1. O ângulo formado entre os vetores \vec{u}= (1,2,1) e \vec{v}=(2,1,-1) é igual a:
    a) \operatorname{arccos} \left(\frac{5}{6}\right) radianos

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,2,1) e \vec{v}=(2,1,-1) e pede o ângulo formado entre eles.
Informações relevantes fornecidas:
  • \vec{u}=(1,2,1).
  • \vec{v}=(2,1,-1).
    Pergunta a responder: determinar o valor do ângulo \theta entre \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado com calma): produto escalar e relação com o ângulo.
  • Definição do produto escalar em \mathbb{R}^3: se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Aqui cada u_i e v_i é a componente correspondente dos vetores. O produto escalar é um número (escalar).
  • Norma (comprimento) de um vetor: para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3),
\|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
Isso mede o “tamanho” do vetor.
  • Relação entre produto escalar e ângulo: o produto escalar também satisfaz
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Assim, para encontrar \theta isolamos \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}.
Resumo prático para a prova: calcule primeiro \vec{u}\cdot\vec{v}, depois \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|, e por fim aplique a fórmula acima.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} usando as componentes dadas:
\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot2 + 2\cdot1 + 1\cdot(-1)=2+2-1=3.

Passo 4

Calcular as normas de \vec{u} e \vec{v}:
\|\vec{u}\|=\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6},
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.
Observação prática: aqui os dois vetores têm o mesmo comprimento \sqrt{6}, o que simplifica os cálculos.

Passo 5

Substituir na fórmula de \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}=\frac{3}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
Portanto
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{2}\right).
Lembrando os valores trigonométricos conhecidos, \operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\pi}{3} (ou seja, 60^\circ).
Comentário amigo: a alternativa do enunciado \operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{5}{6}\right) está incorreta — o valor correto é \operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\pi}{3}.

Passo 6

Dica rápida para a prova (resumindo o procedimento):
  1. calcule \vec{u}\cdot\vec{v} somando produtos das componentes;
  2. calcule \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\| como raízes quadradas da soma dos quadrados das componentes;
  3. use \cos\theta=(\vec{u}\cdot\vec{v})/(\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|) e reconheça valores trigonométricos comuns ( \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}, etc.). Você consegue — respira fundo e faz passo a passo!

Resposta

\dfrac{\pi}{3}

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