Aplicar dez iterações do método do meio intervalo à função f(x)=x^{3}-4 no intervalo [1,2] e estimar o erro a partir de |f\text{(c)}|, onde c é o ponto médio do último intervalo.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já foi dado:
  • Pede-se aplicar dez iterações do método do meio intervalo (bissecção) à função f(x)=x^{3}-4 no intervalo [1,2].
  • Depois de dez iterações, pedir-se-á estimar o erro a partir de |f\text{(c)}|, onde c é o ponto médio do último intervalo obtido.
  • Informações iniciais extraídas do enunciado:
    • f(1)=1^{3}-4=-3.
    • f(2)=2^{3}-4=4.
    • Como f(1) e f(2) têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em (1,2) e o método do meio intervalo pode ser aplicado.

Passo 2

Breve explicação do método do meio intervalo (bissecção) e da ideia de estimar o erro por |f\text{(c)}|.
  • Regra do método: dado um intervalo [a,b] com f(a)\,f(b)<0, calcula-se o ponto médio
c=\frac{a+b}{2}.
Se f\text{(c)}=0 a raiz foi encontrada. Caso contrário, escolhe-se o subintervalo [a,c] ou [c,b] onde há mudança de sinal (isto é, onde f tem valores de sinais opostos) e repete-se o processo.
  • Propriedade útil do método: após n iterações o comprimento do intervalo é
\ell_n=\frac{b-a}{2^{n}}.
Portanto, a distância entre o ponto médio c_n do intervalo após n iterações e a raiz verdadeira r satisfaz
|c_n-r|\le \frac{\ell_n}{2}=\frac{b-a}{2^{n+1}}.
  • Estimativa de erro a partir de |f\text{(c)}|: pelo Teorema do Valor Médio, existe \xi entre c e r tal que
f\text{(c)}-f(r)=f'(\xi)\,(c-r).
Como f(r)=0, obtemos
|c-r|=\frac{|f\text{(c)}|}{|f'(\xi)|}\le\frac{|f\text{(c)}|}{m},
onde m=\min_{x\in I}|f'(x)| e I é o intervalo final que contém tanto c quanto r. Para a nossa função f'(x)=3x^{2}, que é crescente em x\ge0, o mínimo em um intervalo positivo [a,b] ocorre em a: m=3a^{2}. Assim obteremos uma estimativa prática
|c-r|\le\frac{|f\text{(c)}|}{3a^{2}},
usando a igual ao extremo esquerdo do último intervalo obtido (fica mais preciso do que usar o mínimo em todo [1,2]).

Passo 3

Iteração 1:
  • Intervalo inicial: [a_{0},b_{0}]=[1,2].
  • Ponto médio:
c_{1}=\frac{1+2}{2}=1,5.
  • Avaliação:
f(1,5)=1,5^{3}-4=3,375-4=-0,625.
  • Como f(1)=-3<0 e f(1,5)=-0,625<0, a mudança de sinal está em [1,5,2] entre 1,5 e 2. Novo intervalo:
[a_{1},b_{1}]=[1,5,2]=[1{,}5,2].

Passo 4

Iteração 2:
  • Ponto médio:
c_{2}=\frac{1{,}5+2}{2}=1{,}75.
  • Avaliação:
f(1{,}75)=1{,}75^{3}-4=5{,}359375-4=1{,}359375>0.
  • Como f(1{,}5)<0 e f(1{,}75)>0, a raiz fica em [1{,}5,1{,}75]. Novo intervalo:
[a_{2},b_{2}]=[1{,}5,1{,}75].

Passo 5

Iteração 3:
  • Ponto médio:
c_{3}=\frac{1{,}5+1{,}75}{2}=1{,}625.
  • Avaliação:
f(1{,}625)=1{,}625^{3}-4=4{,}291015625-4=0{,}291015625>0.
  • Como f(1{,}5)<0 e f(1{,}625)>0, novo intervalo:
[a_{3},b_{3}]=[1{,}5,1{,}625].

Passo 6

Iteração 4:
  • Ponto médio:
c_{4}=\frac{1{,}5+1{,}625}{2}=1{,}5625.
  • Avaliação:
f(1{,}5625)=1{,}5625^{3}-4=3{,}814697265625-4=-0{,}185302734375<0.
  • Como f(1{,}5625)<0 e f(1{,}625)>0, novo intervalo:
[a_{4},b_{4}]=[1{,}5625,1{,}625].

