O ângulo entre a reta r: X=(1,2,3)+\lambda(3,1,3), \lambda \in \mathbb{R} e a reta s: X=(2,-1,4)+\gamma(3,-4,2), \gamma \in \mathbb{R} é:
Escolha uma opção:
◯ a. 72,65^{\circ}
◯ b. 62,06^{\circ}
◯ c. 87,56^{\circ}
◯ d. 66,61^{\circ}
◯ e. 35,96^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço com forma paramétrica e pede o ângulo entre elas. Informações fornecidas:
  • Reta r: ponto (1,2,3) e direção \vec{v}=(3,1,3). (Peguei o vetor diretor da expressão \lambda(3,1,3).)
  • Reta s: ponto (2,-1,4) e direção \vec{w}=(3,-4,2). (Peguei o vetor diretor da expressão \gamma(3,-4,2).)
    O que se pede: o ângulo entre as retas r e s.
    Observação importante: o ângulo entre duas retas no espaço é o ângulo entre seus vetores diretores; normalmente toma-se o ângulo agudo (entre 0^\circ e 90^\circ).

Passo 2

Relembrando a fórmula que usamos (mini-aula):
  • Produto escalar de dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
  • A norma (módulo) de \vec{a} é
\|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}.
  • A relação entre produto escalar e ângulo \theta entre os vetores é
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta.
Portanto, para obter \theta isolamos
\cos\theta=\frac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|},
onde o valor absoluto garante o ângulo agudo. Vamos aplicar com \vec{v}=(3,1,3) e \vec{w}=(3,-4,2).

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{w}:
\vec{v}\cdot\vec{w}=3\cdot3 + 1\cdot(-4) + 3\cdot2 = 9-4+6 = 11.

Passo 4

Calcular as normas \|\vec{v}\| e \|\vec{w}\|:
\|\vec{v}\|=\sqrt{3^{2}+1^{2}+3^{2}}=\sqrt{9+1+9}=\sqrt{19},
\|\vec{w}\|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}+2^{2}}=\sqrt{9+16+4}=\sqrt{29}.

Passo 5

Calcular \cos\theta e em seguida \theta:
\cos\theta=\frac{|\vec{v}\cdot\vec{w}|}{\|\vec{v}\|\,\|\vec{w}\|}=\frac{11}{\sqrt{19}\,\sqrt{29}}=\frac{11}{\sqrt{551}}.
Agora valor numérico aproximado: \sqrt{551}\approx 23,473389, então
\cos\theta\approx\frac{11}{23,473389}\approx 0,46861.
Tomando o arco cosseno em graus:
\theta=\operatorname{arccos}(0,46861)\approx 62,06^\circ.

Resposta

b. 62,06^\circ

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