- Analise a viabilidade de se melhorar o padrão de qualidade de uma fábrica através de compra de equipamentos adicionais que diminuíram a percentagem de peças defeituosas produzidas. Atualmente essa percentagem é de
sendo o custo do reparo por conta do fabricante no valor de $150,00. por unidade. Os investimentos adicionais são de $90.000,00. e o valor residual de $15.000,00. após dez anos de utilização, com custos anuais adicionais de $40.000,00 por ano de mão de obra, energia etc., diminuindo a percentagem de defeitos para
da produção. A taxa mínima de retorno é de
ao ano. Qual a produção anual necessária da fabrica para que esses investimentos sejam viáveis?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Percentagem atual de peças defeituosas:
. - Custo de reparo por peça defeituosa:
por unidade. - Investimento adicional inicial:
. - Valor residual após 10 anos:
. - Custos anuais adicionais (mão de obra, energia etc.):
por ano. - Novo percentual de defeitos após investimento:
. - Vida útil considerada:
anos. - Taxa mínima de retorno (MARR):
ao ano.
O que o enunciado pede: determinar a produção anual necessária da fábrica (unidades por ano) para que o investimento seja viável ao nível de retorno mínimo de
(ou seja, para que o valor presente líquido do projeto seja pelo menos zero).
Passo 2
Definir variável e calcular a economia por unidade.
-
Seja
a produção anual (em unidades por ano) que queremos encontrar. -
Custo esperado de reparo por unidade hoje:
- Custo esperado de reparo por unidade após melhoria:
- Portanto, a economia por unidade produzida devido à redução de defeitos é
Explicação didática rápida: aqui estamos usando expectativa matemática simples — a probabilidade de uma peça ser defeituosa multiplicada pelo custo de reparo nos dá o custo médio de reparo por unidade produzida. A diferença entre antes e depois é a economia por unidade.
Passo 3
Escrever o benefício anual líquido (fluxo anual) gerado pela melhoria.
- Receita/benefício anual pela redução de defeitos (antes de custos extras) é
por unidade multiplicado por :
- Subtrai-se o custo anual adicional fixo de
para obter o benefício anual líquido:
Aqui
é o fluxo anual líquido (em $/ano) que o projeto gera, antes de descontar para valor presente.
Passo 4
Escolher o método de avaliação e escrever a equação do Valor Presente Líquido (VPL).
-
Método: valor presente (NPV) dos fluxos sobre 10 anos com taxa
. -
Fórmulas que vamos usar:
- Fator de valor presente de uma série uniforme (anuidade):
- Valor presente de um valor único (resíduo)
no fim de anos:
-
Escrevendo o VPL do projeto (tomando sinal negativo para o investimento inicial):
onde:
-
é o investimento inicial, -
é o fluxo anual líquido (definido no passo anterior), -
é o valor residual, -
e .
O projeto é viável se
. Vamos achar o menor
tal que a igualdade ocorra.
Passo 5
Calcular numericamente os fatores de desconto e substituir na equação.
- Primeiro calcule
:
- Então o fator
é
- Valor presente do valor residual:
Agora substituímos tudo na equação do VPL e igualamos a zero para achar
:
Passo 6
Resolver a equação para
(algébrica e aritmética detalhada).
- Expandindo:
- Calcular os coeficientes:
- Substituindo e reunindo constantes:
- Somando as constantes:
- Assim:
- Isolando
:
Interpretação numérica: o cálculo dá aproximadamente
unidades por ano.
Passo 7
Conclusão prática e arredondamento.
- Como
representa número de unidades por ano, deve-se arredondar para cima (para garantir ). Portanto a produção anual mínima necessária é
- Interpretação final: se a fábrica produzir pelo menos
unidades por ano, a economia com a redução de defeitos compensa o investimento inicial, os custos anuais adicionais e leva a um VPL não negativo ao desconto de em 10 anos. Se produzir menos do que isso, o investimento não é viável com a taxa exigida.
Resposta
8.951 unidades por ano