Passo 7

Iteração 5:
  • Ponto médio:
c_{5}=\frac{1{,}5625+1{,}625}{2}=1{,}59375.
  • Avaliação:
f(1{,}59375)=1{,}59375^{3}-4=4{,}048095703125-4=0{,}048095703125>0.
  • Como f(1{,}5625)<0 e f(1{,}59375)>0, novo intervalo:
[a_{5},b_{5}]=[1{,}5625,1{,}59375].

Passo 8

Iteração 6:
  • Ponto médio:
c_{6}=\frac{1{,}5625+1{,}59375}{2}=1{,}578125.
  • Avaliação:
f(1{,}578125)=1{,}578125^{3}-4=3{,}9305419921875-4=-0{,}0694580078125<0.
  • Como f(1{,}578125)<0 e f(1{,}59375)>0, novo intervalo:
[a_{6},b_{6}]=[1{,}578125,1{,}59375].

Passo 9

Iteração 7:
  • Ponto médio:
c_{7}=\frac{1{,}578125+1{,}59375}{2}=1{,}5859375.
  • Avaliação:
f(1{,}5859375)=1{,}5859375^{3}-4=3{,}9889449472427378-4\approx-0{,}0110550527572632.
(mais precisamente f(1{,}5859375)\approx-0{,}0110550527572632, mantive poucos dígitos para leitura)
  • Como f(1{,}5859375)<0 e f(1{,}59375)>0, novo intervalo:
[a_{7},b_{7}]=[1{,}5859375,1{,}59375].

Passo 10

Iteração 8:
  • Ponto médio:
c_{8}=\frac{1{,}5859375+1{,}59375}{2}=1{,}58984375.
  • Avaliação:
f(1{,}58984375)=1{,}58984375^{3}-4=4{,}018503427505493-4\approx0{,}018503427505493.
  • Como f(1{,}5859375)<0 e f(1{,}58984375)>0, novo intervalo:
[a_{8},b_{8}]=[1{,}5859375,1{,}58984375].

Passo 11

Iteração 9:
  • Ponto médio:
c_{9}=\frac{1{,}5859375+1{,}58984375}{2}=1{,}587890625.
  • Avaliação:
f(1{,}587890625)=1{,}587890625^{3}-4=4{,}003702163696289-4\approx0{,}0037021636962891.
  • Como f(1{,}5859375)<0 e f(1{,}587890625)>0, novo intervalo:
[a_{9},b_{9}]=[1{,}5859375,1{,}587890625].

Passo 12

Iteração 10:
  • Ponto médio (último ponto médio, c pedido no enunciado):
c_{10}=\frac{1{,}5859375+1{,}587890625}{2}=1{,}5869140625.
  • Avaliação:
f(1{,}5869140625)=1{,}5869140625^{3}-4 = -0{,}003681182861328125.
Portanto |f(c_{10})|=0{,}003681182861328125.
  • Depois desta avaliação, o próximo intervalo seria [1{,}5869140625,1{,}587890625] porque f(c_{10})<0 e f(b_{9})>0. Assim o último intervalo (após 10 iterações) é
[a_{10},b_{10}]=[1{,}5869140625,\,1{,}587890625].

Passo 13

Estimativa do erro a partir de |f\text{(c)}| usando o Teorema do Valor Médio e f'(x)=3x^{2}.
  • No último intervalo temos a_{10}=1{,}5869140625. Como f' é crescente em [1,2], o mínimo de |f'(x)| em [a_{10},b_{10}] é m=f'(a_{10})=3a_{10}^{2}.
  • Calculemos a_{10}^{2} e m:
a_{10}^{2}=(1{,}5869140625)^{2}=2{,}51849365234375,
m=3a_{10}^{2}=3\cdot2{,}51849365234375=7{,}55548095703125.
  • Assim, pela desigualdade |c_{10}-r|\le \dfrac{|f(c_{10})|}{m}, obtemos
|c_{10}-r|\le\frac{0{,}003681182861328125}{7{,}55548095703125}\approx0{,}00048714\\ (\text{aprox.}).
  • Comparação com o limite teórico do método de bissecção (checa se faz sentido): comprimento do último intervalo é
\ell_{10}=\frac{2-1}{2^{10}}=\frac{1}{1024}=0{,}0009765625,
portanto a distância máxima do ponto médio à raiz pelo argumento do intervalo é
\frac{\ell_{10}}{2}=\frac{1}{2048}=0{,}00048828125,
que é très próximo da estimativa obtida a partir de |f\text{(c)}|. Isso confirma coerência numérica.

Resposta

c=1{,}5869140625
|c-r|\le \dfrac{|f\text{(c)}|}{m}\approx 0{,}00048714

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