois vetores são iguais se e somente se todas as componentes correspondentes são iguais. Ou seja,
Essa condição implica que os módulos, direções e sentidos coincidem. Note que as coordenadas dos pontos iniciais e finais podem ser diferentes — o que importa é a diferença entre as coordenadas.]
Passo 4
Exemplo numérico para fixar (passo a passo, bem concreto).
Escolho pontos:
A=(1,2),\quad B=(4,6).
Então
\overrightarrow{AB}=(4-1,\;6-2)=(3,\;4).
Agora outros pontos:
C=(0,0),\quad D=(3,4).
Então
\overrightarrow{CD}=(3-0,\;4-0)=(3,\;4).
Como \overrightarrow{AB}=(3,4)=\overrightarrow{CD}, esses dois vetores têm mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido, embora estejam em posições diferentes (pontos iniciais e finais distintos). No tratamento de vetores livres, eles são considerados iguais.
Passo 5
Verificação por módulo e direção (mostrar que as três características coincidem).
Para um vetor (u,v), o módulo é
\|\,(u,v)\,\|=\sqrt{u^2+v^2}.
No exemplo, \|(3,4)\|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. Ambos têm módulo 5.
A direção (pode ser medida pelo ângulo \theta ou pela razão \frac{v}{u}) e o sentido também coincidem porque as componentes são iguais. Assim, igualdade de componentes garante igualdade de módulo, direção e sentido.
Passo 6
Observação importante e resposta definitiva à afirmação (situação geral e exceção).
No conceito usual de vetores livres (o que se usa em álgebra linear e geometria analítica), a afirmação é verdadeira: vetores com mesmo módulo, direção e sentido são considerados iguais, mesmo que estejam situados em posições (pontos inicial e final) diferentes. Em termos analíticos, isso equivale a terem as mesmas componentes.
Contudo, existe um contexto específico em que a posição importa (vetores aplicados, por exemplo forças aplicadas em pontos distintos sobre um corpo). Nesse contexto físico ou geométrico particular, dois vetores com mesma magnitude/direção/sentido mas aplicados em pontos diferentes não são tratados como “iguais” no sentido de terem o mesmo efeito sobre um corpo. Então, se a questão estivesse nesse contexto, a resposta poderia ser diferente. Como enunciado não especifica esse contexto restrito, devemos adotar a interpretação padrão de vetores livres.