Aplicar a iteração inversa com deslocamento \mu=1,5 à mesma matriz e identificar qual autovalor está sendo aproximado.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Aplicar a iteração inversa com deslocamento \mu=1,5 à mesma matriz.
Identificar qual autovalor está sendo aproximado.
Informações fornecidas no enunciado que chegaram até aqui:
O deslocamento \mu=1,5 foi dado.
Há referência a “a mesma matriz”, mas essa matriz não foi enviada nem especificada nesse pedido.
Observação importante: sem a matriz concreta não é possível executar as iterações numéricas nem dar o valor numérico do autovalor aproximado para o caso pedido. Abaixo eu ensino passo a passo como aplicar o método (para que você possa fazer na sua matriz) e mostro um exemplo numérico com uma matriz simples para ilustrar.
Passo 2
O que é a iteração inversa com deslocamento e por que ela funciona (a ideia, com calma).
Suponha que a matriz seja \,A\in\mathbb{R}^{n\times n}\, e que queiramos aproximar um autovalor de A próximo a um número \mu.
Defina a matriz deslocada \,A_\mu = A - \mu I\,, onde I é a identidade de ordem n. O objetivo é explorar a inversa de A_\mu.
Se \lambda é um autovalor de A com autovetor v, então \lambda-\mu é autovalor de A_\mu com o mesmo autovetor v. Então um autvalor de (A_\mu)^{-1} é \dfrac{1}{\lambda-\mu}.
Assim, o autovalor de A mais próximo de \mu (isto é, com menor |\lambda-\mu|) corresponde ao autovalor de (A_\mu)^{-1} com maior módulo \left|\dfrac{1}{\lambda-\mu}\right|. Portanto, aplicar potência (ou iteração inversa) a (A_\mu)^{-1} faz com que os vetores convirjam para o autovetor associado ao autovalor de A mais próximo de \mu.
Passo 3
Algoritmo prático passo a passo (o que você executa na prova ou no caderno):
Escolha um vetor inicial \,x_0\neq 0\, (por exemplo um vetor com entradas 1). Para k=0,1,2,\dots faça:
Resolver o sistema linear
(A-\mu I)\,y_{k} = x_{k}.
Aqui (A-\mu I) é fixo: não calcule sua inversa explícita; resolva o sistema (por exemplo com eliminação de Gauss ou fatoração LU) — isso é mais eficiente e menos sujeito a erros de conta.
2. Normalizar:
x_{k+1} = \frac{y_{k}}{\lVert y_{k}\rVert},
onde \lVert y\rVert = \sqrt{y^\top y} é a norma euclidiana. A normalização evita overflow/underflow e estabiliza a iteração.
3. (Opcional, para obter o autovalor aproximado) Calcule a cota de Rayleigh
Esse \rho_{k+1} converge para o autovalor correspondente ao autovetor aproximado por x_{k+1}.
4. Critério de parada: pare quando \lVert x_{k+1}-x_k\rVert for menor que uma tolerância (por exemplo 10^{-6}) ou quando |\rho_{k+1}-\rho_k| for pequeno.
Explicação das variáveis:
\,A\,: matriz dada.
\,\mu\,: deslocamento (aqui \mu=1,5).
\,x_k\,: aproximação normalizada do autovetor na iteração k.
\,y_k\,: solução intermediária do sistema (A-\mu I) y = x_k.
\,\rho_k\,: aproximação do autovalor (Rayleigh quotient).
Dicas práticas:
Se for aplicar várias iterações, calcule uma fatoração LU de (A-\mu I) uma vez e use para resolver os sistemas em cada iteração (economiza trabalho).
Se \det(A-\mu I)=0 (isto é, \mu é exatamente um autovalor), então (A-\mu I) é singular e o método falha (o sistema não tem solução ou tem muitas soluções). Nesse caso escolha outro \mu próximo.
O método aproxima o autovalor de A cujo valor é mais próximo de \mu. Se houver dois autovalores à mesma distância de \mu, a convergência pode ser lenta ou ambígua.
Passo 4
Como identificar, numericamente, qual autovalor está sendo aproximado:
Depois de algumas iterações calcule \rho_k (Rayleigh quotient). Quando \rho_k se estabilizar, esse valor é a aproximação do autovalor \lambda.
Comparando \rho_k com os autovalores conhecidos (se tiver uma lista) você vê qual foi aproximado. Se não conhece os autovalores de antemão, a interpretação geral é: o autovalor aproximado é aquele de A tal que |\lambda-\mu| é mínimo.
Passo 5
Exemplo numérico simples (para ver na prática como fazer as contas à mão):
Tomemos como exemplo didático a matriz diagonal
O vetor x_1 aponta majoritariamente na primeira coordenada; se continuar, o método convergirá para o autovetor \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} associado ao autovalor \lambda=2 (porque \,|2-1,5|=0,5\, é menor do que |3-1,5|=1,5).
O Rayleigh quotient em x_1 dá uma aproximação de \lambda:
\rho_1=\frac{x_1^\top B x_1}{x_1^\top x_1}\approx 2.
Isso ilustra: com \mu=1,5 o método aprox. o autovalor \lambda=2, o qual é o mais próximo de \mu.]
Passo 6
O que fazer quando você tiver a sua matriz (resumo prático para aplicar na prova):
Forme (A-\mu I).
Se possível, fatorize (A-\mu I)=LU (uma vez só).
Escolha x_0 (por ex. vetor de 1s) e normalize.
Para cada iteração, resolva L U y_k = x_k, normalize x_{k+1}=y_k/\lVert y_k\rVert e calcule \rho_{k+1}.
Pare quando \rho e/ou x estabilizar.
O autovalor aproximado é \rho quando tolarância satisfeita; em termos conceituais é o autovalor de A mais próximo de \mu=1,5.
Passo 7
Casos especiais e armadilhas rápidas:
Se \mu for exatamente um autovalor de A então (A-\mu I) é singular e o método direto falha.
Se dois autovalores estiverem igualmente distantes de \mu, a convergência pode ser lenta ou levar a uma combinação linear; aí convém escolher outro \mu ou usar a iteração de Rayleigh (variação que atualiza \mu com o Rayleigh quotient).
Em provas não esqueça de mostrar que você resolveu o sistema (ou fez a fatoração) e de justificar por que o autovalor aproximado é o mais próximo de \mu.
Resposta
Não é possível aplicar numericamente a iteração inversa porque a matriz referida (“a mesma matriz”) não foi fornecida.
O autovalor que o método aproxima é o autovalor de A cujo valor é mais próximo de \mu=1,5.