1. O ângulo formado entre os vetores \vec{u}= (1,-1) e \vec{v}=(1,2) é igual a:
    a) \operatorname{arccos} \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right);

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no plano e pede o ângulo entre eles. Dados fornecidos:
  • \vec{u}=(1,-1).
  • \vec{v}=(1,2).
    Pergunta: qual é o ângulo formado entre \vec{u} e \vec{v}?

Passo 2

Fórmula-chave que precisamos (é muito comum em provas): para dois vetores \vec{u} e \vec{v} vale
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta,
onde:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar (ou dot product) dos vetores;
  • \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\| são as normas (comprimentos) dos vetores;
  • \theta é o ângulo entre eles, com 0\le\theta\le\pi.
    Explicando as peças:
  • Produto escalar em coordenadas: se \vec{u}=(u_1,u_2) e \vec{v}=(v_1,v_2), então \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2.
  • Norma: \|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} usando as componentes (peguei os componentes do enunciado):
\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot 1 + (-1)\cdot 2 = 1-2 = -1.

Passo 4

Calcular as normas:
\|\vec{u}\|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2},
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.

Passo 5

Substituir na fórmula do Passo 2 para achar \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}=\frac{-1}{\sqrt{2}\,\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}.
Comentário prático: o sinal negativo indica que o ângulo é obtuso (maior que 90^\circ). Agora basta aplicar a função inversa do cosseno.

Passo 6

Concluir o valor do ângulo:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right).
Observação útil para a prova: verifique sempre o sinal do produto escalar — é o que diz se o ângulo é agudo (produto escalar positivo) ou obtuso (produto escalar negativo). Um erro comum é esquecer o sinal ao somar as componentes.

Resposta

\operatorname{arccos}\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)

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