Se
é antissimétrica, mostre que
é simétrica. Se
é simétrica, podemos afirmar que
é simétrica ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá duas tarefas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede:
- Dado: uma matriz
(assumimos quadrada, pois falamos de antissimetria e potências) e a informação de que é antissimétrica. - Pedido 1: Mostrar que, sob essa hipótese,
é simétrica. - Pedido 2: Perguntar se, sabendo que
é simétrica, podemos afirmar que é simétrica. Pedem justificativa (aceita contraexemplo).
Informações importantes extraídas do enunciado (que usarei depois):
- “Antissimétrica” significa que
. - “Simétrica” significa que
para uma matriz .
Passo 2
Vou lembrar e explicar as propriedades de transposição que vou usar — passo a passo, como num caderno de prova:
- Definições:
Aqui
é a transposta de
: troca linhas por colunas.
-
Propriedade da transposta do produto (ferramental):para quaisquer matrizes compatíveis
e . Isso é uma regra básica de álgebra matricial; ela diz que ao transpor um produto você inverte a ordem dos fatores e transpõe cada um. -
Consequência para uma potência:Ou seja, transpor
equivale a elevar ao quadrado a transposta .
Vou usar essas propriedades explicitamente na demonstração.
Passo 3
Agora demonstro que, se
é antissimétrica (
), então
é simétrica.
Começo calculando a transposta de
e uso as propriedades citadas:
Como
é antissimétrica, substituo
na expressão acima:
Multiplicando os sinais:
Portanto:
Interpretação do que acabamos de obter: a igualdade
é exatamente a definição de simetria para a matriz
. Assim mostramos que toda matriz antissimétrica tem o quadrado simétrico. Dica prática para prova: esse argumento é curto e depende só de
e da propriedade
.
Passo 4
Agora respondo à segunda pergunta: se
é simétrica, podemos concluir que
é simétrica? Vou explicar por que a resposta é não e dar um contraexemplo concreto.
Ideia rápida: a condição
implica
, ou seja, as duas matrizes
e
têm o mesmo quadrado, mas isso não força
. Para ver isso com algo bem concreto, escolho uma matriz simples que é antissimétrica (logo não é simétrica) e cujo quadrado é simétrico.
Considere a matriz
Vou verificar duas coisas: (i)
não é simétrica; (ii)
é simétrica.
(i) Transposta de
:
logo
é antissimétrica e, em particular, não é simétrica (pois
).
(ii) Calcular
:
onde
é a matriz identidade
. A matriz
é simétrica porque
.
Conclusão do contraexemplo: aqui
é simétrica (
), mas
não é simétrica. Isso prova que, em geral, não podemos afirmar que
é simétrica apenas porque
é simétrica.]
Passo 5
Comentário final e intuição: a implicação “
antissimétrica
simétrica” é verdadeira e simples pela propriedade da transposta. A implicação inversa não vale porque a propriedade de ter quadrado simétrico é mais fraca: tanto matrizes simétricas quanto antissimétricas (e outras) podem ter quadrados simétricos. Assim, saber que
é simétrica não determina a simetria de
.
Resposta
Se
é antissimétrica então
é simétrica.
Não; por exemplo
satisfaz
(simétrica) mas
não é simétrica.]