1. Analise a viabilidade de se melhorar o padrão de qualidade de uma fábrica através de compra de equipamentos adicionais que diminuíram a percentagem de peças defeituosas produzidas. Atualmente essa percentagem é de 10 \% sendo o custo do reparo por conta do fabricante no valor de $150,00. por unidade. Os investimentos adicionais são de $90.000,00. e o valor residual de $15.000,00. após dez anos de utilização, com custos anuais adicionais de $40.000,00 por ano de mão de obra, energia etc., diminuindo a percentagem de defeitos para 6 \% da produção. A taxa mínima de retorno é de 10 \% ao ano. Qual a produção anual necessária da fabrica para que esses investimentos sejam viáveis?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Percentagem atual de peças defeituosas: 10\%.
  • Custo de reparo por peça defeituosa: \$150{,}00 por unidade.
  • Investimento adicional inicial: \$90.000{,}00.
  • Valor residual após 10 anos: \$15.000{,}00.
  • Custos anuais adicionais (mão de obra, energia etc.): \$40.000{,}00 por ano.
  • Novo percentual de defeitos após investimento: 6\%.
  • Vida útil considerada: 10 anos.
  • Taxa mínima de retorno (MARR): 10\% ao ano.
O que o enunciado pede: determinar a produção anual necessária da fábrica (unidades por ano) para que o investimento seja viável ao nível de retorno mínimo de 10\% (ou seja, para que o valor presente líquido do projeto seja pelo menos zero).

Passo 2

Definir variável e calcular a economia por unidade.
  • Seja x a produção anual (em unidades por ano) que queremos encontrar.
  • Custo esperado de reparo por unidade hoje:
\text{custo\_hoje por unidade} = 0,10 \cdot 150 = \$15{,}00.
  • Custo esperado de reparo por unidade após melhoria:
\text{custo\_depois por unidade} = 0,06 \cdot 150 = \$9{,}00.
  • Portanto, a economia por unidade produzida devido à redução de defeitos é
\text{economia por unidade} = 15 - 9 = \$6{,}00.
Explicação didática rápida: aqui estamos usando expectativa matemática simples — a probabilidade de uma peça ser defeituosa multiplicada pelo custo de reparo nos dá o custo médio de reparo por unidade produzida. A diferença entre antes e depois é a economia por unidade.

Passo 3

Escrever o benefício anual líquido (fluxo anual) gerado pela melhoria.
  • Receita/benefício anual pela redução de defeitos (antes de custos extras) é \$6{,}00 por unidade multiplicado por x:
\text{economia anual bruta} = 6 \cdot x.
  • Subtrai-se o custo anual adicional fixo de \$40.000{,}00 para obter o benefício anual líquido:
B = 6\cdot x - 40.000.
Aqui B é o fluxo anual líquido (em $/ano) que o projeto gera, antes de descontar para valor presente.

Passo 4

Escolher o método de avaliação e escrever a equação do Valor Presente Líquido (VPL).
  • Método: valor presente (NPV) dos fluxos sobre 10 anos com taxa i=10\%.
  • Fórmulas que vamos usar:
    • Fator de valor presente de uma série uniforme (anuidade):
    \left(P/A, i, n\right)=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
    • Valor presente de um valor único (resíduo) S no fim de n anos:
    \text{PV}(S)=S(1+i)^{-n}.
  • Escrevendo o VPL do projeto (tomando sinal negativo para o investimento inicial):
\text{VPL} = -I + B\cdot\left(P/A,i,n\right) + S(1+i)^{-n},
onde:
  • I=90.000 é o investimento inicial,
  • B=6x-40.000 é o fluxo anual líquido (definido no passo anterior),
  • S=15.000 é o valor residual,
  • i=0{,}10 e n=10.
O projeto é viável se \text{VPL}\ge 0. Vamos achar o menor x tal que a igualdade ocorra.

Passo 5

Calcular numericamente os fatores de desconto e substituir na equação.
  • Primeiro calcule (1+i)^{-n}:
(1{,}1)^{-10} \approx 0{,}3855432894.
  • Então o fator (P/A,0{,}10,10) é
\left(P/A,0{,}10,10\right)=\frac{1-(1{,}1)^{-10}}{0{,}1} \approx \frac{1-0{,}3855432894}{0{,}1} \approx 6{,}144567106.
  • Valor presente do valor residual:
S(1+i)^{-n}=15.000\cdot 0{,}3855432894 \approx 5.783{,}15.
Agora substituímos tudo na equação do VPL e igualamos a zero para achar x:
0 = -90.000 + (6x-40.000)\cdot 6{,}144567106 + 5.783{,}15.

Passo 6

Resolver a equação para x (algébrica e aritmética detalhada).
  • Expandindo:
(6x-40.000)\cdot 6{,}144567106 = 6\cdot 6{,}144567106 \cdot x - 40.000\cdot 6{,}144567106.
  • Calcular os coeficientes:
6\cdot 6{,}144567106 \approx 36{,}867402636,
40.000\cdot 6{,}144567106 \approx 245.782{,}68.
  • Substituindo e reunindo constantes:
0 = -90.000 + 36{,}867402636\;x - 245.782{,}68 + 5.783{,}15.
  • Somando as constantes:
-90.000 -245.782{,}68 + 5.783{,}15 \approx -329.999{,}53.
  • Assim:
0 = 36{,}867402636\;x - 329.999{,}53.
  • Isolando x:
x = \frac{329.999{,}53}{36{,}867402636} \approx 8.950{,}98.
Interpretação numérica: o cálculo dá aproximadamente x \approx 8.950{,}98 unidades por ano.

Passo 7

Conclusão prática e arredondamento.
  • Como x representa número de unidades por ano, deve-se arredondar para cima (para garantir \text{VPL}\ge 0). Portanto a produção anual mínima necessária é
x = 8.951\\ \text{unidades por ano}.
  • Interpretação final: se a fábrica produzir pelo menos 8.951 unidades por ano, a economia com a redução de defeitos compensa o investimento inicial, os custos anuais adicionais e leva a um VPL não negativo ao desconto de 10\% em 10 anos. Se produzir menos do que isso, o investimento não é viável com a taxa exigida.

Resposta

8.951 unidades por ano

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