Se A é antissimétrica, mostre que A^{2} é simétrica. Se A^{2} é simétrica, podemos afirmar que A é simétrica ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá duas tarefas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede:
  • Dado: uma matriz A (assumimos quadrada, pois falamos de antissimetria e potências) e a informação de que A é antissimétrica.
  • Pedido 1: Mostrar que, sob essa hipótese, A^{2} é simétrica.
  • Pedido 2: Perguntar se, sabendo que A^{2} é simétrica, podemos afirmar que A é simétrica. Pedem justificativa (aceita contraexemplo).
Informações importantes extraídas do enunciado (que usarei depois):
  • “Antissimétrica” significa que \,A^{T}=-A.
  • “Simétrica” significa que \,M^{T}=M para uma matriz M.

Passo 2

Vou lembrar e explicar as propriedades de transposição que vou usar — passo a passo, como num caderno de prova:
  • Definições: \text{A é antissimétrica} \iff A^{T}=-A.éé
\text{M é simétrica} \iff M^{T}=M.éé
Aqui A^{T} é a transposta de A: troca linhas por colunas.
  • Propriedade da transposta do produto (ferramental):
    (BC)^{T}=C^{T}B^{T},
    para quaisquer matrizes compatíveis B e C. Isso é uma regra básica de álgebra matricial; ela diz que ao transpor um produto você inverte a ordem dos fatores e transpõe cada um.
  • Consequência para uma potência:
    (A^{2})^{T}=(AA)^{T}=A^{T}A^{T}=(A^{T})^{2}.
    Ou seja, transpor A^{2} equivale a elevar ao quadrado a transposta A^{T}.
Vou usar essas propriedades explicitamente na demonstração.

Passo 3

Agora demonstro que, se A é antissimétrica ( A^{T}=-A), então A^{2} é simétrica.
Começo calculando a transposta de A^{2} e uso as propriedades citadas:
(A^{2})^{T}=(AA)^{T}=A^{T}A^{T}.
Como A é antissimétrica, substituo A^{T}=-A na expressão acima:
A^{T}A^{T}=(-A)(-A).
Multiplicando os sinais:
(-A)(-A)=A A = A^{2}.
Portanto:
(A^{2})^{T}=A^{2}.
Interpretação do que acabamos de obter: a igualdade (A^{2})^{T}=A^{2} é exatamente a definição de simetria para a matriz A^{2}. Assim mostramos que toda matriz antissimétrica tem o quadrado simétrico. Dica prática para prova: esse argumento é curto e depende só de A^{T}=-A e da propriedade (BC)^{T}=C^{T}B^{T}.

Passo 4

Agora respondo à segunda pergunta: se A^{2} é simétrica, podemos concluir que A é simétrica? Vou explicar por que a resposta é não e dar um contraexemplo concreto.
Ideia rápida: a condição (A^{2})^{T}=A^{2} implica (A^{T})^{2}=A^{2}, ou seja, as duas matrizes A e A^{T} têm o mesmo quadrado, mas isso não força A^{T}=A. Para ver isso com algo bem concreto, escolho uma matriz simples que é antissimétrica (logo não é simétrica) e cujo quadrado é simétrico.
Considere a matriz 2\times2
A=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Vou verificar duas coisas: (i) A não é simétrica; (ii) A^{2} é simétrica.
(i) Transposta de A:
A^{T}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix} = -A,
logo A é antissimétrica e, em particular, não é simétrica (pois A^{T}\neq A).
(ii) Calcular A^{2}:
A^{2}=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}(0\cdot0)+(-1\cdot1) & (0\cdot-1)+(-1\cdot0)\\[4pt](1\cdot0)+(0\cdot1) & (1\cdot-1)+(0\cdot0)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}=-I,
onde I é a matriz identidade 2\times2. A matriz -I é simétrica porque (-I)^{T}=-I.
Conclusão do contraexemplo: aqui A^{2} é simétrica ( A^{2}=-I), mas A não é simétrica. Isso prova que, em geral, não podemos afirmar que A é simétrica apenas porque A^{2} é simétrica.]

Passo 5

Comentário final e intuição: a implicação “ A antissimétrica \Rightarrow A^{2} simétrica” é verdadeira e simples pela propriedade da transposta. A implicação inversa não vale porque a propriedade de ter quadrado simétrico é mais fraca: tanto matrizes simétricas quanto antissimétricas (e outras) podem ter quadrados simétricos. Assim, saber que A^{2} é simétrica não determina a simetria de A.

Resposta

Se A é antissimétrica então A^{2} é simétrica.
Não; por exemplo A=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} satisfaz A^{2}=-I (simétrica) mas A não é simétrica.]

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