Aplicar a iteração inversa com deslocamento \mu=1,5 à mesma matriz e identificar qual autovalor está sendo aproximado.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Aplicar a iteração inversa com deslocamento \mu=1,5 à mesma matriz.
  • Identificar qual autovalor está sendo aproximado.
Informações fornecidas no enunciado que chegaram até aqui:
  • O deslocamento \mu=1,5 foi dado.
  • Há referência a “a mesma matriz”, mas essa matriz não foi enviada nem especificada nesse pedido.
Observação importante: sem a matriz concreta não é possível executar as iterações numéricas nem dar o valor numérico do autovalor aproximado para o caso pedido. Abaixo eu ensino passo a passo como aplicar o método (para que você possa fazer na sua matriz) e mostro um exemplo numérico com uma matriz simples para ilustrar.

Passo 2

O que é a iteração inversa com deslocamento e por que ela funciona (a ideia, com calma).
  • Suponha que a matriz seja \,A\in\mathbb{R}^{n\times n}\, e que queiramos aproximar um autovalor de A próximo a um número \mu.
  • Defina a matriz deslocada \,A_\mu = A - \mu I\,, onde I é a identidade de ordem n. O objetivo é explorar a inversa de A_\mu.
  • Se \lambda é um autovalor de A com autovetor v, então \lambda-\mu é autovalor de A_\mu com o mesmo autovetor v. Então um autvalor de (A_\mu)^{-1} é \dfrac{1}{\lambda-\mu}.
  • Assim, o autovalor de A mais próximo de \mu (isto é, com menor |\lambda-\mu|) corresponde ao autovalor de (A_\mu)^{-1} com maior módulo \left|\dfrac{1}{\lambda-\mu}\right|. Portanto, aplicar potência (ou iteração inversa) a (A_\mu)^{-1} faz com que os vetores convirjam para o autovetor associado ao autovalor de A mais próximo de \mu.

Passo 3

Algoritmo prático passo a passo (o que você executa na prova ou no caderno):
Escolha um vetor inicial \,x_0\neq 0\, (por exemplo um vetor com entradas 1). Para k=0,1,2,\dots faça:
  1. Resolver o sistema linear
(A-\mu I)\,y_{k} = x_{k}.
Aqui (A-\mu I) é fixo: não calcule sua inversa explícita; resolva o sistema (por exemplo com eliminação de Gauss ou fatoração LU) — isso é mais eficiente e menos sujeito a erros de conta.
2. Normalizar:
x_{k+1} = \frac{y_{k}}{\lVert y_{k}\rVert},
onde \lVert y\rVert = \sqrt{y^\top y} é a norma euclidiana. A normalização evita overflow/underflow e estabiliza a iteração.
3. (Opcional, para obter o autovalor aproximado) Calcule a cota de Rayleigh
\rho_{k+1} = \frac{x_{k+1}^\top A\, x_{k+1}}{x_{k+1}^\top x_{k+1}}.
Esse \rho_{k+1} converge para o autovalor correspondente ao autovetor aproximado por x_{k+1}.
4. Critério de parada: pare quando \lVert x_{k+1}-x_k\rVert for menor que uma tolerância (por exemplo 10^{-6}) ou quando |\rho_{k+1}-\rho_k| for pequeno.
Explicação das variáveis:
  • \,A\,: matriz dada.
  • \,\mu\,: deslocamento (aqui \mu=1,5).
  • \,x_k\,: aproximação normalizada do autovetor na iteração k.
  • \,y_k\,: solução intermediária do sistema (A-\mu I) y = x_k.
  • \,\rho_k\,: aproximação do autovalor (Rayleigh quotient).
Dicas práticas:
  • Se for aplicar várias iterações, calcule uma fatoração LU de (A-\mu I) uma vez e use para resolver os sistemas em cada iteração (economiza trabalho).
  • Se \det(A-\mu I)=0 (isto é, \mu é exatamente um autovalor), então (A-\mu I) é singular e o método falha (o sistema não tem solução ou tem muitas soluções). Nesse caso escolha outro \mu próximo.
  • O método aproxima o autovalor de A cujo valor é mais próximo de \mu. Se houver dois autovalores à mesma distância de \mu, a convergência pode ser lenta ou ambígua.

