Aplicar eliminação de Gauss a um sistema 3 \times 3 sem pivotação.

Passo 1

O que o enunciado pede: aplicar eliminação de Gauss a um sistema [3\times3) sem pivotação — isto é, transformar o sistema em triangular superior usando apenas operações elementares sobre linhas (sem trocar linhas), e depois resolver por substituição reversa.
O sistema dado (informação que vou usar) é o sistema linear geral de três equações e três incógnitas, com coeficientes e termos independentes genéricos:
\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1,\\[4pt] a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2,\\[4pt] a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3. \end{cases}
Assunções necessárias para proceder sem pivotação (o enunciado não forneceu valores numéricos):
  • a_{11}\neq 0\] (para poder dividir por \(a_{11} ao eliminar abaixo),
  • a segunda pivô depois da primeira eliminação \tilde a_{22}\neq 0,
  • a terceira pivô \hat a_{33}\neq 0.
    Se algum desses for zero, não há como continuar sem trocar linhas (isto é, sem pivotação).]

Passo 2

O que é permitido fazer e a ideia rápida: operações elementares sobre linhas não alteram o conjunto de soluções. As operações que usaremos são do tipo
  • R_j \leftarrow R_j - m\,R_i,
    onde m é um multiplicador escolhido para anular um coeficiente abaixo do pivô.
Primeira etapa (eliminar os coeficientes da coluna 1 nas linhas 2 e 3). Defino os multiplicadores
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}},\qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}.
Então aplico:
R_2 \leftarrow R_2 - m_{21} R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - m_{31} R_1.
Vou calcular explicitamente os novos coeficientes que aparecem nas linhas 2 e 3 após essas operações.

Passo 3

Atualização das linhas 2 e 3 após eliminar a coluna 1:
Para a linha 2 (após a operação R_2 \leftarrow R_2 - m_{21}R_1) os coeficientes e termo independente ficam
\tilde a_{22}=a_{22}-\frac{a_{21}}{a_{11}}a_{12}, \qquad \tilde a_{23}=a_{23}-\frac{a_{21}}{a_{11}}a_{13}, \qquad \tilde b_{2}=b_{2}-\frac{a_{21}}{a_{11}}b_{1}.
Para a linha 3 (após a operação R_3 \leftarrow R_3 - m_{31}R_1) os novos valores são
\tilde a_{32}=a_{32}-\frac{a_{31}}{a_{11}}a_{12}, \qquad \tilde a_{33}=a_{33}-\frac{a_{31}}{a_{11}}a_{13}, \qquad \tilde b_{3}=b_{3}-\frac{a_{31}}{a_{11}}b_{1}.
Observação didática curta sobre estes cálculos: subtrair m_{21} vezes a primeira linha da segunda faz com que o novo coeficiente de x na segunda linha seja
a_{21}-m_{21}a_{11}=a_{21}-\frac{a_{21}}{a_{11}}a_{11}=0,
por isso a eliminação funciona. Os outros novos coeficientes são obtidos aplicando a mesma combinação linear às outras entradas da linha.

Passo 4

Segunda etapa de eliminação: anular o elemento \tilde a_{32} (entrada da linha 3, coluna 2) usando a linha 2 como pivô. Defino o multiplicador
m_{32}=\frac{\tilde a_{32}}{\tilde a_{22}},
assumindo \tilde a_{22}\neq 0. Aplico a operação
R_3 \leftarrow R_3 - m_{32} R_2.
Com isso, a linha 3 final fica com o coeficiente de y nulo e os novos coeficientes/termo são
\hat a_{33}=\tilde a_{33}-m_{32}\tilde a_{23}, \qquad \hat b_{3}=\tilde b_{3}-m_{32}\tilde b_{2}.
Agora o sistema está em forma triangular superior (as linhas 1 e 2 permanecem ou com seus novos valores, e a linha 3 tem apenas coeficiente de z diferente de zero):
\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1,\\[4pt] 0\cdot x + \tilde a_{22}y + \tilde a_{23}z = \tilde b_{2},\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y + \hat a_{33}z = \hat b_{3}. \end{cases}]

Passo 5

Substituição reversa (resolver a partir da última equação):
  • Primeiro obtenho z a partir da terceira equação (assumindo \hat a_{33}\neq 0):
z=\frac{\hat b_{3}}{\hat a_{33}}.
  • Em seguida encontro y usando a segunda equação:
y=\frac{\tilde b_{2}-\tilde a_{23}\,z}{\tilde a_{22}}.
  • Por fim obtenho x a partir da primeira equação:
x=\frac{b_{1}-a_{12}\,y-a_{13}\,z}{a_{11}}.
Cada uma dessas divisões é justificada porque, em eliminação sem pivotação, assume-se que os pivôs usados ( a_{11}, \tilde a_{22}, \hat a_{33}) são não nulos; se algum for zero seria necessário trocar linhas (pivotação).

Passo 6

Resumo prático passo-a-passo que você pode usar na prova (checklist rápido):
  1. Calcule m_{21}=\dfrac{a_{21}}{a_{11}} e m_{31}=\dfrac{a_{31}}{a_{11}}. Faça R_2\leftarrow R_2-m_{21}R_1 e R_3\leftarrow R_3-m_{31}R_1.
  2. Calcule \tilde a_{22},\tilde a_{23},\tilde b_{2} e \tilde a_{32},\tilde a_{33},\tilde b_{3} conforme no Passo 3.
  3. Calcule m_{32}=\dfrac{\tilde a_{32}}{\tilde a_{22}}. Faça R_3\leftarrow R_3-m_{32}R_2.
  4. Calcule \hat a_{33} e \hat b_{3} conforme no Passo 4.
  5. Faça substituição reversa: z=\dfrac{\hat b_{3}}{\hat a_{33}}, y=\dfrac{\tilde b_{2}-\tilde a_{23}z}{\tilde a_{22}}, x=\dfrac{b_{1}-a_{12}y-a_{13}z}{a_{11}}.
    Se algum denominador é zero, anote que é preciso trocar linhas (isto é, usar pivotação); sem pivotação não é possível continuar.

Resposta

z=\dfrac{\hat b_{3}}{\hat a_{33}}\
y=\dfrac{\tilde b_{2}-\tilde a_{23}\,z}{\tilde a_{22}}\
x=\dfrac{b_{1}-a_{12}\,y-a_{13}\,z}{a_{11}}
onde
\tilde a_{22}=a_{22}-\frac{a_{21}}{a_{11}}a_{12},\quad \tilde a_{23}=a_{23}-\frac{a_{21}}{a_{11}}a_{13},\quad \tilde b_{2}=b_{2}-\frac{a_{21}}{a_{11}}b_{1},
\tilde a_{32}=a_{32}-\frac{a_{31}}{a_{11}}a_{12},\quad \tilde a_{33}=a_{33}-\frac{a_{31}}{a_{11}}a_{13},\quad \tilde b_{3}=b_{3}-\frac{a_{31}}{a_{11}}b_{1},
m_{32}=\frac{\tilde a_{32}}{\tilde a_{22}},\quad \hat a_{33}=\tilde a_{33}-m_{32}\tilde a_{23},\quad \hat b_{3}=\tilde b_{3}-m_{32}\tilde b_{2}.

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