Aplicar dez iterações do método do meio intervalo à função
no intervalo
e estimar o erro a partir de
, onde
é o ponto médio do último intervalo.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já foi dado:
- Pede-se aplicar dez iterações do método do meio intervalo (bissecção) à função
no intervalo . - Depois de dez iterações, pedir-se-á estimar o erro a partir de
, onde é o ponto médio do último intervalo obtido. - Informações iniciais extraídas do enunciado:
-
. -
. - Como
e têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em e o método do meio intervalo pode ser aplicado.
-
Passo 2
Breve explicação do método do meio intervalo (bissecção) e da ideia de estimar o erro por
.
- Regra do método: dado um intervalo
com , calcula-se o ponto médio
Se
a raiz foi encontrada. Caso contrário, escolhe-se o subintervalo
ou
onde há mudança de sinal (isto é, onde
tem valores de sinais opostos) e repete-se o processo.
- Propriedade útil do método: após
iterações o comprimento do intervalo é
Portanto, a distância entre o ponto médio
do intervalo após
iterações e a raiz verdadeira
satisfaz
- Estimativa de erro a partir de
: pelo Teorema do Valor Médio, existe entre e tal que
Como
, obtemos
onde
e
é o intervalo final que contém tanto
quanto
. Para a nossa função
, que é crescente em
, o mínimo em um intervalo positivo
ocorre em
:
. Assim obteremos uma estimativa prática
usando
igual ao extremo esquerdo do último intervalo obtido (fica mais preciso do que usar o mínimo em todo
).
Passo 3
Iteração 1:
- Intervalo inicial:
. - Ponto médio:
- Avaliação:
- Como
e , a mudança de sinal está em entre e . Novo intervalo:
Passo 4
Iteração 2:
- Ponto médio:
- Avaliação:
- Como
e , a raiz fica em . Novo intervalo:
Passo 5
Iteração 3:
- Ponto médio:
- Avaliação:
- Como
e , novo intervalo:
Passo 6
Iteração 4:
- Ponto médio:
- Avaliação:
- Como
e , novo intervalo:
Passo 7
Iteração 5:
- Ponto médio:
- Avaliação:
- Como
e , novo intervalo:
Passo 8
Iteração 6:
- Ponto médio:
- Avaliação:
- Como
e , novo intervalo:
Passo 9
Iteração 7:
- Ponto médio:
- Avaliação:
(mais precisamente
, mantive poucos dígitos para leitura)
- Como
e , novo intervalo:
Passo 10
Iteração 8:
- Ponto médio:
- Avaliação:
- Como
e , novo intervalo:
Passo 11
Iteração 9:
- Ponto médio:
- Avaliação:
- Como
e , novo intervalo:
Passo 12
Iteração 10:
- Ponto médio (último ponto médio,
pedido no enunciado):
- Avaliação:
Portanto
.
- Depois desta avaliação, o próximo intervalo seria
porque e . Assim o último intervalo (após 10 iterações) é
Passo 13
Estimativa do erro a partir de
usando o Teorema do Valor Médio e
.
- No último intervalo temos
. Como é crescente em , o mínimo de em é . - Calculemos
e :
- Assim, pela desigualdade
, obtemos
- Comparação com o limite teórico do método de bissecção (checa se faz sentido): comprimento do último intervalo é
portanto a distância máxima do ponto médio à raiz pelo argumento do intervalo é
que é très próximo da estimativa obtida a partir de
. Isso confirma coerência numérica.