Aplicar eliminação de Gauss a um sistema 3 \times 3 sem pivotação.
Passo 1
O que o enunciado pede: aplicar eliminação de Gauss a um sistema [3\times3) sem pivotação — isto é, transformar o sistema em triangular superior usando apenas operações elementares sobre linhas (sem trocar linhas), e depois resolver por substituição reversa.
O sistema dado (informação que vou usar) é o sistema linear geral de três equações e três incógnitas, com coeficientes e termos independentes genéricos:
Observação didática curta sobre estes cálculos: subtrair m_{21} vezes a primeira linha da segunda faz com que o novo coeficiente de x na segunda linha seja
Agora o sistema está em forma triangular superior (as linhas 1 e 2 permanecem ou com seus novos valores, e a linha 3 tem apenas coeficiente de z diferente de zero):
Cada uma dessas divisões é justificada porque, em eliminação sem pivotação, assume-se que os pivôs usados (a_{11}, \tilde a_{22}, \hat a_{33}) são não nulos; se algum for zero seria necessário trocar linhas (pivotação).
Passo 6
Resumo prático passo-a-passo que você pode usar na prova (checklist rápido):
Calcule m_{21}=\dfrac{a_{21}}{a_{11}} e m_{31}=\dfrac{a_{31}}{a_{11}}. Faça R_2\leftarrow R_2-m_{21}R_1 e R_3\leftarrow R_3-m_{31}R_1.
Calcule \tilde a_{22},\tilde a_{23},\tilde b_{2} e \tilde a_{32},\tilde a_{33},\tilde b_{3} conforme no Passo 3.
Calcule \hat a_{33} e \hat b_{3} conforme no Passo 4.
Faça substituição reversa: z=\dfrac{\hat b_{3}}{\hat a_{33}}, y=\dfrac{\tilde b_{2}-\tilde a_{23}z}{\tilde a_{22}}, x=\dfrac{b_{1}-a_{12}y-a_{13}z}{a_{11}}.
Se algum denominador é zero, anote que é preciso trocar linhas (isto é, usar pivotação); sem pivotação não é possível continuar.