Passo 4

Como identificar, numericamente, qual autovalor está sendo aproximado:
  • Depois de algumas iterações calcule \rho_k (Rayleigh quotient). Quando \rho_k se estabilizar, esse valor é a aproximação do autovalor \lambda.
  • Comparando \rho_k com os autovalores conhecidos (se tiver uma lista) você vê qual foi aproximado. Se não conhece os autovalores de antemão, a interpretação geral é: o autovalor aproximado é aquele de A tal que |\lambda-\mu| é mínimo.

Passo 5

Exemplo numérico simples (para ver na prática como fazer as contas à mão):
Tomemos como exemplo didático a matriz diagonal
B=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix},
e \mu=1,5. (Observação: isto é só um exemplo ilustrativo; a sua matriz pode ser outra.)
  • Calcule B-\mu I:
B-\mu I=\begin{pmatrix}2-1,5 & 0 \\[4pt] 0 & 3-1,5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0,5 & 0 \\[4pt] 0 & 1,5\end{pmatrix}.
  • Sua inversa é fácil (por ser diagonal):
(B-\mu I)^{-1}=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{2}{3}\end{pmatrix}.
  • Escolha x_0=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}. Então
y_0=(B-\mu I)^{-1} x_0=\begin{pmatrix}2\\[4pt]\tfrac{2}{3}\end{pmatrix}.
  • Norma de y_0:
\lVert y_0\rVert=\sqrt{2^2+\left(\tfrac{2}{3}\right)^2}=\sqrt{4+\tfrac{4}{9}}=\sqrt{\tfrac{40}{9}}=\tfrac{2}{3}\sqrt{10}.
  • Normalizando:
x_1=\frac{y_0}{\lVert y_0\rVert} =\begin{pmatrix}\dfrac{2}{\tfrac{2}{3}\sqrt{10}}\\[8pt]\dfrac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{2}{3}\sqrt{10}}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{10}}\\[6pt]\dfrac{1}{2\sqrt{10}}\end{pmatrix}.
  • O vetor x_1 aponta majoritariamente na primeira coordenada; se continuar, o método convergirá para o autovetor \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} associado ao autovalor \lambda=2 (porque \,|2-1,5|=0,5\, é menor do que |3-1,5|=1,5).
  • O Rayleigh quotient em x_1 dá uma aproximação de \lambda:
\rho_1=\frac{x_1^\top B x_1}{x_1^\top x_1}\approx 2.
Isso ilustra: com \mu=1,5 o método aprox. o autovalor \lambda=2, o qual é o mais próximo de \mu.]

Passo 6

O que fazer quando você tiver a sua matriz (resumo prático para aplicar na prova):
  1. Forme (A-\mu I).
  2. Se possível, fatorize (A-\mu I)=LU (uma vez só).
  3. Escolha x_0 (por ex. vetor de 1s) e normalize.
  4. Para cada iteração, resolva L U y_k = x_k, normalize x_{k+1}=y_k/\lVert y_k\rVert e calcule \rho_{k+1}.
  5. Pare quando \rho e/ou x estabilizar.
  6. O autovalor aproximado é \rho quando tolarância satisfeita; em termos conceituais é o autovalor de A mais próximo de \mu=1,5.

Passo 7

Casos especiais e armadilhas rápidas:
  • Se \mu for exatamente um autovalor de A então (A-\mu I) é singular e o método direto falha.
  • Se dois autovalores estiverem igualmente distantes de \mu, a convergência pode ser lenta ou levar a uma combinação linear; aí convém escolher outro \mu ou usar a iteração de Rayleigh (variação que atualiza \mu com o Rayleigh quotient).
  • Em provas não esqueça de mostrar que você resolveu o sistema (ou fez a fatoração) e de justificar por que o autovalor aproximado é o mais próximo de \mu.

Resposta

Não é possível aplicar numericamente a iteração inversa porque a matriz referida (“a mesma matriz”) não foi fornecida.
O autovalor que o método aproxima é o autovalor de A cujo valor é mais próximo de \mu=1,5.

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